问题驱动教学模式应用于高等数学课程探究

刘生全

(辽宁大学 数学院，辽宁 沈阳110036)

一、高等数学课程的重要性

高等数学是高等院校中理工学科的核心基础课程，通过高等数学的教学提高学生数学素养。数学素养的内涵涉及两方面：一是掌握数学知识，大学生需要掌握基本的数学理论、公式、计算能力和解题技巧；二是数学思维，大学生要具备应用数学知识解决实际问题的能力。

高等数学可以培养学生严格的逻辑思维能力，有助于培养学生自主分析问题和解决问题能力[1-2]。数学概念是具有相似性质实际问题的抽象。在数学抽象的表达体系中，解决数学问题需要通过严密的数学语言、严格的逻辑推理。因此，学生在高等数学学习过程需要全面、完整地分析、解决一道道数学题，学生在这个过程中将会逐步形成严谨的逻辑思维能力。

高等数学的重要性还体现在推动自然科学和人文科学的发展上。数学理论蕴含的思想和数学方法广泛应用于解决经济、物理以及实际工程问题中。例如，物理学中很多的问题是高等数学重要的应用场景：质点运动问题，需要用到高等数学中的微分方程和空间解析几何的知识来解释；电磁学与高等数学中的多元微积分和场论有着密切的联系等。

二、高等数学课程引入问题驱动教学模式的必要性

由于高等数学内容具有理论性强、论证体系严密等特点，客观上给学生学好这门课程造成困难，很多学生甚至对高等数学课达到“望课生畏”的地步。因此，转变教学模式，激发学生学习兴趣，成为高等数学教学工作亟待解决的重要课题。实际上，众多高校的数学老师已经做了大量有意义的教改尝试。例如：采用多媒体辅助教学；利用网上教学资源，开展线上线下混合教学等[3-4]。这些有益尝试都是对现有教学模式的改进，但无法解决学生学习主动性不足这个问题。提高学生学习兴趣，问题驱动教学模式是一个很好的方法。在课堂授课过程中针对部分章节，设计一些跟知识点紧密联系的问题或贴近实际的真实问题进行讲解，用“问题”引导学时思考、体会知识点的内涵，同时也驱动教学进程发展。学生在用数学知识、数学思想解决问题的过程中将体会到数学知识魅力和解决问题的成就感，从而达到激发学生学习兴趣的目的。

随着社会发展，国家提出培养应用型人才的战略目标，客观上也对高等数学授课方式提出了新的要求。教师单向将知识点灌输给学生的传统教学模式已经不合时宜，因为这种教学模式只会让学生记住一些数学知识，但不能形成数学思维，学生不能学以致用。因此，教师在高等数学教学中采用问题驱动式教学模式，实现讲授高等数学能够兼顾学生数学知识的获得和数学素养的提升这一现实问题。问题驱动式教学模式应用于高等数学教学中，将有利于激发学员的学习兴趣，最终使学生具备扎实的高等数学基础知识和较强的数学应用能力。

三、高等数学中问题驱动教学模式的实施

问题驱动型教学模式[5-6]是由英国教育家博雷泊在20世纪80年代提出的教学理念。这种教学模式将知识点隐含在一个或几个具体的问题中，课堂讲授过程中通过剖析这些问题引导学生同步进行思考，达到深刻理解知识点的目的。目前，这一教学模式在我国受到教育工作者的广泛关注。

问题驱动式教学模式能否取得好的效果，课堂内容设计十分重要。针对不同的教学内容需要采用不同的方法。抽象的数学概念和理论性强的章节，需要设计一些具体化、直观化的问题加深学生对知识点的理解；应用性强的章节，教师要设计一些具有实际应用背景的案例，并力求把数学知识如何应用于解决这些问题讲透彻。

案例1“数列极限”概念是高等数学课程的开场问题，对新生来说是一个全新的概念，教师要尽量帮助学生从已有的知识储备自然过渡到这个新概念，加深学生对“数列极限”的直观认识。举例来说，在讲授这部分内容时，教师可以通过如下问题循序渐进的引导学生认识数列极限的含义：

问题1中国古代是否有极限思想?(介绍《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的说法，说明我国古代已出现朴素的极限思想，可以激发学生的民族自豪感和对问题的兴趣)

问题2是否学过蕴含数列极限思想的问题?(介绍用圆内接正多边形的面积近似表达圆的面积，引导学生用已有的知识从直观上理解数列极限的定义)

设计的问题以学生学过的、熟知的为宜，这样更能引起学生的学习兴趣。特别地，讲述我国古人在数学领域取得的伟大成就的案例，可以培养学生树立“四个自信”，坚持中华优秀传统文化的历史自豪；对比中国古代在数学方面取得的辉煌成就，近代在自然科学方面取得的成果较少，可以鼓励学生树立刻苦学习，为国争光的使命感。同时，“极限”也体现出一种人生哲理，做人和做事都要不忘初心，不断追求完美，臻于至善(极限)。

