双线性Calderón-Zygmund算子交换子在Triebel-Lizorkin空间上有界的充分必要条件

房成龙

(中国人民大学数学学院，北京 100872)

1 预备知识

1975年，Coifman和Meyer[1]首次研究了双线性奇异积分算子，发现Calderón-Zygmund奇异积分算子交换子的研究可以归结为一类双线性奇异积分算子研究.随后许多学者开始关注交换子及双线性算子有界性问题.[2-10]

1976年，Coifman，Rochberg和Weiss[2]获得了一个著名结果：Calderón-Zygmund奇异积分算子与BMO函数生成交换子在Lebesgue空间上有界，其结果大力推动了交换子的研究.之后，Pérez和Trujillo-Gonzle[3-4]推广了交换子概念，并获得了向量值奇异积分算子交换子的加权估计.

设β>0，若函数f满足

特别地，1995年，Paluszynski[5]证明了

(1)

其中：Cf是Calderón-Zygmund奇异积分算子与Lipschitz函数生成交换子；0<β<1；1

2009年，王玮和徐景实[7]获得了双线性奇异积分算子的Lipschitz交换子在乘积Lebesgue空间上的有界性.

2014年，默会霞和陆善镇[11]证明了双线性奇异积分算子与Lipschitz函数生成的迭代交换子从乘积Lebesgue空间到Lebesgue空间或Triebel-Lizorkin空间有界.

受这些研究启发，自然产生一个疑问：能否用双线性奇异积分算子有界性去刻画Lipschitz空间？为了验证这个疑问，本文首先讨论了双线性奇异积分算子的线性交换子(见定义1.1)从乘积Lebesgue空间到Lebesgue空间或Triebel-Lizorkin空间有界性，然后在对此疑问给出了肯定回答.

K(x，y1，y2)是一个局部可积且远离对角线x=y1=y2的函数，对参数A>0，ε>0，有：

(2)

(3)

其中|x-x′|≤1/2max{|x-y1|，|x-y2|}.满足(2)与(3)式且与参数m，A和ε有关的K(x，y1，y2)称为2-CZK(A，ε).特别地，若K(x，y1，y2)为K(x-y1，x-y2)形式时，所对应算子称为卷积型算子.

定义1.1设K是2-CZK(A，ε)，双线性Calderón-Zygmund奇异积分算子T(f1，f2)定义为

若1

定义1.2设T是双线性Calderón-Zygmund奇异积分算子，b是局部可积函数.

(ⅰ)T的线性交换子[Σb，T]定义为

(ⅱ)T的迭代交换子[Πb，T]定义为

2 双线性Calderón-Zygmund奇异积分算子的线性交换子在Triebel-Lizorkin空间的有界性

这部分主要讨论[Σb，T]从Lebesgue空间到Lebesgue空间、Triebel-Lizorkin空间的有界性.文献[8]中定理2获得了双线性奇异积分算子与Lipschitz函数生成的1阶迭代交换子在Triebel-Lizorkin空间有界性，并能说明[Πb，T]在Triebel-Lizorkin空间有界性，故这里给出了定理2.2.

引理2.1设0<β<1，下面事实成立：

(ⅰ)[9]若1

引理2.2设1

其中常数C与p，q，α和n有关.

(2) [Σb，T]从Lp1(Rn)×Lp2(Rn)到Lr(Rn)有界.

[Σb，T](f1，f2)=[Σ(b-bQ)，T](f1，f2)，

则

首先估计D1，运用引理2.1得

由于T是2-线性Calderón-Zygmund算子，则

结合下面不等式估计D8：

其中Q*⊂Q.这个不等式的证明可见文献[9].

由于

结合前面估计，可得

上面不等式两面同时对所有包含x的方体Q取上确界后，再取Lp范数，运用引理2.1结论(ⅱ)，即得

运用I1α从Lp1×Lp2到Lr有界性[10]，即得

证明显然

估计E1：

类似于定理2.1中D1与D2的估计，可估计E2：

同理可得

下面估计E7：

结合上面估计，运用引理2.1结论(ⅱ)即得

3 刻画Lipschitz空间

(3) [Σb，T]从Lp1(Rn)×Lp2(Rn)到Lr(Rn)有界；

(3) [Πb，T]从Lp1(Rn)×Lp2(Rn)到Lr(Rn)有界.

证明根据定理2.1、定理2.2和文献[8]中定理1，只需说明结论(2)—(5)中任意一个作为条件时，结论(1)成立.

令z1=δ-1z0，有

对所有满足上面不等式的(y，z)，可得

选择x0∈Rn，t>0，令Q+Q(x0，t)，Q0=Q(x0-z1t，t).固定x∈Q，y1，y2∈Q0，则有

根据上面事实即可得

(4)

(3)⟹(1).类同上面的证明，由于1/r+1/r′=1，故

根据[Σb，T]从Lp1(Rn)×Lp2(Rn)到Lr(Rn)有界性，即可说明(3)⟹(1)成立.

(4)⟹(1).

同理得(5)⟹(1)成立，结论证毕.