新时代背景下《高等数学》课程教学的提质与创新

申爱红,孙文娟

(1.中国刑事警察学院 基础部,沈阳 110854;2.沈阳理工大学 理学院,沈阳 110159)

0 引 言

《高等数学》课程是本科院校理工类与经济管理类专业的一门重要基础课,也是这类专业研究生考试的必考科目之一,在本科教学中起着重要作用。《高等数学》课程要求学生有较强的逻辑思维能力和计算能力,其培养目标是通过该课程的学习使学生能够解决其他专业领域中的问题。为了提高学生的创新能力,激发学生的学习热情,随着计算机网络的广泛应用,教学工作者们提出了大量基于网络资源的教学改革方案,如基于互联网的教学模式[1-2]、基于翻转课堂[3-5]的教学模式、基于慕课[6-8]以及基于微课[9-11]的教学模式等。本文认为基于网络资源的教学方法有其优越性,但也不能全盘否定传统的授课模式。

本文针对目前《高等数学》课程教学中存在的问题,对现行的《高等数学》课程教学模式进行了改革,提出了优化教材内容、拓展教学内容、应用混合教学方法等改革措施,并进行了教学实践。措施的提出充分激发了学生的学习热情,有效地提高了教学效率。

1 《高等数学》课程教学现状

1.1 教学内容固化

在新课改下高中数学的教学内容有很多变动[12]。一方面,有些教学内容与《高等数学》的内容重复,学生学习这部分内容时由于缺乏好奇心,学习积极性不高。另一方面,高中数学教学内容中删减了一部分《高等数学》课程需要的预备知识,学生在学习此部分内容时会比较吃力。此外,《高等数学》教材中有关某些概念的不同内容分散在不同的章节,知识点的连贯性不足,不利于学生知识体系的形成。

1.2 学生普遍存在畏难情绪

《高等数学》课程本身具有抽象性,学习难度相对较高,因此学生普遍先入为主地认为“高数难”,学习过程中存在畏难情绪。同时,现有的教学模式使得学生对《高等数学》课程的背景、应用了解不多,兴趣得不到激发,学习积极性难以被调动[13]。随着学习的不断深入以及知识点难度的不断提升,更多的学生失去学习信心,因此无法达到满意的教学质量和预期的教学目标。

1.3 教学方法单一

课堂教学过程包括教师行为以及学生行为,现行的《高等数学》教学过程则更多的强调教师行为,大多数教师将更多的精力投入到知识点的讲解上,忽略了讲授方式的设计。讲授模式也多为“教师单向讲解,学生被动接受”。在这种单一、传统的教学模式下,学生的行为被忽视,学生学习相对被动,学习的积极性及主动性很难得到充分调动。

1.4 学生的应用、创新能力不足

目前,《高等数学》教学过程大多只涉及概念、定义的讲解,定理、性质的推演,以及算法的介绍。数学作为一门基础学科,其理论思想的产生源于人类生活、科技发展需求,最终还将应用于生产实践。在目前的教学模式下,学生尽管掌握了一些数学知识,却不具备数学思维、应用能力以及创新能力。

2 《高等数学》课程教学改革的探索与实践

2.1 优化教材内容

首先,由于新课改下高中数学的教学内容有很多变动,应根据高中数学教学内容对《高等数学》教学内容进行调整。一方面,高中数学中有些内容与《高等数学》课程重复,如导数的计算、利用洛必达法则计算极限等。对于这部分内容,要对《高等数学》和高中数学的教学重点进行区分。高中侧重计算,因此《高等数学》教学过程中应侧重于理论拓展,着重对概念进行分析、定理进行推演,使学生对知识点有更全面的理解。另一方面,高中教材中也删减了一些《高等数学》课程中需要的知识点,如反三角函数、常用三角恒等式、极坐标等。教师应了解哪些预备知识高中数学没有讲授,并对相关内容进行及时补充,为后续课程做好准备。

