基于BP-GA 算法的环肋锥柱壳多目标优化设计

李艳萍，黄小平

(上海交通大学 船舶海洋与建筑工程学院，上海 200240)

0 引 言

潜艇具有侦察、攻击、掩护等多种功能，是大国海军不可或缺的战略性武器。潜艇耐压结构是潜艇的主体结构，是保证潜艇强度、稳定性、速度等全艇性能的重要保障，故潜艇耐压结构的优化设计十分重要。

以往潜艇、潜器的优化设计像潘涛[1]、王燕[2]大多都是追求重量最轻的单一目标，而结构重量越轻，稳定性却也会越差。对于大型潜艇来说，设法提高稳定性十分重要。将重量与稳定性综合考虑，既能减少造价、更易控制重量分配，同时也能提高艇体安全性，便于适合高强度材料的使用。对于多目标优化问题，经典的求解方法有加权法、约束法、目标规划法和极大极小法等，优化权重系数不论是由决策者确定，还是由优化方法自动调整，都存在着局限性[3–4]。采用多目标遗传算法获取Pareto 最优解组，再利用最小距离法[5]选取最优解，可以克服上述不足。

由于探潜技术水平的不断提升，潜艇采用大潜深、超大潜深技术是提高其隐蔽性的重要途径之一，这样甚至能有效地规避反潜武器的攻击[6]。钛合金是一种广泛用于潜艇上的优质新型材料，它具有重量轻、强度大、耐腐蚀、生物兼容性好等诸多优点[7]。潜艇本身属于大型结构，其每次的稳定性分析都涉及大量计算，若直接采用有限元软件进行分析优化，需要反复循环求解新的迭代方程，其时间成本过大，不具有可操作性[8]。运用BP 神经网络的非线性映射关系代替有限元方法计算的迭代方程式进行分析，其效率高，精度好，且遗传算法具有并行性、随机性、全局化等优点，与BP 神经网络优势互补。因此，本文采用BP 神经网络与遗传算法联合优化（以下简称BPGA 算法）方法，研究最大下潜深度达600 m 的超大潜深潜艇，且采用新型材料钛合金的耐压艇体的优化问题，更加具有实用性。

1 壳体结构的主要参数确定

以某级潜艇数据为母型，其最大排水量16 000 t，采用双壳体设计，最大航速可达32 kn，其潜深可以达到600 m[9]。本文潜艇数据取排水量16 000 t，储备浮力系数为0.3，最大下潜深度为600 m。

1.1 主尺度估算

根据陈明高等[10]常规潜艇排水量和主尺度的确定新方法中排水量表达式：

计算潜艇的主尺度：

导出计算表达式：

其中： ρω为海水密度；λ 为长宽比值；ω 为储备浮力；D为排水量；W/D为储备浮力排水量比。

根据上述计算表达式，给出如表1 所示的主尺度估算结果。

表1 主尺度估算结果Tab. 1 Main scale estimation result

取长宽比为11 的数据，艇首艇尾是标准的水滴型，艇体中段都采用简单平直的圆型断面构造，长度大约是该艇长度的80%，锥体倾角为15°，可以得出如表2 所示的主尺度。

表2 潜艇主尺度Tab. 2 Main scale of submarines

1.2 计算压力

根据《潜艇》[11]计算可得：

极 限 深 度he=600 m,Pe=5.98 MPa ；

工作深度ho=540 m ；

设计 计算深 度hc=900 m，Pc=8.921 MPa。

1.3 耐压壳体厚度及壳体材料

根据《规范》[12]中5.2.1 核潜艇壳板中面周向应力的要求初步计算耐压壳的厚度及肋骨厚度，如下式：

其中：σ02为壳板中面周向应力； σs为材料屈服点。

耐压壳材料选取比重小、强度高、耐高温、抗腐蚀性强的TC4 钛合金，其性质如表3 所示，经计算其厚度初步选取76 mm。

表3 退火钛合金性质Tab. 3 Annealed titanium alloy properties

虽然钛合金有着上述诸多优点，然而钛开发量较少，价格高昂，用作耐压壳的需求量大，成本高，且钛合金弹性模量低，变形大。对于和耐压壳尺寸相比的微小结构—肋骨来说，其结构小，稳定性高，且应力偏小，破坏可能性低，选取价格较为低廉的高强钢就可以满足要求。故肋骨选取HY-100 steel，其性质如表4 所示，尺寸根据《规范》[12]初步取为

