考虑输入饱和的PMSM命令滤波离散控制

2021-04-06徐雨梦于金飞崔英英于金鹏刘加朋

微特电机 2021年3期

徐雨梦，于金飞，崔英英，于金鹏，刘加朋

(1.青岛大学自动化学院，青岛 266071；2.淄博市技师学院，淄博 255025；3.山东劳动职业技术学院，济南 250022)

0 引言

近几十年，永磁同步电机(以下简称PMSM)凭借使用寿命长、操作简单以及造价低等优点，在电机拖动系统中得到较大的关注。但是，PMSM具有强耦合、多变量以及高度非线性等特点，并且具有外部负载扰动、参数不确定的设计难题。为克服以上缺点，许多学者提出了不同的控制方法，如反步控制[1]、滑模控制[2]和自适应控制[3-4]等。

反步法在解决非线性问题中具有重大突破，并在PMSM中应用广泛。文献[5]在设计控制器的过程中需要计算虚拟控制函数的差分，随着系统阶数的增加，“计算复杂性”问题产生。通过进一步改进，文献[6]采用动态面技术解决了文献[5]中产生的“计算复杂性”问题，但是在使用一阶滤波器的过程中会产生滤波误差，降低了PMSM的控制性能。文献[7-8]将命令滤波技术与反步法结合，不仅避免反步法中的“计算复杂性”问题，而且还消除了滤波误差，提高了控制器的控制精度。

然而，上述控制方法没有充分考虑输入饱和非线性带来的不利影响。在控制系统中不可避免地存在饱和非线性项，这将增加算法的计算量，系统的稳定性也会降低。输入饱和非线性对PMSM的影响，学者们采用输入饱和技术解决。文献[9]将输入饱和以及命令滤波技术结合，来解决输入饱和问题。然而，文献[9]是基于连续时间电机控制器设计的，与连续时间系统相比，离散系统在可实现性和稳定性方面具有优越性，且在数字计算机中应用广泛，更易于描述实际问题。因此，本文提出了输入饱和的PMSM命令滤波离散控制。与传统的控制方法相比，本文设计控制器的优点有：

(1) 将输入饱和技术应用于离散系统，并采用分段光滑函数来逼近输入饱和问题，避免对电机造成危害，更适用于实际控制中。

(2) 采用命令滤波技术克服了传统反步法中出现的“计算复杂性”问题，运用补偿信号能够解决滤波误差问题，降低了控制器设计的复杂度，提高了控制精度。

(3) 神经网络技术用来逼近系统中的饱和非线性函数，降低输入饱和对系统造成的不良影响。

从仿真结果可以看出，设计的控制器在考虑饱和非线性的影响下仍具有良好的位置跟踪性能，提高了PMSM运行的稳定性。

1 PMSM离散模型

在同步旋转坐标系d,q轴下，描述PMSM的离散模型[10]：

Θ(k+1)=ΔTω(k)+Θ(k)

式中：Θ为转子角度；ω为转子角速度；J为转动惯量；ids,iqs为d轴和q轴的电流；uds,uqs为d轴和q轴的电压；B为摩擦系数；p为磁极对数；Rs为定子等效电阻；ld,lq为定子侧的等效电感；Φ为永磁体的磁链；ΔT为采样周期；Tl为负载转矩。

利用新定义的符号，PMSM离散模型如下：

(1)

uqs(k)为PMSM的电压输入信号，uqs(k)描述：

式中：uqsmax>0和uqsmin<0是未知的常数；vq(k)是饱和非线性的输入信号。

通过使用分段的平滑函数来近似饱和函数，定义函数如下：

将uqs(k)改写成：

uqs(k)=sat[vq(k)]=g[vq(k)]+Y[vq(k)]

式中:Y[vq(k)]=sat[vq(k)]-g[vq(k)]是有界函数，其边界：

|Y[vq(k)]|=|sat[vq(k)]-g[vq(k)]|≤max{uqsmax[1-tan(1)],uqsmin[tan(1)-1]}=D

式中：D是一个常数。

根据中值定理可知，存在0<λ<1，使得:

g[vq(k)]=g[vq(0)]+gvλ(k)[vq(k)-vq(0)]

其中，gvλ(k)={g[vq(k+1)]-g[vq(k)]}|vq(k)=vλ(k)，vλ(k)=λvq(k)+(1-λ)vq(0)，vq(0)=0，可以得到：g[vq(k)]=gvλ(k)vq(k)，从而,uqs(k)=gvλ(k)vq(k)+Y[vq(k)]。

同理可得：uds(k)=gvλ(k)vd(k)+Y[vd(k)]。

引理1[12]：

定义命令滤波如下：

Zl,1(k+1)=WnZl,2ΔT+Zl,1(k)

Zl,2(k+1)=[-2ξWnZ2(k)-Wn[Zl,1(k)]-

αl(k)]ΔT+Zl,2(k)

本文设计控制器的目的是，考虑系统的输入饱和影响后，设计的控制器仍保证位置跟踪性能，使控制器的输入信号x1稳定跟踪给定信号x1d。

2 命令滤波控制器设计

根据反步法原理，定义系统误差和补偿信号：

式中：x1d(k)为给定的期望信号；命令滤波器的输入和输出信号分别为αr，αrd，r=1,2；ξj为补偿信号，j=1,2,3,4。

1) 将离散模型式(1)的第1个方程写成：

v1(k+1)=e1(k+1)-ξ1(k+1)=x1(k)+

ΔTx2(k)-x1d(k+1)-ξ1(k+1)