其次,对教材中某些教学内容的讲授顺序进行调整。如无穷小量这一节,无穷小量的性质可以总结为“有限个无穷小量的和、差、积是无穷小量”。可以利用启发式教学方法向学生提出问题:“两个无穷小量的商是否为无穷小量?”从而过渡到无穷小量的比较,如图1所示。通过适当调整教学内容的顺序,将出现在不同章节的同一概念的不同内容汇总,增加了知识点的系统性,有利于学生更加全面的理解无穷小量的概念。

图1 无穷小量介绍Fig.1 Introduction of infinitesimal

图2 微分中值定理及其应用Fig.2 Differential mean value theorem and applications

又如微分中值定理这一节,每个定理证明结束后分别介绍该定理在研究函数性质中的应用,以实现紧紧围绕并突出微分中值定理作用的目的,使学生切实理解如何以微分中值定理为工具,利用导函数研究函数性质。如图2所示,由罗尔定理的证明过渡到函数极值点必要条件的证明,由于罗尔定理的证明过程包含了函数极值点必要条件的证明,因此在此处介绍必要条件的证明更易于学生理解。同样地,由拉格朗日中值定理的证明过渡到函数单调性的判别条件,因为学生在高中数学中已经学习过该结论,但大多数学生知其然不知其所以然,因此在此处引入单调性判别条件的证明,学生会有一种豁然开朗的感觉。由柯西中值定理过渡到洛必达法则的证明时,由于高中数学阶段只要求学生利用洛必达法则计算函数极限,没有对定理本身的证明进行推导,因此在此处可以侧重讲解利用柯西中值定理推导洛必达法则,提高学生的学习兴趣。通过多年的课堂教学实践证明,由于可以将微分中值定理与已有的知识储备相关联,这种调整模式能够提高学生的学习热情,加深学生对知识点的理解。

2.2 拓展教学内容

“兴趣是最好的老师”,可以通过拓展教学内容开拓学生视野,提高学生学习《高等数学》的兴趣。本文提出从知识点产生的背景、数学文化以及开展学术报告3方面拓展教学内容。

首先,教学过程应增加知识点产生背景的介绍,将抽象的知识与实际背景相联系可以减少学生的畏难情绪,激发学习动力。如在介绍《高等数学》课程框架时,可以讲述微积分的产生背景:微积分的创立并非偶然,是社会和科技发展的必然结果[14]。17世纪下半叶,英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别从运动学和几何学入手独自研究完成了微积分的创立工作[15]。解决了如曲线切线、运动物体的瞬时速度等现实问题。又如知识点“变上限函数的导数”,即曲边梯形面积的变化率是与现实生活中的扫雪效率,雨刷器清洁玻璃的效率等问题相关联的。

其次,在《高等数学》的教学过程中始终贯穿数学文化、数学故事的介绍。力求在每个知识点都发现相关的数学故事,以提高学生的学习兴趣。如有关无穷小量概念发展的历史为:无穷小量最初出现在哲学范畴内,魏晋时期的数学家刘徽在割圆术中应用了无穷小的思想,微积分体系的建立开始了关于无穷小的演算,德国数学家鲁滨逊在《非标准分析》中对无穷小进行了严密的解释分析。又如,极限的定义这一节介绍:柯西在微积分中引进了极限的概念,并以极限为基础建立了逻辑严密的分析体系等。

最后,《高等数学》课程组应定期开展学术讲座。一方面学生通过这种方式可以开阔视野拓展思路,激发学习愿望。另一方面,教师在准备学术报告的同时对自己的科研成果进行整理、补充,提高自身的科研能力,实现教学相长。

