运用数学思想，提升学生思维能力——数形结合思想例谈

顾丽凤

（江苏省无锡市甘露实验小学 江苏无锡 214117）

《义务教育数学课程标准（2011 版）》把“数学的基本思想”作为“四基”目标之一，并明确指出：“数学课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想。”数学思想方法是数学知识的灵魂和精髓，是知识转化为能力的桥梁[1]。掌握数学思想方法，对提升学生的思维品质，对数学学科的后续学习，对其他学科的学习，乃至对学生的终身发展都具有十分重要的意义。那么，在课堂教学中，教师就要有意识地挖掘数学思想方法，让学生在学习中逐步感悟数学思想，切实提高数学素养。下面就以“数形结合思想”为例，粗浅地谈谈我在教学时是如何运用数学思想方法，帮助学生提高数学思考能力的。

“数”与“形”是贯穿整个小学数学教材的两条主线，是贯穿小学数学教学始终的基本内容。我国著名数学家华罗庚先生说过：“数无形，少直观；形无数，难入微。”数形结合思想是小学阶段的一种重要数学思想，数形结合，优势互补，相辅相成，各展其长，有机地使逻辑思维和形象思维统一了起来。因此，教师在教学时，要根据数与形之间的对应关系，把数与形有机地结合在一起，通过数与形的相互转化，培养学生“见数想形，因形思数，数形结合”的数学意识，引导学生有效解决问题。

一、数形结合，化解学习难点

数形结合不仅是一种数学思想，也是一种很好的数学方法。对于题型结构复杂、抽象，学生难于理解和掌握的教学内容，在教学时，教师可以充分利用“形”的直观、形象，引导学生有效地运用数学知识、探寻解题的方向和入口，使数学思想方法在知识能力的形成过程中共同生成。

案例：《行程问题》（四下）

出示例题：小明和小芳同时从家出发走向学校。小明每分钟走70 米，小芳每分钟走60 米，经过4 分钟两人在校门口相遇。他们两家相距多少米？

师：你能结合图，说说小明和小芳两人上学时的情景吗？

生1：小明和小芳两人是同时从家出发的。

生2：小明和小芳两人是面对面地走。

师：两人面对面地走，这是“相向而行”。

生3：小明和小芳最后在校门口相遇。

师：你能用画图的方法来整理题目中的条件和问题吗？

引导学生根据题意画出线段图。

师：现在从图中你能一眼看出题中的条件和问题了吗？

你能根据所画的图来解决这个问题了吗？

由于相遇问题是形式化的数学模型，问题的结构比较抽象，且涉及运行时间、方向等诸多因素，学生理解起来有一定的困难。为此，根据题意画图整理题中的条件和问题，并借助直观图分析数量关系 ，化解了学习的难点，从而能帮助学生顺利进行解答。

二、数形结合， 理解数量关系

实际问题中的数量关系是抽象化的，对于一些学生来说，很难理解题中的数量关系，为帮助学生更好地解答实际问题，提高学生的解题能力，教师在教学中可以引导学生通过画图，进行“数”与“形”的转化，把“看不见”变“看得见”，化抽象的数量关系为形象的图形，从而更好地帮助学生理解数量关系，提升学生的思维能力。

案例：《画示意图》（四下）

出示例题：梅山小学有一块长方形花圃，长8 米。在修建校园时，花圃的长增加了3 米，这样面积就增加了18 平方米。原来花圃的面积是多少平方米？

师：根据题中的条件和问题，你能想到什么？

生1：花圃的长增加了3 米是什么意思？

生2：要求“原来花圃的面积是多少平方米？”，宽未知，怎么求宽呢？

师：想一想，要把题里数量之间的关系看得很清楚，有没有什么好的办法？

生：用画图的方法，应该可以看得更清楚。

师：那就请同学们试着画图吧。

学生在教师的帮助下画出了示意图。

师：你能根据示意图分析数量关系，确定先算什么吗？

生1：要求原来花圃的面积，要先算它的宽是多少米。

生2：花圃的长增加了3 米，实际上就是增加了一个宽为3米的小长方形。

生3：原来花圃的宽，就是增加的小长方形的长。

生4：面积增加了18 平方米，就是增加的小长方形的面积。

生5：根据18 平方米和3 米，可以求出增加的小长方形的长，也就是原来花圃的宽。

这一教学片断，通过引导学生画示意图，在分析数量关系和解决问题之间架设起了一座桥梁，学生从示意图中直观地理解了题意，发现了数量之间的关系，从而使抽象的数学问题具形化，轻松简单地解决了问题，同时通过这道题的讲解，学生切实感受到了画图的重要作用，对数形结合思想在解题中的运用起到了潜移默化的作用。

三、数形结合，探索数学规律

学生的学习应当是一个生动活泼的，主动的和富有个性的探索和思考的过程。运用数形结合的思想方法，有助于学生探索数学规律。在教学中，教师要抓住时机，适时引领学生经历知识的形成过程，学会构造模型来直观描述数学问题，从中感悟数学思想方法，培养学生思维的创造性，提升学生的数学素养。

案例：《转化》（五下）

第一步：让学生仔细观察给出的算式，引导学生用自己的方式说清楚算式的特点。

第二步：让学生尝试用自己的方法计算出结果，并要求他们在小组内交流各自的计算方法。

第四步：引导学生将根据图形想到的计算方法与自己先前采用的计算方法进行对比 ，说说哪一个更简便。回顾解题过程，反思解题方法，让学生说说哪个环节对自己的启发最大。

这一教学过程，在学生观察算式特点后，启发他们产生采用非常规思路进行计算的解题需求，教师适时出示“形”，引导学生借助图形的直观来解决问题。“形”的出现，丰富了学生的表象，引发了学生更深层次的思考，他们清晰地发现了规律，从而化难为易，把一组连加计算转化成了简单的减法计算。在此思考过程中，学生实实在在地感受到了数形结合的思想方法对于数学学习的价值。

四、数形结合，揭示图形特点

“形”有其直观形象的优势，但也有其粗略、不便于表达的劣势。在教学中，教师要顺势引导学生数形结合，让学生借助数的优势来弥补形的不足，使学生在获得知识的同时，感悟到数学思想方法的价值，使数形结合的思想方法扎根学生心中。

案例：三块边长都是12 厘米的正方形铁皮，分别按下图剪下不同规格的圆片。剩下的铁皮面积相等吗？（五下）

(1)

(2)

(3)

这是一个图形的面积问题，但是如果我们只从形的角度直观观察是无法得到结果的，即便学生能猜到结果，但也是没有依据的。因此在教学中必须引导学生从数的角度，通过计算去加以说明验证。

图（1）圆的面积：π×（12÷2）2=36π

图（2）圆面积之和：π×（12÷2÷2）2×4=36π

图（3）圆面积之和：π×（12÷4÷2）2×16=36π

这样，通过计算，学生对正方形里圆面积之间的关系有了更加理性和深入的认识，学生也深刻体会到了数形结合思想在解决问题中的有利作用。

数学思想方法是沟通知识与能力的桥梁，在课堂教学中，教师要深入钻研教材，做教学的有心人，努力挖掘教材中可以进行数学思想方法渗透的各种因素，从学生发展的全局着眼，从具体的教学过程入手，把渗透数学思想方法教学作为一种有意识的教学行为，引导学生在学习过程中不仅仅满足于正确知识结论的获得，更应着力于对知识形成过程的理解，领会蕴涵其中的数学思想方法，提高数学素养。