赋值法处理抽象函数问题

李小蛟

(四川省成都市树德中学 610091)

解答抽象函数题目的基础是熟悉函数的基本知识.抽象函数无具体表达式，要通过我们所学的一般初等函数的性质来解决比较困难(小题可借用一些类似函数解决)，但抽象函数问题的解决本质上是将抽象问题具体化，所以解决抽象函数问题可以将函数中变量具体赋值，即解决抽象函数有一个万能的方法——赋值法.下面我们分类例析用赋值法解决抽象函数问题.

一、赋值法处理抽象函数的函数值

抽象函数求值问题是要解决具体函数值问题，因此抽象函数求值问题的关键在于赋值，即赋要求解自变量，代入求出相应函数值即可.

例1已知f(x)的定义域为R，对任意的x，y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)，则f(0)=____.

分析本题函数没有具体表达式，即抽象函数求值问题，要求解f(0)的值，即在f(x+y)=f(x)+f(y)这一式子中要出现f(0)，所以我们令x=y=0，即出现f(0+0)=f(0)+f(0)，所以f(0)=0.

例2定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x，y∈R)，f(1)=2，则f(3)=____，f(-3)=____.

分析根据题意，已知f(1)=2且f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，要求解f(3),f(-3)的值，即要利用赋值法构造出自变量为3，-3.

因为f(1)=2,令x=y=1，所以f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2×1×1=2+2+2=6.

又令x=2,y=1,所以f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)+2×2×1=6+2+4=12.

现已求出f(3)=12，要求f(-3).注意3与-3互为相反数，所以如果令x=3,y=-3,即有f(0)=f(3-3)=f(3)+f(-3)+2×3×(-3)，因此我们还应先求出f(0).于是再令x=y=0，则有f(0+0)=f(0)+f(0)+2×0×0，所以f(0)=0.

因此0=f(0)=f(3-3)=f(3)+f(-3)+2×3×(-3)=12+f(-3)-18.

所以f(-3)=6.

二、赋值法处理抽象函数解析式

抽象函数求解析式是要求出f(x)，因此我们要采用赋值法得到f(x)，并利用赋值法将对应法则f作用的其余形式消去即可.

①

②

例4已知f(x)+2f(2-x)=3x2-8x+8，求f(x)．

分析条件中给出有关对应法则f作用于x和2-x，要求出f(x)，就要想办法消去f(2-x)，所以利用赋值法，我们只需要将上式中所有x换为2-x，即f(2-x)+2f(x)=3(2-x)2-8(2-x)+8，然后与f(x)+2f(2-x)=3x2-8x+8联立求解出f(x)=x2.

三、赋值法处理抽象函数奇偶性

奇偶性是考查f(x)和f(-x)之间的关系，所以抽象函数奇偶性问题关键在于采用赋值法让题目出现f(x)和f(-x)，并根据表达式探究f(x)和f(-x)两者的关系.

例5设函数f(x)的定义域为R，对任意x1，x2∈R，恒有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)成立，则f(x)是____(指明函数的奇偶性).

分析令x1=x,x2=-x，则出现f(x-x)=f(x)+f(-x)，所以f(x)+f(-x)=f(0)，所以我们还要先求出f(0)的值.于是我们又令x1=x2=0，所以f(0)+f(0)=f(0)，于是f(0)=0，所以f(x)+f(-x)=0，即f(x)为奇函数.

例6设函数y=f(x)(x∈R且x≠0)对任意非零实数x1，x2满足f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)，则函数y=f(x)是____(指明函数的奇偶性).

分析本题要出现f(x)和f(-x)，我们只需令x1=x,x2=-1，则出现f(-x)=f(x)+f(-1)，所以我们要先求出f(-1)的值，于是我们将所求f(-x)=f(x)+f(-1)中x的值赋为1，所以就有f(-1)=f(1)+f(-1)，因此我们还得求出f(1)的值.我们再在题设中令x1=x2=1，所以f(1)=f(1)+f(1)，求解出f(1)=0，再依次代入可得f(-1)=0，进而f(-x)=f(x)，即f(x)为偶函数.

四、赋值法处理抽象函数单调性

函数单调性研究自变量大小与相应函数值大小的关系，即在一个单调区间内x1f(x2)，所以解决抽象函数单调性的关键在于通过赋值找出相应的不等关系.

例8已知f(x)的定义域为R，对任意的x，y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)<0，求证:f(x)为(-，+)上的减函数.

分析由例5已经知道f(x)为奇函数，任取x1，x2∈R,且x1>x2，则x1-x2>0.

所以f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2).

因为当x>0时，f(x)<0，

所以由x1-x2>0,可知f(x1-x2)<0.

所以当x1>x2时，有f(x1)

分析由例7已经求出f(x)为奇函数.

由x1-x2<0，且-1

又1-x1·x2>0，且1-x2>0，x1+1>0，

因为当0

所以当-10．

所以当-10.

所以f(x)在(-1，1)上为单调减函数．

五、赋值法处理抽象函数最值

抽象函数求最值问题可类比求值问题，但经常会综合考查抽象函数的单调性、奇偶性等问题，以及化归与转化、类比等数学思想方法.

例10已知f(x)的定义域为R，对任意的x，y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)<0，若f(1)=-2，求f(x)在[-2，4]上的最大值和最小值．

分析由例5已经知道f(x)为奇函数，由例8得出f(x)为(-，+)上的减函数.

因此f(x)在[-2，4]上最大值应该为f(-2)，最小值应该为f(4)，下面用赋值法分别求出f(-2)，f(4).

因为f(1)=-2,

所以f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=-4.

所以f(-2)=-f(2)=4.

所以f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)=-8.

即f(x)在[-2，4]上最大值应该为4，最小值为-8.

六、赋值法处理抽象函数不等式

抽象函数不等式问题需借助抽象函数的单调性、奇偶性、定义域等来综合求解，利用赋值法将看似无关联的不等式转化为常规不等式问题求解.

分析由例7已经知道f(x)为奇函数，由例9得出f(x)为(-1,1)上的减函数.

由以上例析我们可以发现，解决抽象函数问题的本质是将抽象问题具体化，而通过赋值法几乎可以解决抽象问题的所有题型，因此赋值法不失为处理抽象函数问题的一个最常用方法.