加筋板的累积损伤力学模型研究

吴剑国，王锦琦，叶 帆，傅何琪，申屠晨楠

(1.浙江工业大学 土木工程学院，浙江 杭州 310023；2.中国船舶及海洋工程设计研究院，上海 200011)

随着船舶结构的大型化，结构疲劳事故频出，船舶结构低周疲劳问题引起了业界的广泛关注。Urm等[1]于2004年对油船的低周疲劳问题进行了研究，考虑多个因素对结构的损伤累积影响，初步给出了计算船体梁低周疲劳的方法。田雨[2]基于损伤力学和塑性力学，分析了低周疲劳损伤并建立了船体梁剩余强度的评估方法。Ming等[3]基于有限元软件，分析了非线性有限元模型对循环荷载下船体梁极限弯矩的影响；Yang等[4]基于Smith的船体梁极限强度计算方法，提出了一种循环荷载下船体梁极限强度的简化计算方法；汪丹等[5]针对船体梁基本的加筋板构件，提出了循环荷载作用下加筋板结构的累积递增塑性应变模型。余明辉等[6]基于两端固支的梁-柱模型，建立了循环载荷作用下加筋板单元力学模型。孟志光等[7]通过引入一种等效材料本构模型，提出了能考虑结构层面损伤累积的加筋板单元力学模型。由此可见：现有工作没有考虑材料层面的损伤，循环荷载下加筋板的滞回曲线与实际的尚有较大偏差，计算精度还不够高，还需要深入研究。

笔者改进材料损伤变量模型，再将其引入加筋板的极限强度集中之中，提出一种能够考虑材料累积损伤的加筋板单元力学模型。采用VB语言编制加筋板在循环载荷作用下的的滞回曲线的计算程序，给出一个加筋板的算例，并采用非线性有限元方法进行精度验证。

1 循环载荷作用下的钢材本构模型

加筋板在循环载荷的作用下，不仅可能会发生屈服，更可能发生屈曲。一旦发生了屈曲，将产生较大的损伤，即使卸载后拉伸也不可能恢复屈曲前性能，这一特点导致加筋板在往复载荷作用下，较一般只考虑屈服强度，不发生屈曲破坏的结构损伤更大。根据这一特点提出了适用于加筋板屈曲的材料损伤变量定义，并将其引入到材料本构模型[8]中，提出了循环载荷作用下的加筋板的材料本构模型，即平均应力—应变关系。

如图1所示，按照平均应力—应变关系，可得到钢材的加载图。先压后拉加载，从O点开始压缩加载，沿着钢材压缩骨架曲线，经过OA弹性段、AB强化段、进入BH损伤段，到达卸载点C点时，弹性卸载至D点。再进行拉伸加载，沿着再加载曲线到达E点，E点在拉伸骨架曲线上取，接着弹性卸载至F点。第2圈时，需考虑上一圈加载所产生的的损伤，根据退化准则峰值点由C点折减至G点，刚度E也发生折减。此时压缩则沿着再加载曲线到G点，再进入新损伤段GH，到达第2次卸载点I，按折减后的弹性模量卸载至J点，之后的加载同第1圈。

图1 循环荷载下钢材应力—应变关系

1.1 材料骨架曲线

材料骨架曲线分为压缩和拉伸骨架曲线，对各种钢材都适用。

1.1.1 压缩骨架曲线

压缩循环骨架曲线分为OA，AB，BH，HP共4 段，具体的表达式为

(1)

式中：σ为应力；ε为应变；E为弹性模量；σy为屈服应力；σcm为损伤临界应力；σcu为剩余强度；εy为屈服应变；εcm为损伤临界应变；εcu为退化终点应变；a1和f为二次函数相关系数，取值与材料强度相关。

1.1.2 拉伸骨架曲线

拉伸循环骨架曲线分为OM和MN2段，具体表达式为

(2)

1.2 再加载曲线

再加载曲线为卸载曲线起始点到终点的曲线，具体表达式为

σ=E(ε-ε0)+σ0-η(E-Ek)(ε-ε0)