2.3 应用混合教学方法

随着计算机网络的广泛应用,基于网络或数字媒体的教学方法在新时代的教学过程中发挥了重要作用。很多高等院校都采用了翻转课堂、微课、雨课堂等教学方法。本文结合《高等数学》的课程特点,在保留传统教学方法(教师单方向讲授的模式)优势的同时,结合网络学习的优势,提出了混合教学方法。该方法将传统教学、翻转课堂[16]以及讨论班3种方法相结合,如图3所示。具体以《高等数学》上册为例进行说明。首先,有关核心概念、定义以及理论性强的知识点采用传统的教学方法。如极限的定义、导数的定义、微分中值定理的推导、定积分的定义等,由教师完成基本概念以及思想的阐述,引导学生对课程以及知识点建立宏观认识。其次,对理论性不强,有关过程性描述以及侧重应用的知识点采用翻转课堂的方式来完成,如教材中无穷小量的比较、不定积分的分部积分法等。课前教师通过微课视频或雨课堂布置预习任务以及相应的作业。通过课前预习,一方面学生对所学内容有所了解,带着问题走进课堂,学习更有目的性;另一方面,通过作业的完成情况,老师对学生的学习程度有所了解,课堂上的讲解能够更有针对性。最后,对于学生相对比较熟悉的内容可以采用讨论班形式完成,如函数的单调性、凹凸性,函数的极值、最值以及利用洛必达法则求函数极限等章节。即课前安排某位同学或者某个学习小组自主学习这部分内容,然后在课堂上由学生进行讲授。通过这种形式,讲授的学生对该知识点的了解更加深刻,同时也能激发其他同学的学习积极性,此外这种自学-讲解的模式可以为研究生阶段的学习积累经验。通过近2年教学实践证明,有针对性的多种教学方法的融合充分调动了学生学习的积极性,提高了课堂效率。

图3 混合教学模式示意图Fig.3 Schematic diagram of mixed teaching mode

2.4 建立立体化课程体系

针对学生应用能力、创新能力的培养,可以在教学过程中增加数学软件以及数学实验的介绍。一方面借助数学软件可以加深对知识点的理解[17],另一方面也提高了学生运用数学解决问题的能力。以“函数极值点的充分条件一”为例,该条件是利用函数的单调性进一步判断某点是否为极值点。很多学生直观地认为极值点两侧的单调性一定不同,误将该点两侧的单调性不同作为极值点的必要条件。此处可以通过举反例的方式解释:极值点两侧的单调性不一定相反。如函数

(1)

图4 函数图像Fig.4 Figure of function

x=0为该函数的极小值点,但该点的任一侧都不具有单调性。由于该函数的代数形式抽象,不利于学生直观理解,可以借助数学软件得到该函数的图像。学生通过输入MATLAB命令:x=-pi:0.01:pi;y=x2+x2*abs(sin(1./x));plot(x,y),得到函数图像,如图4所示。学生通过图像对极值点的必要条件有了更加深刻的理解。

另一方面,多年的教学实践表明学生通过参加大学生数学建模竞赛等创新活动能提高学习的积极性、主动性,并提高应用、创新能力[18]。数学建模首先将实际问题进行抽象,然后用数学语言进行表达,最后借助数学工具进行求解分析。在这一过程中学生查找文献自学所需知识,通过团队合作的形式解题,最终以论文的形式提交任务,是一个全面考察学生应用以及创新能力的过程。中国刑事警察学院从2006年起组织学生参加全国大学生数学建模竞赛,取得了较好的效果。从开始时学生被动参加,到现在的主动报名,有些学生甚至刚入学就向老师请教有关参加竞赛的信息,并自学MATLAB等数学软件。此外,学生参与教师的科研项目也是提高学生应用能力的一种有效手段。

3 结 语

在新时代背景下开展《高等数学》课程改革,对于提高人才培养质量、培养创新型人才具有至关重要的作用。本文提出的改革措施可有效丰富、优化教学内容,激发学生的学习兴趣和主观能动性;通过加强师生互动,提高了教师的教学效率和学生的创新热情,实现了教学相长;通过实践将所学融会贯通,提高了学生的应用、动手能力,促进了学生的全面发展。措施的提出可为《高等数学》课程改革提供思路和依据。