毫米波大规模MIMO系统中基于GMD的低复杂度混合预编码

李中捷，张 敏

(中南民族大学 智能无线通信湖北省重点实验室，武汉 430074)

0 引 言

第五代移动通信(fifth generation，5G)通过使用大量未被授权的毫米波(millimeter wave，mmWave)频段，可以有效解决目前频谱资源匮乏带来的挑战[1-2]。但是mmWave信号衰减大的特性导致mmWave的应用受阻。大规模多输入多输出(multiple input multiple output，MIMO)技术应用于mmWave通信，可以在2方面有效解决衰减严重的问题：①大规模MIMO可以提供超高的信号增益，弥补mmWave信号衰减；②mmWave的短波长特性可以降低天线阵列尺寸，使得大规模MIMO的部署成为可能[3]。因此，mmWave大规模MIMO技术是5G中很有前景的技术之一[4]。

传统的MIMO系统通常采用全数字预编码结构，该结构要求每根天线配备一条射频(radio frequency，RF)链[5]。然而，对于采用大型天线阵列的mmWave大规模MIMO系统而言，由于部署大量RF链产生的高功耗及成本等原因使该结构不可实现。因此，文献[6]提出了混合预编码结构，由一个低维度的数字预编码器和高维度的模拟预编码器通过少量的RF链连接组成。该结构可以显著降低系统功耗及实现成本，而且可以达到与全数字预编码结构相近的性能。

对于混合预编码而言，最重要的是如何设计模拟和数字预编码器使得系统性能达到最优。文献[6]利用mmWave信道的空间结构将混合预编码器的设计问题转换为稀疏信号重构问题，通过空间稀疏混合预编码算法来解决问题。文献[7]将混合预编码设计问题转换成矩阵因式分解问题，提出了基于流形优化的迭代算法。同时，为解决该算法的高复杂度实现问题，文中利用数字预编码器的正交特性，提出了一种使用相位提取的低复杂度交替最小化算法。以上这些工作的目的在于寻找一对模拟和数字预编码器，可以足够接近通过信道矩阵奇异值分解(singular value decomposition，SVD)获得的右奇异矩阵。由于基于SVD的混合预编码中的不同子信道通常具有不同信噪比(signal-to-noise ratio，SNR)，因此需要复杂的比特分配，即在不同的子信道上分配不同的调制和编码方案(modulation and coding schemes，MCSs)。在实际系统中该方案涉及高复杂度的编码/解码[8]。为了避免基于SVD的混合预编码中所需的复杂比特分配，文献[9]提出了基于几何均值分解(geometric mean decomposition，GMD)的混合预编码。与基于SVD的混合预编码不同，通过GMD获得的右半酉矩阵被视为最优无约束预编码器，可将信道转换为具有相同SNR的子信道，因此可以自然地避免复杂的比特分配。但是文献[9]提出的基于GMD的混合预编码方案具有较高的计算复杂度。

本文提出了一种基于GMD的低复杂度混合预编码方案。首先，通过基于阶递归最小二乘的广义正交匹配追踪算法来设计模拟预编码矩阵；其次，基于最小二乘准则设计数字预编码矩阵。该方案通过减少最大迭代次数以及避免矩阵求逆操作来降低计算复杂度。仿真结果表明，该方案在较低的计算复杂度下，误码率性能接近文献[9]方案，且优于传统基于SVD的混合预编码方案。

1 系统模型

1.1 系统传输模型

x=FRFFBBs

(1)

(1)式中：s∈Ns×1为发送数据流符号矢量，且满足混合预编码器由数字预编码器和模拟预编码器组成，并且满足传输总功率限制条件模拟预编码器是由移相器网络实现，因此满足恒模约束，即

接收端采用混合合成器将经过信道H的信号处理后，则接收信号y表示为

(2)

(2)式中：ρ为平均接收功率；H∈Nr×Nt为信道矩阵；是模拟合成器；是数字合成器；表示均值为0，方差为的高斯信道噪声。与发送端FRF相似，WRF也由移相器网络实现，满足假设收发端具有完备的信道状态信息，则系统的频谱效率可以表示为

