具有非线性恢复率的媒介传染病模型性态分析

杨 扬，李桂花

(中北大学 理学院，山西 太原 030051)

0 引 言

媒介传染病是通过媒介将病原微生物传染给宿主后进行传播的传染病，常见的媒介有蚊子、蜱类、三尖虫、沙蝇和黑萤等.媒介传染病始终威胁着人类健康，这就对如何预防传染病提出了严重的挑战.对传染病模型的研究可使我们更了解疾病的传播，从而为疾病的控制提供一些合理的建议.

在常见的传染病模型中，对以蚊子为媒介的疾病，比如疟疾、登革热、西尼罗河病毒(WNV)的研究较多[1-6].模型在建立过程中，一般假设恢复率μ为常数.但在现实生活中，恢复率与医疗资源的数量有关，如果医院有足够的病床(设病床数量为b>0)，病人就能够得到有效的治疗.在病床数一定的情况下，染病者数量越多，恢复率越低.因此，设恢复率函数是染病者数量Ih的减函数.取恢复率函数为[7-8]

本文将宿主种群Nh分为易感者Sh、染病者Ih和恢复者Rh，将媒介种群Nv分为易感者Sv和染病者Iv，且满足关系式Nh=Sh+Ih+Rh及Nv=Sv+Iv.建立如下系统

(2)

本文接下来考虑平衡点的存在性，研究平衡点的稳定性及分支情况，通过数值模拟验证了Bogdanov-Takens分支、Hopf分支和极限环的存在.

1 平衡点的存在性

为分析平衡点的存在性，令系统(2)的4个微分方程的右端都等于零，即

接下来分析正平衡点的存在性，由式(3)、式(5)和式(6)可得

将上述所得Iv，Sh，Nh代入式(4)得

(7)

其中

A2=βvdhd0(A+Nv0βh)>0，

A1=Abd1dhβv-Nv0βhβvdhA+

Nv0βhβvdhbd1+A2(1-p)dvd0，

A0=-Ab(Nv0βhβvdh-Ad1(1-p)dv)=

-A2bd1(1-p)dv(R0-1).

为了确定方程(7)正根的存在性，考虑下面的情况：

1)R0>1时，即A0<0，此时Δ>0，方程(7)只有一个正根Ih2.

2)R0<1时，即A0>0，分以下两种情形讨论：

ⅰ)A1>0，方程(7)无正根；

3)当R0<1时，系统(2)不存在正平衡点，若满足下列条件之一

ⅰ)A1>0，

ⅱ)A1<0，Δ<0.

2 稳定性和分支分析

则无病平衡点E0的Jacobian矩阵的特征方程为

Q(λ)=(λ+dh)2[λ2+((1-p)dv+d1)λ+

显然λ1=λ2=-dh<0，特征值λ3，λ4满足方程

λ2+[(1-p)dv+d1]λ+d1(1-p)dv(1-R0)=0.

由韦达定理可知

λ3+λ4=-[(1-p)dv+d1]<0，

λ3λ4=d1(1-p)dv(1-R0).

所以，R0<1时，Re(λ3)，Re(λ4)<0，R0>1时，λ3<0<λ4.

综上所述，有如下定理：

定理2对于系统(2)，R0<1时，无病平衡点E0是局部渐近稳定的；R0>1时，无病平衡点E0是不稳定的.

接下来讨论正平衡点E=(Sh，Ih，Nh，Iv)的稳定性.系统(2)在正平衡点E处的Jacobian矩阵为

记

(1-p)dv(dh+μ(b，Ih))，

则系统(2)的正平衡点E处Jacobian矩阵的特征方程为

(λ+dh)(λ3+a1λ2+a2λ+a3)=0.

由μ(b，Ih)，Iv的表达式计算可得

所以，可以将系数a3表示为Ih的函数

2bd0Ih+b2d1)+A2(1-p)dvb(d0-d1)]=

2(Abd0βvdh+Nv0βhβvbd0dh)Ih+Aβvdhd1b2+

Nv0βhβvdhd1b2+A2(1-p)dvbd0-A2(1-p)dvbd1]=

2bβvdhd0(A+Nv0βh)Ih+b(Aβvdhd1b+

Nv0βhβvdhd1b+A2(1-p)dvd0-A2(1-p)dvd1)]=

bf′(Ih)+A2bd1(1-p)dv(R0-1)]，

即

由Routh-Hurwitz判据可知，当a2>0，a3>0且a1a2-a3>0时，特征方程均具有负实部，此时，正平衡点E2是局部渐近稳定的.当a1a2=a3，a2>0且a3≠0时，特征方程会出现一对纯虚根，此时系统会发生Hopf分支.

定理3对于系统(2)的正平衡点E，有

1)正平衡点E1是不稳定的；

2)当a2>0，a3>0且a1a2-a3>0时，正平衡点E2是局部渐近稳定的；

3)当a1a2=a3，a2>0且a3≠0时，系统会发生Hopf分支.

3 数值模拟

为了验证正平衡点的存在性，取A=2.5，βh=1，dh=0.036，dv=0.06，p=0.007，b=0.2，μ1=0.094 273 299，μ0=0.05，Nv0=2，βv=0.26，利用Matcont工具包绘制Ih随βv的变化图像.由图1 可以看出，正平衡点的个数随βv的增加而变化，当βv较小时，系统不存在正平衡点；当βv取值在0.190 226～10.370 1之间时，系统存在两个正平衡点；当βv=0.190 226，Ih=0.307 316 以及βv=10.370 1，Ih=0.307 317 时出现极限点(LP点)，此时两个正平衡点重合；当βv>10.370 1时，系统正平衡点消失.

图1 系统(2)平衡点个数随βv变化的分支图

为了验证Hopf分支的存在性，选取βv为分支参数，选择图1 中βv值较大的LP点作为初始点，绘制BT分支曲线，如图2 所示.

图2 系统(2)鞍结点分支曲线图

由图2 可以看出，βv=24.710 211，Ih=0.201 863时出现了Bogdanov-Takens分支(BT点).进一步以图2 中的BT点作为初始点绘制Hopf分支曲线，如图3 中虚线所示，在βv=51.046 348，Ih=0.397 027处出现了广义Hopf分支(GH点)，此处第一Lyapunov系数为-6.590 647×10-4，说明该极限环是稳定的.再以GH点为初始点，绘制出极限环(见图3).

图3 系统(2)BT分支及Hopf分支曲线图

下面取参数μ1=25.540 831 37，b=0.041 87，βv=51.046 348，其它参数取图1 中的值.选择初始点(Sh，Ih，Nh，Iv)=(41.7，0.4，69.4，1.7)绘制t-Ih时间序列图，如图4 所示.

图4 μ1=25.540 831 37，b=0.041 87时系统(2)的时间序列图

由图4 可知，该模型出现了周期解，且极限环是稳定的，这验证了理论分析的正确性.