表4 HY-100 steel 的性质Tab. 4 HY-100 steel properties

2 BP-GA 算法的基本原理

2.1 遗传算法

遗传算法是模拟达尔文生物进化论的自然选择和遗传学机理的生物进化过程的一种随机算法模型，是一种基于“适者生存”的高度并行、随机和自适应的优化算法。它将问题的求解表示成染色体的适者生存过程，通过染色体群的一代代不断进化，包括复制、交叉和变异等操作，最终收敛到“最适应环境”的个体，从而求得问题的最优解或满意解[13]。遗传算法的主要步骤为：编码，初始群体的生成，适应性值评估检测，选择，交叉，变异。其运算流程如图1 所示。

图1 遗传算法流程图Fig. 1 Genetic algorithm flow chart

2.2 BP 神经网络

BP 神经网络是一种按误差逆向传播算法训练的多层前馈网络,其基本思想是梯度下降法，利用误差反传，反复学习训练，使网络的实际输出值和期望输出值的误差均方差均为最小。神经网络既是并行处理和大规模平行计算的基础，又是高度非线性动力学系统和自适应组织系统，可用来描述认知、决策及控制智能行为[14–15]。具有非线性映射能力，擅于从输入和输出信号中寻找规律，不需要精确的数学模型，并行计算能力强，易于进行软硬件的编程计算[16]。BP 神经网络结构由输入、输出、隐含层组成，如图2 所示。

图2 BP 神经网络结构Fig. 2 Neural network structure

2.3 BP-GA 算法

BP 算法的实质是利用最陡下降法，具有简单、计算量小、并行性强等优点，但它的学习过程收敛速度慢，容易陷入局部极小点，算法不完备，鲁棒性不好，网络性能差[14]。遗传算法具有很强的鲁棒性，能处理复杂的目标函数，避免收敛于局部最优，具有全局搜索能力，但同时遗传算法通常的效率比其他传统的优化方法低，遗传算法容易过早收敛。由上面的分析可知BP 和GA 的优缺点间存在很大的互补性，所以本文提出BP-GA 算法[17]。

3 基于BP-GA 算法的环肋锥柱壳优化设计

3.1 优化策略以及流程

首先在Matlab 平台上使用拉丁超立方体抽样的方法生成600 个样本点用于训练神经网络，其中50 个样本点用于验证神经网络的精确度。然后利用有限元软件Ansys 对环肋锥柱壳的强度和稳定性进行分析计算，得出相应的结构重量及总体失稳临界压力。采用BP 神经网络分别建立起样本点和结构重量之间、样本点与失稳临界压力之间的映射关系，并对神经网络进行训练[18]。再调用一种基于NSGA-Ⅱ算法的多目标优化函数gamultiobj 进行全局寻优，得到Pareto 前沿。其中，fitnessfcn 为适应度函数，是通过目标函数与设计变量之间的函数关系式转换的，而其函数关系式则是由前面的BP 神经网络训练得到。在本次优化中，利用BP 神经网络建立起的设计变量与结构重量、总体失稳临界压力2 个目标函数之间的关系式分别为f1(x)和f2(x)，本文追求结构重量的最小值，总体失稳临界压力的最大值，因此适应度函数设为：fitness fcn1=f1(x)，fitness fcn2=1/f2(x)。整个优化流程如图3 所示。

图3 BP-GA 算法优化流程Fig. 3 Flow chart of BP-GA

3.2 建立模型

优化时采用的是1/2 耐压壳简化得到的环肋锥柱壳几何模型，如图4 所示。材料参数及其数据如下：耐压壳厚度t=76 mm，锥柱结合处的耐压壳会有应力集中问题，需要增厚处理，本文取1.5 倍的耐压壳厚度，t0=114 mm；肋骨尺寸如上文h=416 mm，b=145 mm，t1=78 mm，肋骨间距lm=582 mm。用有限元软件Ansys 进行建模，部分模型如图5 所示，应力图及1 阶屈曲模态如图6 所示。

根据舱段总体稳定性要求，P′cr≥1.2Pc，本文中，≥10.71 MPa。从图6 的1 阶屈曲模态可知临界压力系数为1.231 81，大于1.2，符合要求。当稳定性满足要求时，应力远远小于临界应力，所以优化时可以忽略强度要求。

图6 环肋锥柱壳应力图及1 阶屈曲模态Fig. 6 Stress diagram and first-order buckling mode of ringstiffened cone-cylinder shell

3.3 优化的数学模型

环肋锥柱壳的目标函数为：

其中：f1(x)为 环肋锥柱壳的结构重量；f2(x)为总体失稳临界压力。

设计变量以及取值范围如表5 所示，所有变量均为离散变量。其中，t为环肋锥柱壳壳体厚度。

表5 设计变量及取值范围Tab. 5 Design variables and range of values

4 结果分析与讨论

为了衡量神经网络代理模型的预测值和样本值的差别采用平均相对变动值（Average Relative Variance，ARV）[19]，其定义为：

其中：N为验证模型的样本数量；x(i)为真实的响应值；(i) 为真实响应值的平均值；(i)为代理模型的预测值。可见，平均相对变动值ARV 越小，就表明神经网络的预测效果越好。

