无界函数广义积分的一个注记*

刘新和，郑顶伟，陈占和

(广西大学 数学与信息科学学院,广西 南宁 530004)

下面引入奇点、奇线以及广义二重积分收敛性的定义。

设D为平面上的一个有界区域，点P0∈D。若f(x,y)在D{P0}上有定义，但在P0的任意的去心邻域内无界，则称P0为f(x,y)的奇点。设γ为D内含有P0的面积为0的闭曲线。若函数f(x,y)在Dγ有定义，但在任意包含曲线γ的区域上无界，则称γ为f(x,y)的奇线。

记Dε,δ={(x,y)|0≤x≤ε, 0≤y≤δ}，则

下面讨论2014年全国研究生入学考试数学(三)第12题及其参考答案。

对任意的δ>0，令D1={(x,y)|0≤x<δ, 0≤y≤x}，D2={(x,y)|δ≤y≤1,y≤x≤1}，D3={(x,y)|δ≤x≤1,0≤y<δ}，则o(0,0)∈D1且DD1=D2∪D3。

由积分第一中值定理可得

这是某高校高等数学期末考试中的一个考察二重积分的计算题，参考答案为：

由对称性可以得到

作为考察轮换对称性的期末考试试题，要避免出现奇点或奇线的问题。

由轮换对称性可得

类似于定义1，可以把具有奇点、奇线的无界函数的广义二重积分的概念推广到具有奇点、奇线或奇面的无界函数的n(n≥3)重积分的情形。

利用球面坐标变换x=rsinφcosθ,y=rsinφsinθ,z=rcosθ计算，这时Ω对应于Ω1={(r,φ,θ)|0≤r<1,0≤θ≤2π,0≤φ≤π}。因此，