浅析一类切线题目中的证直角问题
2021-04-25姜良站
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【摘要】证明切线问题是初中几何难点问题，证切线有两类题型：第一类有切点连半径证垂直，第二类无切点作垂直证等径。其中，第一类题型的解决策略是将证明切点问题，转化成证明两线垂直问题，进一步转化成证明直角问题。本文梳理了证明直角的两大方法，直接证明法和间接证明法，间接证明方法又细化为证明直角转化成证明另外两个角互余或转化成证明特殊的线和特殊的图形。
【关键词】切线;直角;直接证法;间接证法
证明切线问题，是中考压轴题目圆中综合题的热点问题。若有切点，连接半径证明垂直，是证明切线问题中的一类。此类型题目，将证切线问题转换成证半径和过半径的末端的直线垂直的问题，即证明切线问题转换成证明垂直问题，进一步转化成证明直角问题。很多学生对于证明直角问题的掌握不是很好，不知道如何入手，本文通过一道中考原题，概括出证明直角问题的两种方法：直接证法和间接证明。具体内容如下：
一、中考题目再现
（2018年广东省中考数学题）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E.
（1）证明：OD∥BC;
（2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切;
（3）在（2）条件下，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长。
二、方法呈现
（一）直接证明法：直接证明要证明角与一个已知直角相等。
本方法以第二小问中的证明进行展示。
法一：证明：∠DAO=∠ACB=90O
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90O
∵tan∠ABC=2
∴AC=2BC
∵OD∥BC
∴∠OEA=90O，∠AOD=∠ABC
∴OD⊥AC
∴AC=2AE
设BC=a，则AC=2a，AE=a，AB=，AO=a
∴AD=
∴DE=2a
∴OE=BC=
∴OD=OE+ED
∴
∴△OAD∽△BCA
∴∠DAO=∠ACB=90O
∴DA与⊙O相切
本题还可以直接证明：∠DAO=
∠OEA=90O或者∠DAO=∠DEA=90O，具体过程略。
（二）间接证明法：本证明方法分为两种解题策略：第一，把要证明的直角问题转换成证明另两个角的和是90O，进一步转化成证明两个角相等。第二，把证明直角问题，间接转化成证明含有直角的特殊的线，例如，高線、中垂线等;或者转化成含有直角的特殊的图形，例如，直角三角形、菱形、矩形、正方形，相交圆等。
1.要证明的直角问题转换成证明另两个角的和是90O
本方法以第二小问中的证明进行展示。
法二：证明∠BAD=90O转化成证明∠BAC+∠CAD=90O
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90O
∵tan∠ABC=2
∴AC=2BC
∵OD∥BC
∴∠OEA=∠AED=90O
∴OD⊥AC
∴AC=2AE
设BC=a，则，AC=2a，AE=a，
∴BC=AE
∵AD=AB
∴△ADE≌△BAC
∴∠DAE=∠ABC
∵∠BAC+∠ABC=90O
∴∠BAC+∠CAD=90O
∴∠BAD=90O
∴DA与⊙O相切
2.证明直角问题，转化成证明含有直角的特殊线或者特殊的图形
（1）证明直角问题，转化成证明含有直角的特殊线问题
本方法以第一小问中的证明进行展示。
法三：要证∠AEO=90O，转化成证OD是中垂线
证明：连接OC
∵OA=OC
∴点O在AC的中垂线上
∵AD=CD
∴点D在AC的中垂线上
∴OD所在的直线是AC的中垂线
∴OD⊥AC
∴∠AED=90O
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90O
∴∠ACB=∠AED
∴OD∥BC
（2）证明直角问题转化成证明含有直角的特殊图形
本方法以第二小问中的证明进行展示。
法四：证明∠BAD=90O转化成证明△OAD是直角三角形
证明：∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90O
∵tan∠ABC=2
∴AC=2BC
∵OD∥BC
∴∠OEA=90O
∴OD⊥AC
∴AC=2AE
设BC=a，则AC=2a，AE=a，AB=，AO=a
总之，在圆中证明直线与圆相切问题，转化成证明切线与过切点的半径垂直，进一步转化成证明直角问题。本文从直接证明法和间接证明法两个方向概括了证明直角问题，为学生们今后证明切线问题给出了方法性指引。
参考文献：
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