高中数学线上“概念课”授课模式应用研究——以“事件的相互独立性”为例

王曼铃

（大庆实验中学，黑龙江 大庆 163711）

一、引言

随着客观环境及教育改革的不断推进，在线教学作为新的教学形式已经成为未来的发展趋势。如何将诸多方法、内容以及硬件和软件有机结合，更好地服务于教学，依然有待探讨和深入挖掘。本文以高中数学“概念课”教学为切入点，细致分析线上教学模式，以期在实践中逐步完善并提升在线教学理念和方法。

概念课，一般来说是学生在教师的指导下，根据自己已有的认知结构，经过同化或顺应，对材料形成活动体验或直观感知，经过程序加工，形成深度理解，最后丰富自己的知识结构、形成完整概念图示的过程。高中数学的概念教学更加强调学生对于知识本身的理解和内化。

越来越多的教师开始重视“概念课”教学形式的设计与创新，在每一次课程变革下都会首先对“概念课”的教学进行研究。在信息技术与线下教学相融合的背景下、在新的教学方式的驱使下、在新课改对学生核心素养提升的要求下，教师更要思考如何从“概念课”入手来探究课堂形式的转换以适应新的教学常态，提升教学效果。

二、“概念课”在线教学的创新思路

线下的“概念课”模式，以教师讲授为主，一般将课堂分成三部分：①新知引入，教师大概利用课堂的前10分钟的时间展示概念的背景和形成过程；②概念辨析，接下来的15～20分钟主要是对概念的深入讲解，从不同的角度剖析概念中的关键词、适用范围、注意事项等；③概念应用，最后的10～15分钟，是对概念进行应用练习，加深学生对于这些知识的理解以及知识的迁移，布置课后作业，帮助学生消化理解。

线上教学与线下课堂最大的区别在于，在线教学可以打破空间的限制，完成“云”端学习，这就包括：学习者的人数不再局限于教室，可以利用的资源不再局限于纸笔和观看教师展示；学习的进度不要求全部整齐划一；学习者的反馈不再需要等到课后的测试才能被看到（陈劲松，2015）。线上教学并不是“课堂搬家”，它是将线下教学的基本方式与线上的交互性优势相结合，填补了线下教学教师为主导的课堂难以改变的现状。线上教学包容性更强，涵盖了线下教学的所有内容和方式。

三、高中数学“概念课”在线教学的理论支撑

（一）协同教学理论

协同教学（Team Teaching）是美国20世纪50年代提出的一种教学形态，主要的方式是由多位教师合作计划和设计教学过程以及评价方式，充分整合教师的个人能力和资源，使教学方式发生变化，让教学效益达到最大化（董官明，2016） 。

线下教学中多为教师在班级对固定学生进行授课，很难实现教师之间的协同，而在线教学的空间灵活性就可以将协同理论应用于数学线上“概念课”教学的全过程。在课前教师以备课小组为单位，由两名或三名教师组成备课团队，多师协同准备教学资源包，使得备课资料更具有普适性；在课上教学的过程中可以实行大班教学，课上两位教师进行双师协同，由一名主讲教师讲解，一名作为助教处理学生在评论区中的提问并进行信息筛选；课后，每位教师对本班学生的个性问题有针对性地进行小组答疑，同时整理反馈信息，这种协同教学的方式可以极大地整合教师资源，同时能够针对学生的问题提出更加全面且适当的解决策略，而且能够提高教学效率和学生的学习效果。

（二）学习金字塔理论

美国缅因州的国家训练实验室做过类似的研究，提出了“学习金字塔”（Learning Pyramid）理论。各种教学方式在学生头脑中的知识的保留率各不相同，知识的保留率用百分率呈现出来，从小到大排列成为金字塔的形式（陈华，2019）。

图1 学习金字塔图示

学习金字塔理论与《基础教育课程改革纲要（2019）》的理念是相吻合的，如果可以将主动学习的方式应用到课堂中，则可以大大改善学生的学习效果和学生各方面能力的培养。在线教学可以更加容易和直观地实现学生的主动学习，达成超越时间和空间的讨论与实践，例如：在数学概念课中，可以利用教学平台将学生进行分组，学生在课前利用视频的方式进行小组探讨；在课下学生可以运用资源包里丰富的资源进行实践研究；课后设置分享课堂，学生在线上进行展示，实现学生之间知识的共享，达成自主学习的目的。