案例2高等数学中“中值定理与导数应用”内容十分的抽象，这章内容也是教学中的重点和难点[7]。本章内容适合通过提问形式引导学生逐条分析定理的条件和结论，有效提高学生对定理的理解和认识。比如，在讲解“罗尔定理”时，教师首先介绍定理内容：设给定函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一点ξ∈(a,b)使得f′(ξ)=0。如果单纯正面讲解该定理内容，教师只需告诉学生，函数满足“闭区间连续”“开区间可导”“两端点函数值相等”三个条件，那么导函数在区间内至少存在一个零点。这样的讲解，大部分学生仅仅能记住定理的内容，但很难抓住定理的本质。因此，教师需要引导学生思考当函数不满足“闭区间连续”时，结论是否正确？当函数不满足“两端点函数值相等”时，结论是否成立？对结论不成立的情况，教师要引导学生构造反例。从正反两个维度分析罗尔中值定理的内容，可以加深学生对定理的直观认识。

在分析这个问题的过程中，可以适当介绍罗尔、拉格朗日等大数学家故事，教育学生学习他们对待科学的严谨科学态度。另外，还可以简单介绍罗尔中值定理和拉格朗日中值定理间的关系，教育学生知道科学进步实际是在不断发现问题、简化条件中一步步发展起来的。鼓励学生要养成善于发现问题的习惯，汲取前人成果的思想精髓去创造新的理论，为祖国的科学事业贡献力量。

案例3高等数学中的常微分方程、空间几何等内容，都有强烈的应用背景，这些章节适合设计应用问题的案例，引导学生用已学的知识解决实际问题。例如，在讲解一阶常系数线性常微分方程时，可以向学生详细介绍马尔萨斯(Malthas)人口模型[8-10]。马尔萨斯假设人口增长不受外界因素的影响，单位时间内人口的增长率是与人口数成正比的。为了用数学语言描述人口问题，需要引入一些数学记号：设t时刻人口总数量为X(t)，人口的增长率与人口数比例系数为常数α>0。这时，教师再帮助学生回忆导数的意义，使学生认识到人口变化率就是人口总数的导函数。根据以上的分析，学生可以容易得到人口数量函数X(t)满足一阶常微分方程：

若再记t=0时刻的人口数为X0，学生能够发现研究人口动态变化问题可以转化为求解下面常微分方程初值问题：

(1)

教师引导学生用初等积分法解出模型(1)的特解

X(t)=X0eαt.

(2)

马尔萨斯人口模型(1)是一个理想状态下的模型，它仅能用于预测短时间内人口变化情况。因为，解(2)是一个严格递增的指数函数，如果人口按指数函数增长，那说明人口会随时间无限的增长。但是，根据实际情况和经验知道，人口无限增长是不现实。这时，教师要引导学生思考出现这个情况原因？教师要向学生解释建立数学模型是选取主要因素、忽略次要因素的过程。马尔萨斯人口模型只考虑了人口自然繁殖一个因素，而忽略了人口增长受到生存资源、社会发展水平等众多因素制约，所以这个模型具有局限性。

微分方程理论可以直接应用于应用学科，直观体现了数学的价值。在这个章节的中，教师还可以简单介绍传染病模型(SI,SEIR模型等)在预测SARS疾病和新冠病毒传播等方面发挥的重要作用，使学生认识到数学的价值。另外，还可以引申介绍钟南山、张定宇等一批在2020年抗击新冠疫情中涌现出的英雄人物的感人事迹，教育学生学习他们勇于奉献，坚持科学、尊重科学，命运与共的伟大抗疫精神。

四、结 语

问题驱动教学模式符合高等数学课程的特点。实际上，数学理论自身的发展也是受“问题驱动”而不断发展完善的，那么在教学过程中采用问题驱动教学模式也是在尽可能还原数学发展的过程。另外，在教学过程中，将“提出问题-解决问题”的问题驱动式教学模式融入到高等数学课堂教学中去，增强整个教学过程的吸引力和互动性，达到数学思想的深层次渗透。实现培养学生自主学习能力、创新能力和实践能力的目的，有利于达成培养应用型人才的教育目标。

问题驱动的教学模式要严格遵循提出问题(案例)，用学过的知识分析问题，最终解决问题全过程讲解。在课堂案例的选取上，应该注意以下两点：第一，所选案例要尽量简洁，否则容易陷入繁琐的模型建立中，影响正常的教学进度；第二，所选案例要贴近学生的认知范围，这样更有利于激发学生学习高等数学课程的兴趣。