小学数学合情推理能力培养的实践与思考

赵小进 蔡霞

【摘要】小学生的思维发展实际与数学学习能力水平决定了知识的习得应以合情推理为主。培养学生的合情推理能力，必须从合情推理本身的演进过程出发。即要求在教学中积极创设情境，给予学生思考交流时空，亲历归纳、类比，进行大胆猜想，经历归纳、验证的过程。因此，数学教学活动中，要将合情推理的思想方法有意识地渗透在每一个细小的教学环节中，让学生经历并体验整个合情推理的过程，提升合情推理的能力。

【关键词】猜想  类比  归纳  合情推理

【中图分类号】G623.5   【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2021）24-0132-03

合情推理能力不是与生俱来的，更多地依靠直观形象与感性经验。所以，合情推理必须从小开始培养。在实践性的课堂教学过程中培养学生的合情推理能力，必须从合情推理本身的演进过程出发。笔者认为，数学教学过程中，教师要能够挖掘整合教材中合适的素材，以知识的习得为明线，将合情推理的过程作为一条暗线，双线并进，串联起整个课堂。

下面就以《3的倍数的特征》为例，谈谈教学中如何双线并举，培养孩子的合情推理能力。

一、制造冲突，营造合情推理的情境

波利亚指出，数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明;但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。在教学中，我们要能巧妙地利用、整合教材所提供的认知素材，沿着学生的认知逻辑，鼓励学生进行大胆的猜想。

教学“3的倍数的特征”时，先复习2、5的倍数特征，并引领学生小结：判断一个数是否是2、5的倍数，只要看个位。而这一特征显然是不符合2、5的倍数的特征的，但惯性思维会引领学生不自觉地进入“陷阱”，老师在此节点处，设计了顺势让学生猜想3的倍数的特征的过程。

教学片段（一）：

师：猜想一下3的倍数可能有什么特征呢？

生：3的倍数的个位为3、6、9。

师：老师把你的猜想先记录下来。你觉得呢？

生：3的倍数的个位还有可能是2、5、8;比如12、15、18

生：不对，21是3的倍数，2它的个位是1。

生：13的个位是3，但它不是3的倍数。

生：3的倍数的个位从0～9都有，但是这样看的话，看不出一个数是不是3的倍数的。

[设计意图]

目前，小学数学教学中的一部分合情推理水平是不高的，在较多的课堂中，表现出非逻辑的思维特点，表现出“想当然”。此时，老师的评价引领将显得特别重要。我们同时应认识到“负迁移”会对学生学习产生自然障碍，而障碍的产生往往是新学习的开始。2、5的倍数的特征的复习是“挖了一个坑”，使学生的猜想“掉进了坑”“碰了壁”。

二、扶放有度，激发合情推理的生长

如何处理教与学的关系，一直是课堂教学活动中讨论的热点。在小学数学教学中，由于小学生年龄特征和知识经验的限制，学生独立展开合情推理的能力是有限的，简单的放手是不会给学生的学习带来更加科学的帮助，不能有效地促进“用数学的语言表达、用数学的眼光观察、用数学的思维思考”这一数学核心素养的落地生根。教师应遵循教学规律，由“扶”到“放”、“扶放有度”地指導学生进行推理活动。

所以，笔者在“微专题研究”的实践中进行一两个层次的设计。设计研究专题：为什么听到珠子个数就能知道是不是3的倍数？第一层次：学生拨出任意个数的珠子老师听;老师猜结果;学生验证是不是3的倍数;学生猜想老师猜对的原因是什么？第二层次：老师拨珠学生听;猜想可能拨出什么数？