（三）APOS理论

建构主义理论（Constructivism）认为，知识是在特定的情境下，通过其他人的协助以及资料的供应，利用对于知识方法的建构获得知识的过程。所以在建构理论中情境、协作、对话以及意义的建构是非常重要的。

基于建构主义理论，20世纪80年代末至90年代初，美国的杜宾斯基等人创立了数学概念学习的APOS理论模型，认为学生学习数学概念要经历四个阶段的心理建构。体验活动（Action）阶段可以由学生在课前通过自选资源完成，确保活动难度适宜；经过对课前体验的内化，形成过程（Process）阶段可以由线上主讲教师统一讲解、助教教师辅助完成，确保每位同学掌握的概念准确清晰；学生经过操作，是否将过程压缩为概念整体对象（Object）可以通过变式训练测试，助教根据学生的测试成果和提问发现其中的问题，反馈给主讲教师；最后主讲教师和学生一起完成对概念的同化与顺应，形成图示（Schema）（曹一鸣，2008）。

在APOS四个环节上，线上教学做出了适当的调整，使之更加适合在线教学的规律，也更加有助于学生对概念的深入理解，促进主动学习。

四、高中数学“概念课”在线教学模式的构建

结合在线教学实践经验以及对以上教学理论的学习和应用实践，发现以问题为导向能够提高学生学习的主动性和目的性。高中生已经具备了基本的数学能力，很多概念可以在学生的探讨和思考中逐步生成、完善，这种通过线上资源自主生成相关成果的过程与体验，对培养学生的学科素养是大有裨益的（韩斌，2018）。

将问题和资料提前交给学生，让学生主动寻找答案，调动了在线课堂学生的学习状态，能更好地了解学生对概念的理解水平（董官明，2016）。同时还可以借助线上丰富的信息资源，让学生在小组讨论的过程中加深对于抽象的数学符号、数学概念的理解，达到深度学习的目的（刘月霞，郭华，2018）。

在线教学的一大优势就是学生可以很方便地进行在线测试，学生通过每次测验的直观数据了解自身概念掌握的程度，有针对性地解决；教师也能及时掌握学生的情况，及时调整教学方案。基于以上想法，针对高中数学的“概念课”在线教学，构建教学模式见图2。

图2 高中数学“概念课”在线教学模式

（一）课前准备——对“概念”的初步认识

在课前准备中，将所有的活动分解成五项内容，其中前两项由备课组教师共同完成，后三项由全体同学以“自主预习+小组合作”的方式来完成。

1. 多师协同

课前由3名教师组成备课小组协同备课，包括：知识理解的协同，即教师交流对于概念的理解、教授方式的把握以及考纲的分析；教学经验的协同，依据以往的教学经验，针对学生可能存在的问题及误区进行预设；资源的协同，教师共享课程资源，构建本节课的通识资源包。

2. 通识资源包

资源包里应该包含基本知识介绍，学生自主阅读，了解基本概念；微课，针对几个核心概念的讲解，让学生对基础知识有一个直观的认识；问题性预习材料，根据对学生的预设，设置有梯度的提问，引导学生自主思考；前测试题，学生自测预习成果，明确本节课要学习的任务和目的，了解自己在学习过程中的疑问；知识网络图，学生在整个学习过程中不断地进行完善（毛元凤，2011）。

3. 个性预习

基于多元智能理论，学生可以在资源包中选择适合自身理解水平的预习资料，这样更有助于学生形成对于概念初步认识。

4. 小组讨论

每个学生完成预习材料、前测试题和知识框架图之后，进行小组讨论、展示和共享。针对一些基础的问题，同组理解较好的学生可以为理解不足的同学解答，共同完善知识网络图，最终确定本组的共性问题并反馈给教师。