(2)

构造虚拟控制函数α1(k)和补偿信号ξ1(k)：

(3)

ξ1(k+1)=ΔT[ξ2(k)+α1d(k)-α1(k)+t1ξ1(k)]

(4)

式中：|t1|≤1。由式(3)和式(4)可得：

(5)

2) 将离散模型式(1)的第2个方程写成：

v2(k+1)=e2(k+1)-ξ2(k+1)=

(1+ΔTa2)x2(k)+a1ΔTx3(k)+

a3ΔTx3(k)x4(k)+a4ΔTTl-

α1d(k+1)-ξ2(k+1)

a3ΔTx3(k)x4(k)+a4ΔTTl-

α1d(k+1)-ξ2(k+1)]2-

(6)

构造虚拟控制函数α2(k)和补偿信号ξ2(k)：

(7)

ξ2(k+1)=a1ΔT[ξ3(k)+α2d(k)-α2(k)+t2ξ2(k)]

(8)

式中：|t2|≤1。由式(7)和式(8)可得：

a3ΔTx3(k)x4(k)+a4ΔTTl}2-

在实际PMSM系统中，由于所带负载都是有限的，故假设|Tl|≤d，d为正常数。

根据杨氏不等式可得：

(9)

3) 将离散模型式(1)的第3个方程写成：

v3(k+1)=e3(k+1)-ξ3(k+1)=

(1+b1ΔT)x3(k)+b2ΔTx2(k)+

b3ΔTx2(k)x4(k)+b4ΔTuqs(k)-

α2d(k+1)-ξ3(k+1)

(10)

f3(k)=(1+b1ΔT)x3(k)+b2ΔTx2(k)-

α2d(k+1)+b3ΔTx2(k)x4(k)-ξ3(k+1)

(11)

式中：f3(k)为一未知的非线性函数，z3(k)=[x1(k),x2(k),x3(k),x4(k)]T，τ3表示逼近误差，并满足不等式|τ3|≤ε3，‖W3‖是向量W3的范数。

(12)

‖S3[z3(k)]‖e3(k+1)

(13)

(14)

4) 将离散模型式(1)的第4个方程写成：

v4(k+1)=x4(k+1)-ξ4(k+1)=(1+c1ΔT)x4(k)+c2ΔTx2(k)x3(k)+c3ΔTuds(k)-ξ4(k+1)

(15)

f4(k)=(1+c1ΔT)x4(k)+c2ΔTx2(k)x3(k)

(16)

式中：f4(k)为一未知的非线性函数，z4(k)=[x1(k),x2(k),x3(k),x4(k)]T，τ4表示逼近误差，并满足不等式|τ4|≤ε4，‖W4‖是向量W4的范数。

(17)

γ4‖S4[z4(k)]‖e4(k+1)

(18)

(19)

将式(5)、式(9)和式(14)代入式(19)可得：

(20)

3 稳定性分析

(21)

ei(k+1)-2γi‖Si[zi(k)]‖·

由杨氏不等式和‖Si[zi(k)]‖2≤li可得：

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

式中：

4 仿真结果分析

为了证实本文方法的可行性，把命令滤波和动态面方法进行对比，并且考虑输入饱和的影响，在MATLAB环境下进行仿真。

表1 PMSM模型参数

表2 控制器参数

仿真结果如图1～图4所示。图1、图2为命令滤波和动态面的位置跟踪波形以及位置跟踪误差曲线。可以看出，命令滤波控制的跟踪误差比动态面的误差小，跟踪效果更好。文献[5]在反步法中会产生“计算复杂性”问题，而命令滤波控制相比于动态面控制不仅解决了“计算复杂性”问题，而且引进补偿信号消除了滤波误差，使控制器的算法设计更加简单，位置跟踪效果更好。图3表示命令滤波和动态面q轴电压轨迹曲线。可以看出，两种方法都能够解决输入饱和的影响。uqs是PMSM的电压输入信号，vq是饱和非线性输入信号，电压突变损坏电机正常运行，因此利用输入饱和技术将饱和非线性输入信号限制在合理范围。图4表示命令滤波和动态面d轴电压轨迹曲线。与文献[6]的动态面方法相比，本文的命令滤波控制的位置跟踪效果更好，跟踪误差更小。

(a) 命令滤波

(b) 动态面

(a) 命令滤波

(b) 动态面

(a) 命令滤波

(b) 动态面

(a) 命令滤波

(b) 动态面

5 结语

本文研究了PMSM命令滤波离散控制方法，设计的控制器考虑了输入饱和的影响。应用命令滤波技术，解决了传统反步法中存在的“计算复杂性”问题，引入补偿信号，消除了滤波误差；运用神经网络技术逼近系统中的饱和非线性函数。最后，利用Lyapunov稳定性证明了闭环系统是稳定的。仿真结果验证，本文的控制方法在输入饱和的影响下有较好的位置跟踪性能。

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