教学片段（二）：

拨珠听数。

（1）（在计数器上拨一个数，拨珠的时候要一个一个地拨）

师：你得让其他同学看清楚，我不看，只听。

（学生拨珠）

师：我猜这个数不是3的倍数。对吗？

（学生表示惊讶）

师：要不要再来一次。

（结果让学生惊讶之余产生探求原因的欲望）

师：老师能听出什么呢？

生：拨出珠子个数的和。

师：老师根据珠子个数的和，能判断出这个数是不是3的倍数，说明什么？

（2）师拨珠，生听数

师：大家想不想先试试听数的感觉？

师：（师用3个珠子拨出1101）猜猜看老师拨的哪个数？

生1：3

师：有可能吗？

生2：30，12，12……

师：仔细看看这些数（指着3，30，12，21），有3的倍数吗？

师：看看老师拨的哪个数（出示计数器）

1101是不是3的倍数呢？（用计算器算一算，作出判断。）

用3个珠子还能拨出其它数吗？

它们是不是3的倍数呢？拿出计算器算算看。

师：是啊！用3个珠子拨出的数都是3的倍数。

（3）分组探究

师：你想让老师用几个珠子来拨数？你呢？（学生列举，教师记录）

师：那这样吧，咱们全班来分组研究。

每个小组由组长确定一下你们小组用几个珠子去拨数。

（如果出现大数据，不合理的数据，教师引导：知道选择较小的数去研究会更方便，是否考虑调整一下。）

（课件出示活动要求）

活动要求：

（1）各小组成员根据珠子的个数轮流拨数，其他成员确认他所用珠子的个数和，组长负责记录。

（2）组内成员共同判断各数是否是3的倍数。（可以用计算器验算）

（3）最后，组长将你们研究的数像老师这样整理在黑板贴上。

师：咱们要比比哪一小组能又好又快地完成。

汇报交流：各小组依次呈现。

师：为了保证我们研究的准确性，先来检查一下各小组拨出的数是否符合条件。

领着孩子看一组（如9个珠子的一行）。

提问：（指其中的一个数）它需要用几个珠子？你是怎样判断的？

生：1+2+6=9，（师：你可以举例说说）

师：你用算的方法来检查的，这个算式什么意思？

揭示：珠子的个数和就是各位上数的和。（板书）

（分配任务：每一列的同学检查一行。）

师：检查好了吗？那我们继续。

师：为了方便观察，老师想将它们的位置作个调整。

你觉得可以怎样调整？

师：这里都是3的倍数，这里都不是3的倍数。

仔细观察，你有什么发现，把你的发现先在小组里互相说一说。

[设计意图]

学习过程中，學生“碰了壁”中常见的，正如一位教学名家所说，孩子的学习就是“错着错着就对了，说着说着就会了”。学生在“壁”面前，会觉得有时自己的学习经验可能是不可靠的，一下子迷失了方向，这也思维将会产生跳跃的前期征兆。此时，教师应适时引导学生对研究方法进行冷静的回顾，并引导学生尝试换个角度研究问题。

在之后的学习时间里，老师提供了“百数表”。学生借助“百数表”，圈出3的倍数，观察表中数据的特征，从直观上会发现，之前2、5的倍数在百数表里是“一列一列”呈现出来的，而3的倍数在百数表里都在“斜行”里。

三、启发质疑，验证合情推理的结论

教师的追问是要让学生明确仅仅凭着百数表里的3的倍数的特征就对所有的3的倍数的特征下结论是不科学，不严谨的。我们还需要进行举例验证。“你还想举什么样的例子呢？”教师以问题引领的方式，使孩子对方法进行探讨交流并理解反复考察不同情况和特殊情况的必要性。

教学片段（三）

师：同学们通过观察百数表里的3的倍数，归纳出3的倍数各数位上数的和是3的倍数。是不是就可以给3的倍数的特征下结论了呢？

生：不可以。

生：我们要再举一些例子验证看看。

师：了不起，你有科学家的严谨态度。

师：你想举什么样的例子呢？

生：找一些更大的3的倍数，看看它各数位上数的和是不是3的倍数。

生：找一些不是3的倍数的数，看看它各数位上数的和是不是3的倍数。

[设计意图]

通过合情推理探索的数学结论具有或然性，小学阶段一般不用演绎推理加以证实，但是可以借助学生已有经验，利用几何直观帮助学生认识和理解。使学生知其然，更知其所以然。

四、引导反思，内化合情推理的方法

掌握3的倍数的特征是本节课的教学目标，而经历和体验合情推理的完整过程（提出猜想—推翻猜想—再次猜想—举例验证—获得结论），学会合情推理的方法，感悟内在的数学思想更为重要。最后引导学生进行回顾和反思学习过程，梳理推理步骤，将其内化为能力，促进学生理解数学知识和方法，形成良好的数学思维习惯。

师：同学们，这节课我们研究了3的倍数的特征。3的倍数有什么特征？

回顾一下我们的研究过程，咱们先是作了猜想，有的猜想不正确，这时我们就换了思考角度，从听数中找到了思路，顺着这个思路我们进行深入研究，通过举例，观察，我们发现并归纳出了3的倍数的特征，后来我们对这一特征还进行了验证。

师：你知道吗？

我们发现的这个神奇的规律现象背后是有道理的，想不想知道？

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师：通过今天的学习，你有什么收获？

师：大家的收获真不少呢！

数学上充满了神奇的规律，更蕴含了丰富的道理！希望同学们在以后的学习中也能用这样的研究方法，研究态度，勤思多问，去发现数学世界中更多的奥秘！

[设计意图]

反思是小学数学课堂教学中培养思维能力的重要途径。在以知识为载体的课堂学习过程中，知识作为落脚点是显性的，但学习过程形成的情感、态度、价值观是隐性的，数学学科的育人应更多地指向于学生在数学学习过程是获得数学方法与感受数学文化。

总之，小学数学教学过程中，从来就不缺少合情推理。教师应将合情推理的思想方法渗透在每一个细小的教学环节中，让学生经历并体验整个合情推理的过程，提升合情推理的能力。学生在亲历合情推理过程的同时，通过不断的反思，产生了学习需求的自觉意识。正是这一反思与思辩的过程，为培养合情推理能力提供了可能。

参考文献：

[1]史宁中.数学中的归纳思想[M].长春：东北师范大学出版社，2015：7-8，25.

[2]波利亚.数学与猜想——数学中的归纳和类比[M].北京：科学出版社，2001.