5. 个性资源包

每一位学生，将自己阅读的预习材料、前测试题及反思、小组讨论解决的问题及完善后的知识框图进行整理，存放在自己的电子资源包中，以备积累和课上使用。

（二）课中实践——对“概念”的深入理解

课中，教师要依据考纲对这部分知识的理解程度要求以及学生课前预习的实际情况为依据设计教学，一节课的容量不宜过多，只需要让学生体会和掌握核心知识、核心方法和技能即可，为此将设置以下的教学环节。

1. 小组展示

上课后，教师先带领同学们进行统一的复习回顾，引出本节课的学习内容。接下来小组内学生进行预习成果展示，先简单介绍概念的产生和理解，以及知识网络框图。之后提出疑问，以便教师调整教学侧重点，让学生对知识的学习更有主动性和针对性。

2. 延伸问题牵引

根据课前预习中学生小组未解决的问题，教师要设计“延伸问题”，引导学生探究新知。延伸问题贯穿整个“概念生成—概念对比—概念应用”的教学过程中，配以及时的跟踪检测，不断地强化学生对于概念的认识。建议教师准备的练习题包含3个梯度，教师可根据学生对中间梯度问题的完成情况，决定下一步训练的方向，这样能使得课堂授课更加高效（范柱宝，2016）。

3. 双师协同

在线课堂实行双师协同的方式。主讲教师根据提前收集上来的小组学生的疑问，设置延伸问题，将问题进行细化和分解，并要适应学生的知识理解水平。助教教师在网络课堂中随时解决个性化的问题，将共性问题推送给主讲教师，有助于主讲教师高效授课。

4. 课堂小结

整节课讲解完毕之后，让小组代表对本节课的内容进行总结，小组进行知识网络的完善并与同伴进行分享。各组代表分享后，教师进行点评和补充，以便课后小组在分享课堂中进行进一步的总结，生成个性的知识网络图，让学生对知识有宏观的把控和理解。

（三）课后评价反思——对“概念”的内化整理

课后，对学生的学习成果进行巩固训练和及时评价至关重要，强调知识体系的共性化和资源评价的个性化。

1. 后测试题

课后我们要严格针对本节课所学的内容进行问题的设置，问题要以基础题为主，注重学生对课堂内容的夯实和了解。教师通过对学生作业完成情况的反馈，了解学生漏洞，进而通过答疑课的方式进行解答。

2. 小组研讨

小组研讨分为在线直播会议研讨和线下文字研讨两种。线下文字研讨主要是对于一些每天所涉及的知识点和问题进行交流，在线直播会议研讨每周两次，学生可以对近几天所学的内容重点以及自己的一些收获与同伴分享（苏金福，2017）。

3. 教师答疑

除了要参加学生研讨会议之外，还要每周两次进行学生疑问的解答，这里教师要做到两个方面：第一要对学生在作业批改中以及平时的讨论中所遇到的共性问题进行细致的讲解，其次要对个别学生存在的特殊的个性化的问题进行一对一的解答。

4. 概念内化

后测及教师答疑后，学生继续改正不足，通过自己整个课程学习过程中的测试、互动等感受，整理出本节课的核心概念的“生成→理解→应用”过程的思维导图，完善知识体系，养成良好的学习习惯。

5. 评价反思

知识层面，针对学生的前测成绩、课中检测以及后测成绩，形成学生个人的知识理解水平变化趋势图。心理层面，每节课的开始和结束让学生填写理解水平问卷，了解学生的心理的变化 （朱培雯，2019）。生生互评层面，在课后的小组讨论和分享中，学生会对其他小组的展示进行点评和打分，推选出他们认为最优和进步最大的小组。

五、“概念课”在线教学的案例设计

基于以上高中数学“概念课”的教学模式，现以“事件的相互独立性”一课为例，进行实际应用举例。

（一）课前准备——对“概念”的初步认识

教师组成3人备课组协同准备教学资源包，其中包括：微课、预习课件、阅读材料、预习前测试题、学生知识流程图、学生预习问题收集。学生个体完成预习任务后，利用前一天的钉钉小组群进行20分钟的小组讨论，主要是：①探讨预习中的疑问，如古典概型中的两个基本事件是不是相互独立的？相互独立事件与互斥事件有什么区别和联系？②互相沟通完善知识网络图；③组长将本组主要问题反馈给教师。