(3)

式中：σ，ε含义同式(1)；ε0，σ0分别为曲线起始点的应变和应力；εP，σP分别为峰值点的应变和应力；η为曲线调调整系数；Ek为割线刚度。

1.3 退化准则

1.3.1 损 伤 量

钢材在反复荷载作用下的材料损伤的程度用损伤变量表示，其具有如下性质：1)损伤变量D应在[0，1]取值，当D=0时，表示材料没有损伤；当D=1时，表示材料已经完全破坏。2)损伤变量D是一个单调递增函数，即随着损伤发展不断增大，不会下降。造成损伤的因素有很多，其中众多学者从能量、变形、变形和能量的综合3 个方面着手，提出了多种损伤变量模型，比如：Darwin等[9]和Ibarra等[10]的能量损伤模型，沈祖炎等[11]的变形损伤模型，欧进萍等[12]的变形和能量模型。

通过计算初步分析了以上4 种损伤模型，发现同时考虑变形和能量的欧进萍等[12]模型对于损伤的预测最为准确，但需不断积分计算滞回耗散能量，计算效率低；Darwin等[9]模型和Ibarra等[10]模型趋预测趋势也比较准确，也需要不断地积分计算滞回能；其中沈祖炎等[11]的模型虽只考虑变形的影响，结构形式简单，但损伤预测结果准确，且容易在损伤计算程序中实现。因此根据沈祖炎模型，为考虑实现加筋板的屈曲损伤，提出了可以计算加筋板累积损伤的模型，其合理性可能还需进一步的验证，具体公式为

(4)

式中：εi,max为钢材发生的最大塑性应变；εy为钢材屈服应变；εi为钢材在第i圈发生的塑性应变；εu取为加筋板单调加载极限屈曲应变εend；λ=0.008 1；N为循环荷载的半循周数。

1.3.2 退化公式

根据沈祖炎等[11]的材料损伤退化公式，并结合上述材料骨架曲线和材料的退化准则，分强度退化和刚度的退化，退化公式具体为

σi+1,max=(1-ζ1Di)σi,max

(5)

Ei+1=(1-ζ2Di)E

(6)

式中:σi,max，σi+1,max分别为第i次和i+1次的峰值应力；Ei+1为第i+1次弹性模量；E为弹性模量；系数ζ1=0.42，ζ2=0.12；Di为第i次的损伤量，按式(4)计算。

2 循环荷载下的加筋板单元力学模型

图2 循环荷载下加筋板应力—应变关系

2.1 极限强度

加筋板极限强度是计算应力应变的基础，求得了极限强度才可以进行应力应变计算。从图像上看，其决定了AB非卸载区、EF平台段这上下边界的取值，如图2所示。

2.1.1 压缩极限强度

根据加筋板单元压缩失效特点，只考虑其中两种受压失效模式，采用Hughs[14]推导的加筋板极限强度公式计算。

1) 面板受压失效模式为

(7)

式中：σF为上述钢材损伤折减后的屈服强度；σuf为待求的面板受压的极限强度；M0，δ0分别为侧向荷载作用时跨中的弯矩和挠度；yf为面板厚度中心与截面形心轴之间的距离；I，A分别为横截面的惯性矩和面积；γ，ν均为挠度系数；Δ为初始偏心；Φ为轴力放大因子。

2) 带板受压失效模式为

(8)

(9)

式中：σF同式(7)；σue为待求的带板受压的极限强度；yp为带板厚度中心与截面形心轴之间的距离；Ie，Ae分别为横截面的有效惯性矩和有效面积；Δp为板的刚度下降引起的偏心距；M0，δ0，γ，ν，Φ，A含义同式(7)。

2.1.2 拉伸极限强度

将上述计算的钢材屈服强度取负号作为拉伸极限强度，其计算式为

(10)

