基于灰色线性回归组合模型的集成电路封装设备故障趋势预测

张燕龙，陈亮希，陈兴玉，郭 磊，张红旗，黄 魁

(1.中国电子科技集团公司第三十八研究所，安徽 合肥 230088；2.东南大学机械工程学院，江苏 南京 211189)

0 引言

故障预测技术以设备当前的健康状态为出发点，结合对象功能参数、结构特性和监测数据，运用合适的预测方法和模型，以快速有效指导故障发生前的维修决策[1-2]。Qian等[3-4]运用AR模型预测轴承的性能退化过程。Song等[5]采用卡尔曼滤波模型优化电池退化模型参数，通过支持向量机模型进行迭代更新预测，提高航天器电池故障趋势预测的精度。Tian等[6]利用故障数据和状态监测数据，建立一种基于人工神经网络模型的滚动轴承剩余寿命预测模型。赵建忠等[7]运用改进新陈代谢灰色模型进行导弹装备的故障预测。为提高装备故障预测的准确性和可靠性，黄魁等[8]采用多方法融合灰色模型和神经网络模型，完成雷达装备的故障趋势预测。针对集成电路封装设备打孔机数据样本少的特点，本文采用组合预测思想，运用灰色关联度方法集成灰色模型和线性回归模型，构建灰色线性回归组合模型开展故障趋势预测。

1 灰色线性回归组合模型

1.1 灰色GM(1,1)模型

目前，常用的灰色预测模型主要包括GM(1,1)模型、GM(0,N)模型和灰色Verhulst模型等，其中，GM(1,1)模型是灰色预测技术的基本模型，应用最为广泛。GM(1,1)模型是通过1个变量的一阶微分方程来揭示数列的内在规律，其基本思想是：首先要原始数据进行累加生成规律性较强的灰色数列；其次通过建立微分方程型的模型，运用最小二乘法来估计模型的各个参数；最后由模型求解的数据通过累减还原数列，再运用此数列进行预测。

GM(1,1)模型的建模原理如下所述。

x(0)(k)+ax(1)(k)=b

(1)

x(0)(k)+az(1)(k)=b

(2)

(3)

则GM(1,1)模型基本形式的白化微分方程为

(4)

那么，求得白化微分方程的解，即时间响应函数为

(5)

进一步求出累减还原式为

(6)

通过上述推导过程发现，GM(1,1)模型是由单个序列生成的模型，只需采用系统内部行为的数据，而且它不需要大量的样本数据，往往只需4个及以上数据即可，非常适合短期预测。另外，GM(1,1)模型中的发展系数a使得序列整体变化规律更加明显，通过累加生成呈现指数上升特性；GM(1,1)模型中的灰作用量b体现了数据变化的内在趋势，是区别灰色建模和传统建模的标志。正因为此，GM(1,1)模型可以广泛应用于不确定性系统，去解决“小样本、贫信息”的不确定性问题。

1.2 线性回归模型

线性回归模型是通过1个或者多个自变量解释因变量之间关系的一种统计模型，主要包括一元线性回归模型和多元线性回归模型。其中，若只包括1个自变量和1个因变量，且二者可以近似用直线表示，则称为一元线性回归模型，其方程可以表示为

y=ax+b

(7)

a为一元参数；b为常数项。参数a、b运用最小二乘法估计确定，算式为：

(8)

(9)

1.3 灰色线性回归组合模型

单一的故障预测模型具有一定的局限性。为提高预测精度，本文提出基于权重分配的灰色线性回归组合模型，该组合模型按照一定的规则，将灰色模型预测的结果与线性回归模型预测的结果加权求和，得到最终的预测结果。借鉴灰色关联度的概念确定组合加权系数，该方法应用流程如下所述。

设原始数据序列记为X0=(x0(1),x0(2),…,x0(n))，灰色GM(1,1)模型和线性回归模型预测数据序列分别为X1=(x1(1),x1(2),…,x1(n))，X2=(x2(1),x2(2),…,x2(n))，则每个预测数据序列的关联度为