（二）课中实践——对“概念”的深入理解

1. 学生展示环节

双师协同完善课前预习问题和延伸问题，学生根据预习情况对知识网络图进行小组展示，培养理解能力和自主探究能力。

2. 概念理解过程

1）概念的生成

主讲教师设置合理的问题情境，让学生体会事件的相互独立性，从而自主归纳出概念，助教针对理解不好的同学进行个别答疑，保证学生认知的连贯性，让每位学生都能顺利地理解。

2）概念的对比

主讲教师设置延伸问题，引发学生辨析“互斥事件”与“相互独立事件”的区别；从特殊性质入手，类比事件的相互独立性与条件概率的性质的共同点。双师协同，助教对于回答错误的同学给予指导，将典型问题提交给主讲教师解答，及时调整授课节奏。学生结合新知和旧知的对比，加深对新知的理解，注意知识之间的区别和联系。

3）概念的应用

在充分理解概念的基础上，通过具体事例引导学生主动探究运用所学知识解决实际问题的方法和步骤，将知识标准化、严谨化。延伸问题牵引，激发学生的思考热情，发现易错点和方法之间的巧妙联系，例如：①正面计算较繁或难以入手时，可以从对立事件入手计算；②审题时应注意“至少有一个发生” “至多有一个发生” “恰好有一个发生”等关键的词句。

4）课堂小结

学生自主完成本节课的思维导图，体会概念产生、发展、应用的过程，加深理解和记忆。

（三）课后评价反思——对概念的内化整理

科学评价学生对概念的内化情况，应该从客观成绩评价和主观态度评价两方面进行，既调查学生对概念的掌握情况，又从学生的真实感受中体会教学目标和效果的达成情况。

客观成绩评价。在所有的课程评价中，成绩评价是最公平也是最具有说服力的一种。①分别对比实验班和对照班的前测和后测成绩，比较学生进步幅度的大小，分析班级平均分和离散程度，体现教学模式对提升教学水平的作用；②对比每位学生在“前测—课中练习—后测”的成绩变化曲线，精准了解各个学生的概念理解能力的变化；③分析试卷的可信度，保证研究的科学性和数据的有效性。

主观态度评价。相较于成绩分析，主观态度的调查更能体现出课堂教学模式对于学生理解能力的提升和学习兴趣的提高。①端正学习态度，可改善授课方式；②提升求知欲望，可增强学生参与度；③调动学习主动性，可提高学习效率。

六、“概念课”在线教学效果的数据分析

(一)学生前测、后测成绩对比分析

1. 学生数学成绩的差异性分析

对于概念课“事件的相互独立性”教学，将高二理科八班作为实验班级，理科七班当作对照班级，收集前测成绩并进行了配对样本检验（见表1）。

表1 实验班与对照班前后测成绩成对样本统计量

从表1可以看出七班的前测成绩与八班的前测成绩均值和标准差都相差较小，说明学生理解水平比较相近，预习情况较好。七班和八班的后测成绩的均值差异较大，可以看出不同教学方法的效果的区别。

表2中的数据说明七班和八班的前测成绩无显著差异，后测成绩产生了显著差异，说明概念课教学模式对于学生的学习情况产生了较好的影响。

表2 实验班与对照班前后测成绩差异性统计

表3的数据体现出两个班的成绩均有了显著提升，说明教学有效提升了学生对概念的理解和认知水平。

表3 实验班前后测、对照班前后测差异性统计

从总体人数的分布变化来看（见表4），各段人数均有所增加，并且在授课之后，及格率达到了95%以上，说明无论是传统教学方式还是新的教学模式，通过课上的探究以及教师的讲解，学生对概念都会有更好的理解。

表4 实验班与对照班及格率和优秀率比较

通过数据可以看出，实验班的各段人数增长幅度更大，后测平均分为84.809，比对照班更高，实验班本节课的知识掌握得较好；实验班后测的及格率达到100%，优秀率高达到44.68% ，高于对照班，说明对于一些理解程度比较好的同学，通过这样的方式可以更好地激发他们的思考欲望和潜能。同时也不能忽视的是，有个别同学并没有达到很好的理解效果，这可能与该同学课前预习不足或理解能力稍弱有关，这部分同学是教师应重点关注的。

