极限运算时最容易忽略的两个问题

丁艳风

【摘要】极限是分析学科的工具.本文主要论述了初学者在求极限时易忽略的两种情况：首先分析了等价无穷小代换在加减中怎么使用，从而避免学生在求极限时发生类似的错误;其次分析了当函数表达式复杂时，如何使用泰勒公式简化函数，便于求极限，同时总结了使用泰勒公式的技巧，为学生后续求极限提供了解题效率更高的方法.

【关键词】极限;等价无穷小代换;泰勒公式;麦克劳林公式

引 言

高等數学的研究对象是函数，而研究函数的工具是极限.这就决定了高等数学中的许多基本概念都以极限思想为基石，因此，学好极限对高等数学的学习有着举足轻重的作用.函数的极限运算是高等数学的核心内容之一，而选择极限的计算方法的合适与否，直接关系到计算过程是否简便快捷及计算结果是否正确.笔者通过大量的实践教学发现：在求极限的过程中，学生最易忽略也最易出错的两个问题：一、等价无穷小代换在加减中的使用;二、泰勒公式在求极限中的化繁为简的运用.针对以上两个问题笔者利用例子来分析和研究.

一、等价无穷小代换在加减中的使用

等价无穷小代换是解决 “00”型未定式极限的一个非常有效的途径和手段.在高等数学教材中，等价无穷小代换定理仅仅以极限积或商的形式表现等价无穷小代换，并没有给出该方法的使用局限性和适用范围.特别是对于解决“0-00”或“0+00”型未定式极限时，学生在利用等价无穷小代换定理计算极限时往往容易出错，究其原因是学生没有弄清楚代换的条件及对象.另外就是对无穷小的等价概念模糊不清，导致出现许多学生乱套公式的现象.因此，教师应对此问题加以强调和关注.

1.几种常见的等价无穷小

首先弄清楚一个概念：无穷小是相对于一个极限过程而言的，一个变量在某个极限过程中是无穷小量，在另一个极限过程中就不一定是无穷小量了.如sin x在x→0时是无穷小量，但是在x→1或x→π2时，都不是无穷小量，所以在使用等价无穷小代换时首先应准确判断一个量是否为无穷小量.

显然，我们在满足定理条件时使用等价无穷小代换就不会出错了.其实，除了分子是某两个等价无穷小量的和或差可以用等价无穷代换外，分母是两个无穷小量的和或差也有相同的结论，因为有下面的定理.

当然，若先使用换元法把x2化为t，再使用洛必达法则也很容易就能解决本题;也可以使用泰勒公式进行计算，这就是我们接下来要讲的另一个学生不易想到的问题.

二、泰勒公式在求极限中的化繁为简的运用

求函数极限的方法有很多，对于“00”“∞∞”等型未定式，我们常用的是洛必达法则，此法则简单易掌握，但具有一定的局限性，即对于繁杂的函数并不适用.当遇到使用洛必达法则求极限越求导越麻烦时，我们不妨换一下思路，利用泰勒公式进行求解，因为泰勒公式不仅能起到化繁为简的作用，也能解决大多方法解决不了的问题.接下来，我们将对利用泰勒公式计算“00” 型未定式极限的方法进行探讨.

1.泰勒公式和麦克劳林公式

由a，b和c可知，由于每个函数变量的幂次不同，它们展开的次方也多少有点差异.若将三个函数展开到x的3阶以下，无法求出正确的极限;若将三个函数展开到x的6阶以上，可以正确求出极限，但x6后面的更高阶的因式与x4作商求极限后均为 0，无计算的必要，所以三个函数sin x2，sin x，sin 2x分别展开到6阶、5阶、5阶最合适.故由例3可以总结如下：

利用泰勒公式对形如“ 00” 型未定式求极限，遵循 “上下几乎同阶原则”，即将分子上的函数展开到与分母同幂次或接近的项即可.

【参考文献】[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社， 2001.

[2]张卓奎，王金金.高等数学[M].北京：北京邮电大学出版社， 2017.

[3]陈大桥，等价无穷小代换在求极限中的常见应用及推 广[J].成都师范学院学报， 2014， 30（5） ：117 -119.

[4]刘艳.泰勒公式在函数极限计算中的方法探讨[J].教育教学论坛，2020（28）： 328-329.