(3)

图1 单用户毫米波大规模MIMO系统模型Fig.1 Single user millimeter wave massive MIMO system model

1.2 信道模型

对于mmWave MIMO信道，本文采用在mmWave通信中广泛使用的Saleh-Valenzuela(SV)信道模型[10-11]。则信道矩阵H可以表示为

(4)

(5)

(5)式中：λ表示波长；d表示天线间距。

2 基于GMD的低复杂度混合预编码设计

2.1 基于GMD的全数字预编码

对信道矩阵进行GMD分解[12-13]可以表示为

(6)

(6)式中：G1∈Nr×Ns和Q1∈Nt×Ns分别为酉矩阵G∈Nr×Nr和Q∈Nt×Nt前Ns列的半酉矩阵；*为任意矩阵；R1∈Ns×Ns为具有相同对角元素的上三角矩阵，其对角元素的值为矩阵H的最大前Ns个奇异值的几何均值。基于GMD的全数字预编码思想为：Q1为预编码器，为合成器。则(2)式可表示为

(7)

基于GMD的预编码合成之后的等效信道是上三角矩阵R1，可在接收端利用连续干扰消除来获得Ns个具有相同增益的子信道。因此，可以避免基于SVD预编码中不同子信道具有不同SNR引起的复杂比特分配。由于需要大量的RF链，基于GMD的全数字预编码能耗及成本仍然很高。因此，一般采用基于GMD的混合预编码方案。

2.2 基于GMD的低复杂度混合预编码设计

s.t.FRF∈fRF

(8)

‖FRFFBB‖2=Ns

(8)式中，Fopt表示最优全数字预编码矩阵，Fopt=Q1。(8)式本质上是包含2个矩阵变量FRF和FBB的矩阵因式分解问题。然而，由于FRF的恒模约束，联合优化这2个变量非常复杂。文献[7]提出的交替最小化原则来解耦这2个变量的优化。根据交替最小化的原则，在固定一个变量的前提下，依次解决FRF和FBB。

首先，设计具有非凸约束的FRF。为了有效设计FRF，引入引理1[9]。

(9)

(10)

在第i次迭代中获得的模拟预编码矩阵可以写为

(11)

(12)

因此，第i次迭代的逆矩阵可以通过第(i-1)次迭代的结果获得。F表示为

（三）收集资料。小组内部分工，各组员按照分工收集资料。每位组员可以根据自己的条件选择合适的获取资料途径，通过图书馆查阅图书或网络资源查找与学习任务相关的原始信息，然后小组成员们合作对所收集的信息进行分类、筛选、整合，最终形成小组的集体资料，并上传到网络平台的学习资料资源包，作为完成学习任务的基础。

(13)

(13)式中，W,Y,T这3个辅助矩阵分别为

W=Di-1Ω(Ii-1,J)

(14)

Y=[Ω(J,J)-WHΩ(Ii-1,J)]-1

(15)

T=WHΨ0(Ii-1,:)-Ψ0(J,:)

(16)

当FRF确定后，FBB设计问题转变为F范数最小化问题得

(17)

该问题最优解具有最小二乘形式，则有

(18)

本文所提出的基于GMD的低复杂度混合预编码算法步骤如算法1。算法1主要包含2部分，第1部分为4—16行的模拟预编码器构造，第2部分为18—19行的数字预编码器的构造和归一化。

Require:At,S,H

1. [G1,R1,Q1]=GMD(H)

9. end if

10. end if

12. 通过(12)更新Di

13. 通过(13)更新F(i)

14.Ii=[Ii-1|J]

17. end for

20. returnFRF,FBB

2.3 复杂度分析

表1 第i次迭代时乘法和加法的数量

假设天线Nt=256，数据流Ns=2，S=2，图2为2种方案的复杂度比较。从图2可以看出，随着RF链数量NRF的增加，本文方案比文献[9]方案的乘法和加法次数增长缓慢，具有较低的复杂度。