2. 学生数学成绩的个性化分析

如图3所示，圆点连接成的曲线代表个体学生多次测试得分率的变化，方块连接成的曲线代表班级平均得分率的变化。通过对学生课前、课中、课后测试的成绩跟踪的对比，可以发现大部分学生的成绩逐步趋于稳定，并且在班级平均水平上下浮动，这就说明班级整体成绩趋于均衡，学生从开始对于概念理解不到位，完成测试题时准确率波动较大，到随着课程的深入，对于概念理解更为扎实。

图3 学生个体成绩变化

(二)数学前测、后测成绩的有效性分析

表5 七班、八班试卷成绩的相关性分析

从表5的数据中可以看出，七班、八班的前、后测成绩显著相关，说明了成绩的有效性。

（三）学生对教学过程的评价分析

在课前和课后，对学生的学习态度、求知欲望以及学习主动性三个方面进行线上问卷调查，了解学生学习前和学习后心理的变化，观察线上教学模式学生的接受程度，以及对于学生学习主动性的调动是否有帮助。

从表中6中对比数据可以看出，学生起初对于课上提问、展示、分享等形式存在畏惧的心理，害怕说错，但是经过本节课的学习后，借助于小组讨论的方式，增强了自信心，能够有意识地表达自己的观点，积极地参与到讨论中来，表明在线教学更好地调动了学生的学习主动性。

表6 学生对教学过程的评价统计

七、教学反思

这种高中数学教学模式的核心是：在教学设计实现的过程中，始终以学生为主体、以问题为导向进行深度挖掘，让学生对自己已有的认知进行再思考和再认识，从而加深学生对这部分知识的深度理解和学习。这样的一节“概念课”的设计，更能实现课堂互动以及学生学习成果的共享，完成课堂教学任务和目标。在实践中，发现该教学模式有以下几个创新点和需要完善的地方。

（一）创新点

1. 多师协同教学

多师协同教学，实现了教师团队的优势互补，增强了教师队伍的合作意识，提升了教学效率。

2. 学生个性资源包

该模式下的学生个性资源包的形成是流动的，随着学习的不断深入，学生的个性资源包不断地被教师资源、同伴资源、学生个体资源所填补，真正做到因人而异、个性发展。

3. 延伸问题

在每个预习问题的背后，教师都根据小组同学的反馈设置“延伸问题”，加深了学生对于知识的理解，带动了学生学习的积极性，让学生学会主动思考和举一反三，可以达到较好的学习效果。

4. 跟踪评价

由互联网的连通性，设置“前测→课内检测→后测”三个跟踪评价环节，能够全面地反馈出学生的知识接受程度和理解水平的变化，呈现个体在网络中的多维变化趋势， 学生对自身有一个正确的认知，才能不断地改进和提升（秦婷，徐亚倩，郑勤华，2020）。

（二）有待完善之处

学生的学习不仅仅来源于课堂本身，更在于课前、课中、课后的一个完整的学习过程，每一个环节学生都在进行学习和思考，参与性强，自身能力得到了很好的锻炼，知识掌握的效果也基本达到了要求。但在课后检测和深入小组进行答疑的过程中，也发现学生存在的一些问题，听取学生的反馈意见后，进行了如下改进，力求让学生有更好的数学学习效果和体验。

1. 细化“预习问题串”

这部分可以把主动权多交到学生手中，教师给予适当的引导并尽可能多地提供学习资源，逐级加深学生的理解。

2. 调整课堂节奏

多给学生反馈和思考的时间，多给学生提问和交流的时间，在解决问题的过程中实现知识的内化。

对于一线教师来说，在线教学的授课模式是新的挑战，也是顺应现在教学改革的一条必经之路。教师应该从教学实践出发，结合自己所教授学生的实际情况，学习如何将线下教学和线上教学相结合，凸显优势，服务教学，从而提高效率和效果，增强学生学习的热情，最终实现学生综合能力和核心素养的全面提升。