为选取合适数目的样本点进行神经网络训练，本文分别计算200 个、400 个、600 个这3 组样本点的代理模型，从中选取50 个样本点进行验证，并计算平均相对变动值ARV。如表6 所示，当样本点数目为200 时，结构重量的平均相对变动值为 6.37×10−6，已经十分接近0，随着样本点增多，ARV 值变化不大。然而失稳临界压力的预测精度就要差一些，需要增大样本点数量以提高精确度。当样本点取600 个时，失稳临界压力的ARV 值为 4.19×10−4，可以满足要求。

表6 平均相对变动值ARVTab. 6 Average relative variance

600 个样本点的BP 神经网络训练结果如图7 和图8 所示。可知，其结构重量预测的最大误差绝对值不到3×10−3，总体临界压力误差绝对值不足7×10−3，误差均很小，说明神经网络的映射精度较高。由此，可得到预测的结构重量与失稳临界压力，如图9 和图10所示。

通过多目标遗传算法得到的Pareto 前沿如图11 所示。Pareto 最优解即为可行域边界最优前沿上的解，也是多目标问题的有效解。可以看到当改善结构重量时，带来的必然是失稳压力的损失，反之亦然。

图7 BP 网络的结构重量预测误差Fig. 7 BP network structural weight prediction error

图8 BP 网络失稳临界压力预测误差Fig. 8 BP network instability critical pressure prediction error

图9 BP 网络的结构重量预测输出Fig. 9 BP network structure weight prediction output

图10 BP 网络失稳临界压力预测输出Fig. 10 BP network instability critical pressure prediction output

Pareto 前沿中共有300 组Pareto 最优解，表7 展示部分结果。

实际应用中，还需要从多个最优解中选取一个作为多目标优化的最终解，本文引用孙光勇[5]的最小距离选择方法（TMDSM），从帕累托前沿中选取最优解。其原理为：D是从拐点到“乌托邦点”的距离，也就是TMDSM 中的最小距离，而拐点就是最优点，由此得到的优化结果如表8 所示。

图11 帕累托前沿Fig. 11 Pareto frontier

表7 部分帕累托最优解Tab. 7 Partial Pareto optimal solution

表8 优化结果Tab. 8 Optimization Results

从表8 可以看出，经过BP-GA 优化后，环肋锥柱壳的结构重量比初始时下降了2.81%，总体失稳临界压力也提高了5.19%，由于变量的初始选值与最终优化值相近，所以优化效果不突出，但仍得到了改善，说明优化合理。

由于上述优化结果是在BP 神经网络建立起的映射关系的基础上，利用遗传算法进行优化搜索计算，最后需要将数据再代入有限元计算中，对BP 神经网络映射的精度进行检验。如表9 所示，与最优解中的结果相比，环肋锥柱壳的结构重量误差为 5.18×10−5，总体失稳临界压力误差为−0.087%，误差都较小，说明此次建立的BP 神经网络具有较高的映射精度。

根据上文的计算结果wt=2 588.17 t，考虑首部球端，可以估算出耐压壳的重量d1=2×1.02×wt=5 279.87 t，本文潜艇的最大排水量为D=16 000 t。根据《现代潜艇设计理论与技术》[20]中所述，现代柴电潜艇中结构重量占43%，攻击型核潜艇中结构重量占45%。双壳潜艇的外壳十分薄，本文取1/4 耐压壳重量，再加上舱壁等结构，非耐压壳结构重量约为1 500 t，故结构重量占最大排水量的42.4%<45%，所以潜艇自重满足要求，上文的优化设计合理。

表9 有限元验证Tab. 9 Finite element verification

5 结 语

本文基于多目标优化理论，依据重量排水量估算核潜艇主尺度，经过有限元计算校核结构重量、应力、失稳临界压力。以环肋锥柱壳的结构重量、总体失稳临界压力为目标，利用BP 神经网络得到变量与优化目标之间的非线性映射关系，代替有限元方法计算的迭代方程式进行分析，然后利用遗传算法进行优化设计，得到理想的优化结果，由此可知：

将神经网络与遗传算法相结合的方式解决复杂问题、大型计算的多目标优化计算，能达到互补优势，不仅能克服神经网络易陷入局部最优的劣势，还能提高遗传算法的计算效率，避免过早收敛的现象发生，并在环肋锥柱壳的优化问题中得到较好的效果。故该方法在潜艇耐压壳上具有一定的价值，未来可以尝试推广至其他大型结构的优化设计上。