(10)

那么，r1和r2分别为灰色GM(1,1)模型、线性回归模型的灰色关联度，对r1和r2归一化处理得组合权重系数λ1、λ2，即：

(11)

(12)

则灰色线性回归组合模型的预测公式为

Cq=λ1q1+λ2q2

(13)

Cq为灰色线性回归组合模型预测值；q1、q2分别为灰色模型和线性回归模型预测值。

2 集成电路封装设备故障趋势预测

集成电路封装设备打孔机的关键部件为冲针，随着使用次数的增加其直径会逐渐缩小。当冲针直径低于179 μm时就需要更换。本文随机选取某研究所测试的1组冲针全寿命周期数据，如表1所示。以前7组数据作为样本数据，建立故障趋势预测模型；以后4组数据作为检验数据，以评估模型的预测精度。

表1 打孔机冲针直径监测数据

2.1 灰色GM(1,1)模型

按照灰色GM(1，1)模型的建模步骤构建打孔机冲针的故障趋势预测模型，计算模型参数a=0.007 8，b=193.388 6，求解灰色GM(1，1)模型的累减还原式为

(14)

计算灰色GM(1，1)模型拟合数据的平均绝对误差为34.41×10-2μm，拟合效果良好。因此，可以运用该灰色模型进行冲孔直径的预测，预测结果如表2所示。

表2 灰色GM(1，1)模型预测结果

根据表2预测结果，可以计算灰色GM(1，1)模型预测的平均绝对误差为4.00×10-1μm，最小绝对误差为0.04 μm，最大绝对误差为0.75 μm。

2.2 线性回归模型

以冲针直径y为因变量，以时间序列x=(1,2,3,4,5,6,7)为自变量，利用打孔机冲针数据构建线性回归模型，可以得到一元线性回归方程为

y=-1.285 7x+193.14

(15)

计算线性回归模型拟合数据的平均绝对误差为40.86×10-2μm，拟合效果良好。因此，可以运用该线性回归模型进行冲孔直径的预测，预测结果如表3所示。

表3 线性回归模型预测结果

根据表3预测结果，可以计算线性回归模型预测的平均绝对误差为4.25×10-1μm，最小绝对误差为0，最大绝对误差为0.85 μm。

2.3 灰色线性回归组合模型

按照灰色关联度的计算式(10)，可以得到灰色GM(1，1)模型和线性回归模型的灰色关联度分别为：r1=0.926 3，r2=0.892 2。由式(11)～式(13)可以进一步计算灰色GM(1，1)模型和线性回归模型的权重为：λ1=0.509 4，λ2=0.490 6。因此，灰色线性回归组合模型的预测结果如表4所示。

表4 灰色线性回归组合模型的预测结果

根据表4预测结果，可以计算线性回归模型预测的平均绝对误差为3.45×10-1μm，最小绝对误差为0.05 μm，最大绝对误差为0.65 μm。

综上所述，单一预测模型和灰色线性回归组合模型的预测结果比较如表5所示。可以发现灰色线性回归组合模型平均绝对误差和最大绝对误差均优于单一预测模型，最小绝对误差差异性较小。结果表明灰色线性回归组合模型结合了灰色模型和线性回归模型的优点，预测效果良好，可以利用组合模型开展打孔机冲针故障趋势预测。

表5 多种模型预测结果比较 μm

3 结束语

集成电路封装设备打孔机的关键部件为冲针，而冲针直径直接决定了打孔机的运行状态和工作精度。为了更好地开展预测性维修，基于打孔机冲针监测数据，本文建立了灰色GM(1,1)模型、线性回归模型和灰色线性回归组合模型。通过对比单一预测模型和组合预测模型的预测结果，验证了灰色线性回归组合模型能结合单一模型的优点，弱化单一模型的缺点，在提高预测精度方面具有一定的合理性和有效性。