图2 计算复杂度分析Fig.2 Computational complexity analysis

3 仿真结果与分析

本节在28 GHz的mmWave大规模MIMO系统下，对基于SVD全数字预编码方案、文献[6]中基于SVD的混合预编码方案、基于GMD全数字预编码方案、文献[9]中基于GMD的混合预编码方案以及本文所提出混合预编码方案的性能进行仿真比较分析，所有仿真结果都是对信道实现1 000次并取其平均值得到的。系统仿真参数设置如表2。

表2 系统仿真参数

首先，在进行频谱效率仿真时，假设路径增益βi服从CN(0,1)。图3和图4分别表示当数据流Ns=2,4时，随着SNR变化的不同预编码方案的频谱效率性能变化曲线。从图3和图4可以看出，频谱效率随着Ns数量的增加而增加。当Ns=2时，3种混合预编码方案频谱效率十分接近，与最优全数字预编码相比，大约有1.5 dB的性能损失。当Ns=4时，本文所提出方案相对于文献[6]及文献[9]中的方案来说，频谱效率具有略微损失，大约为0.5 dB。综合而言，在降低复杂度的情况下，本文所提出的方案相比于文献[9]中的方案频谱效率有轻微损失。

图3 Ns=2时不同方案的频谱效率Fig.3 Spectral efficiency of different schemes when Ns=2

图4 Ns=4时不同方案的频谱效率Fig.4 Spectral efficiency of different schemes when Ns=4

其次，在进行误码率性能实验时，假设信道路径分为1条视距(line of sight，LoS)路径和4条非视距(not line of sight，NLoS)路径。LoS路径增益βi服从CN(0,1)，NLoS路径增益βi服从CN(0,10-μ)，其中μ是功率归一化因子，用于调整LoS分量和NLoS分量之间的功率分配。在给定Ns=4的情况下，图5和图6分别表示随着SNR的变化，不同预编码方案的误码率性能曲线。

图5考虑了mmWave传播中的LoS环境，其中μ=1.5(LoS路径的功率比NLoS路径的功率高15 dB左右)。从图5可以看出，本文所提出的方案误码率性能非常接近文献[9]中的方案，明显优于基于SVD的预编码方案(包含全数字预编码和混合预编码情况)，这是因为基于GMD的预编码可以将信道转换为具有相同SNR的子信道，因此避免了基于SVD的预编码中具有非常低SNR子信道中的严重误码率性能降级。

图5 μ=1.5的LoS环境下不同预编码方案的误码率性能Fig.5 BER performance of different precoding schemes in the LoS environment with μ=1.5

图6考虑了NLoS环境，其中μ=0(LoS路径和NLoS路径具有相同的功率)。 从图6可看出，本文所提出的方案误码率性能与文献[9]中的方案相差不大，基于GMD的预编码方案和基于SVD的预编码方案之间的误码率性能差异变小，这是因为在NLoS环境中预编码和合成之后的子信道增益趋于相似。但可看出，基于GMD的预编码方案的误码率仍然优于基于SVD的预编码方案。综上所述，本文所提出的方案在低复杂的情况下，误码率性能虽有略微损失，但也与文献[9]中方案的性能十分相近，优于基于SVD的预编码方案。

图6 μ=0的NLoS环境下不同预编码方案的误码率性能Fig.6 BER performance of different precoding schemes in the LoS environment with μ=0

4 总 结

本文提出了一种基于GMD的低复杂度混合预编码方案，通过GMD将毫米波 MIMO信道可以转换成具有相同SNR的子信道，因此可避免复杂的比特分配。本文方案解耦了模拟和数字预编码器的设计，其中模拟预编码器使用阶递归最小二乘的广义正交匹配追踪算法来设计，而数字预编码器基于最小二乘准则获得。理论分析及仿真结果表明，本文方案不仅具有较低的复杂度，而且还确保与现有基于GMD的混合预编码方案具有大致相同的性能。未来工作可以将本文提出的基于GMD的混合预编码方案从单用户毫米波大规模MIMO系统扩展至多用户毫米波大规模MIMO 系统。