论互易电路的充要条件

田社平， 陈希有， 张 峰

(1. 上海交通大学 电子信息与电气工程学院， 上海 200240；2. 大连理工大学 电气工程学院， 辽宁大连 116023)

0 引言

互易定理是电路理论中的主要内容，它表达了互易电路所具有的性质。如果将互易电路的激励端口和响应端口看作对外的端口，则互易电路亦可看作互易二端口电路。二端口电路的VCR可以六种矩阵参数加以描述，如果二端口电路是互易的，那么，其参数矩阵的元素满足如下关系，即[1, 2]

r12=r21

(1)

g12=g21

(2)

h21=h21

(3)

(4)

(5)

(6)

由于对一个二端口电路，其VCR的六种参数矩阵不一定全部存在，因此，只要式(1)～式(6)中任意一式成立，则该二端口电路就是互易的。这说明式(1)～式(6)中任意一式成立是互易二端口电路的充分条件。但式(1)～式(6)中任意一式成立也是互易二端口电路的必要条件吗？在现行电路理论教材中，一般将互易定理表达为三种形式[3, 4]，它们分别对应上述性质中的式(1)～式(3)，或者式(1)、式(2)、式(4)。也有教材将互易定理表达为两种形式，它们对应上述性质的式(1)、式(2)，并且指出式(1)、式(2)是互易(二端口)电路的充要条件[5]。

上述两种对互易定理的处理方法，孰是孰非？或者说，互易电路的充要条件究竟是什么？上述六个关系式中应满足哪几个关系式才构成互易电路的充要条件，这些问题是笔者在教学中碰到的问题。本文试对此作一分析，以就教于大家。

为表述简洁起见，本文将互易二端口电路简称为互易电路。特别指出：本文所讨论的互易电路指满足式(1)～式(6)的电路。

1 式(1)、式(2)并非互易电路的充要条件

描述二端口电路的六种参数矩阵之间可以相互转换，因此对互易电路，如果描述其端口特性的六种参数矩阵都存在，则由上述六式中任意一式皆可推导出其他五式，因此互易电路的六种性质是完全等价的。但是，并非所有的二端口电路都存在六种参数矩阵，因此对互易电路，如果描述其端口特性的某一种参数矩阵不存在，则与之对应的性质也就不存在。从这个意义上讲，互易电路的六种性质之间具有一定的独立性。

图1 平行传输的二端口电路

(7)

(8)

图2 不存在R、G矩阵的互易电路示例

基于上述分析，认为式(1)、式(2)是互易(二端口)电路的充要条件是不正确的说法，将互易定理表达为对应于式(1)、式(2)两种形式也是不正确的。

2 互易电路的充要条件

如果互易电路的六种参数矩阵均存在，则式(1)～式(6)中任意一式皆可成为互易电路的充要条件。下述结论描述了在一般情况下互易电路的充要条件。

互易电路的充要条件从式(1)～式(6)中任意选择三式，如果一个二端口电路满足这三式中的至少一式，则该二端口电路就是互易的。

上述结论表明，互易电路的充要条件就是式(1)～式(6)中任意三式中的至少一式成立。下面给出证明。

先证明必要性：如果一个二端口电路是互易的，则任选式(1)～式(6)中三式，则这三式中至少有一式成立。

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(10)

(11)

(12)

(13)

可知A矩阵必存在，这与假设“式(3)～式(5)均不成立”矛盾。说明式(3)～式(5)中必有一式成立。同样，如果假设式(1)或者式(2)成立，同样可以推出式(3)～式(5)中必有一式成立。因此，选择式(3)～式(5)，必要性也得到证明。

对其它选取三式的选法，采用类似方法可证明必要性成立，不再赘述。

我们还可以从另外一种思路证明必要性：如果互易电路的某一参数矩阵存在，那么，其他五种参数矩阵中至多只有两种参数矩阵不存在。

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

对互易电路存在其他参数矩阵的情形可作类似的证明。

再证明充分性：由于一个二端口电路只要满足式(1)～式(6)中任意一式，则该二端口电路就是互易的。因此，上述结论的充分性证明是显然的，不再赘述。

3 进一步的讨论

图3 互易定理的一般形式

(19)

通过用电压源、电流源或者开路、短路来替代图(3)中的支路1、2，利用式(19)很容易证明式(1)～式(4)。而利用式(19)证明式(5)、式(6)在现行教材中出现得较少。显然，利用式(19)也可以证明式(5)、式(6)。下面给出式(5)的证明。

(20)

亦即

(21)

由传输矩阵参数的定义，可知对二端口电路N，有

(22)

将式(22)代入式(21)即得式(5)。

(a)输出端口开路

(b)输出端口短路图4 证明式(5)用图

4 结语

通过上述分析，可以得出如下结论：

(1)一个二端口电路如果是互易的，那么，其VCR矩阵参数满足式(1)～式(6)中的任意一式是互易电路的充分条件，但不是必要条件。

(2)互易电路的充要条件是：式(1)～式(6)中任意三式中的至少一式成立。如果互易电路的某一参数矩阵存在，那么，其他五种参数矩阵中至多只有两种参数矩阵不存在。因此，将互易定理表达为式(1)～式(6)中任意三式成立，这在逻辑上都是成立的。此时，这三式中至少有一式是成立的。而现行电路理论教材中所表述的互易定理的三种形式就是一种合理的表达形式，其表述简洁、直观，容易理解，适合于教学。

(3)仅满足式(1)或/和式(2)不是互易二端口电路的充要条件，亦即，开路电阻矩阵/短路电导矩阵对称不是互易二端口电路的充要条件。