一类带权微分系统特征值的研究

吴 平

(苏州职业大学 数理部，江苏 苏州 215004)

1 问题的提出

参考文献[1]、[2]提出了一类带权微分系统，见式(1)，研究其第n个特征值和第n+1个特征值的关系。设(a,b)⊂R是一个有界区间，考虑

(1)

的特征值的关系，其中a

其中u1、u2、v1、v2为正常数。

根据方程理论知，式(1)的特征值是离散的，且都是正实数。

把式(1)写成矩阵形式，设

式(1)就可写成如下形式

(4)

显然，式(4)与式(1)是等价的。

设式(4)的特征值为

0≤λ1≤λ2≤…≤λn≤…

与之对应带权s(x)正交规范特征向量为Y1,Y2,…,Yn,…,即满足

(5)

根据式(3)和式(5)，得

(6)

根据分部积分法，得

(7)

根据式(2)和式(7)，得

(8)

设

其中

φi与Yj带权s(x)正交(i,j=1,2,…,n)， 且Dkφi(a)=Dkφi(b)=0(k=0,1,2,3,i=1,2,…,n)。

于是，利用Rayleigh定理，得到下列不等式

(9)

A(-D)(P(x)(A(D)φi))

(10)

(11)

设

根据式(11)，得

(12)

根据式(9)和式(12)，有

(13)

用λn替代式(13)中的λi，成立有

(14)

2 主要引理

为了证明一类带权微分系统(1)第n个特征值和第n+1个特征值的关系，需要先证明下列引理，在证明中参考了文献[3]、[4]中的引理及证明的内容。

引理1 设Yi是式(4)对应特征值λi的特征向量，则

证明 由式(8)，得

(15)

根据分部积分法、Schwartz不等式、式(6)和式(8)，得

(16)

化简,得

(17)

由式(8)及式(17),得

(18)

根据式(16)和式(18)，有

(19)

根据式(15)和式(19)，即得引理1。

引理2 设λ1,λ2,…,λn是问题(4)的n个特征值，则

证明 根据分部积分法和φi的定义，得

(20)

根据式(20)，有

(21)

根据式(2)和式(6)，得

(22)

根据式(2)，式(18)和式(8)，得

(23)

根据式(2)、分部积分法、Schwartz不等式，式(8)和式(18)，得

(24)

根据式(21)，式(22)，式(23)和式(24)，即得引理2。

引理3 对于φi和λi(i=1,2,…,n)， 则

(25)

证明 根据φi的定义，得

(26)

根据分部积分法，有

(27)

根据式(26)，式(27)和式(6)，有

根据Schwartz不等式和引理1，有

。

引理3得证。

3 主要结论

参考文献[5]、[6]中的定理及证明的内容，以及利用引理1、引理2、引理3和Young不等式，得到并证明了一类带权微分系统(1)第n个特征值和第n+1个特征值的关系，即定理1和定理2。

定理1 如果λi(i=1,2,…,n+1)是式(5)、式(6)的特征值，则

证明 根据引理3，成立着

再由式(14)和引理2，可得定理1①，在定理1的①中用λn替代λi，可得定理1的②。

定理2 对于n≥1，则

证明 选择参数σ>λn，由式(13)，得

(28)

(29)

其中δ>0为待定常数。

根据式(28)、式(29)、式(3)和引理1，化简得

(λn+1-σ)V+T≤I

(30)

(31)

为了使(31)式右端的值达到最小，取

(32)

将式(32)代入式(31)，有

(33)

根据引理2、式(30)和式(33)，得

(34)

其中σ>λn，选择σ使(34)式右端等于零，即

(35)

设

(36)

易知，f(σ)是在(λn+∞)内单调减少的连续函数，其值域为(0,+∞)，因此，存在唯一的σ使等式(35)成立。从(34)式知σ≥λn+1，用λn+1来替代等式中σ， 即得定理2。

4 结 论

方程的特征值问题是数学学科研究的一个重要领域，涉及的内容复杂而广泛。本文研究了一类带权微分系统特征值的关系，并获得了第n个特征值和第n+1个特征值的关系：定理1和定理2。其结果在实际中应用广泛，如在物理学和力学等领域。