2.2 平均应力—应变关系

2.2.1 受压方向平均应力—应变关系

加筋板格单元受压的平均应力—应变关系，采用Rahman等[13]提出的公式，其平均应力—应变关系曲线有4 段：OA段、AB段、BP段和PQ段，也如图2所示，公式如下：

1)OA段(0<ε≤εult)计算式为

(11)

2)AB段(εult<ε≤εpl)计算式为

(12)

3)BP段(εpl<ε≤εend)计算式为

(13)

(14)

4)PQ段(εend<ε)计算式为

(15)

2.2.2 受压单元的卸载

规定压缩卸载CD段遵循2 个原则：1) 在任何阶段开始卸载都为弹性卸载；2) 卸载刚度用上述钢材折减后的弹性模量。

2.2.3 受拉方向平均应力—应变关系

加筋板的反向加载会出现刚度软化现象。前半段为指向峰值点的一条曲线，后半段为平台直线，分为DE和EF共2 段，公式如下：

1)DE段计算式为

(16)

2)EF段计算式为

(17)

2.2.4 受拉单元的卸载

拉伸卸载FG段同2.2.2节。每一圈加载均按照压缩加载、压缩卸载、拉伸加载、拉伸卸载等4 个顺序进行加载，且各圈的计算公式均一致。

3 编程与有限元计算

采用Visual Basic 6.0语言对所提方法编程，并采用Abaqus软件进行对比计算。程序主要分为材料和加筋板2 个计算循环，计算流程如图3所示。

图3 计算流程图

3.1 加筋板模型参数

选取一个加筋板单元进行计算，其尺寸如表1所示。其中钢材屈服强度σs=235 MPa，弹性模量E=2.06×105MPa，泊松比ν=0.3。有限元模型用板单元进行建模，钢材使用弹塑性本构关系，如图4所示。

表1 加筋板单元尺寸

图4 ABAQUS有限元模型示意图

3.2 计算结果比较

3.2.1 等幅循环加载

采用加载制度：0～2.5εy的加载应变，双向等幅加载4 次，先压缩后拉伸。计算结果的极限强度比值和损伤量汇总如表2所示。计算结果的加筋板格单元和材料平均应力—应变曲线如图5所示。

表2 等幅荷载下加筋板极限强度比和损伤量

图5 等幅荷载下钢材和加筋板滞回曲线

3.2.2 递增循环加载

采用加载制度：0～1.0εy，0～2.0εy，0～3.0εy，0～4.0εy的加载应变，双向等幅加载，每级加载1 次，先压缩后拉伸。计算结果的极限强度比值和损伤量汇总如表3所示。计算结果的加筋板格单元和材料平均应力—应变曲线如图6所示。

表3 递增荷载下加筋板极限强度比和损伤量

图6 递增荷载下钢材和加筋板滞回曲线

综上可知：1) 钢材滞回曲线中，不考虑损伤的受压和受拉屈服点基本不会下降，考虑损伤的屈服点在逐步下降；2) 加筋板滞回曲线中，笔者方法和有限元计算出的极限强度均在逐步下降，不计损伤的方法几乎没有下降且拉伸极限强度在逐步增强；3) 等幅和递增两种循环荷载的理论计算结果与有限元结果吻合较好；4) 等幅荷载下的前几级损伤显著高于递增荷载下的材料损伤，但递增荷载下材料损伤量后续增加较快，这是因为递增荷载前几级加载应变较小则其损伤也小；5) 有限元的压缩峰值点会略高于笔者结果，因其考虑了一定的钢材强化；6) 加载应变需达到一定的门槛，才会产生损伤。

4 结 论

分析计算了钢材损伤，在等效材料本构模型基础上提出考虑损伤的加筋板格单元力学模型，使用Visual Basic 6.0编程计算。结果表明：引入材料损伤之后，加筋板单元的屈服强度和刚度随着损伤量变大都在不断地下降，且与未引用材料损伤力学模型结果相比，具有更好的精度。后续，笔者还将开展加筋板单元在循环载荷作用下的结构承载力试验，进一步验证所提模型的精度。