长拉杆-止口连接弯曲刚度损失及对转子系统振动响应影响

马艳红，倪耀宇，陈雪骑,*，邓旺群，杨海

1. 北京航空航天大学 能源与动力工程学院，北京 100083 2. 先进航空发动机协同创新中心，北京 100083 3. 中国航发湖南机械研究所，株洲 412002 4. 中航航空发动机集团航空发动机振动技术重点实验室，株洲 412002

由于对结构重量的限制和装配需要，航空发动机转子往往需要由多种材料加工而成的构件通过不同形式的连接结构组合而成，导致转子结构不可避免地存在连接界面。此外，转子各结构单元的几何构形也呈现剧烈的变化(如图1所示)。因此，航空发动机转子结构质量和截面抗弯刚度沿轴向具有非均匀分布特征。当转子系统处于高速旋转状态下，在连接界面上的受力状态会随惯性载荷而产生变化，由于连接界面只能承受压应力和剪切应力，不同于各向同性连续结构，转子弯曲刚度在连接结构处产生一定的刚度损失，进而对转子系统弯曲振动特性具有显著影响。

现代高性能航空发动机对结构设计的基本要求是“轻质重载”，其主要技术途径是减少支承数目和限制转子直径。随着航空发动机转轴长径比和转速的不断提高，在工作转速内转子发生弯曲变形是高速旋转转子结构系统在动力学设计中必须面临的挑战。转子弯曲变形状态下，由多个结构单元构件通过界面连接组成的转子系统，其界面接触状态、接触应力分布和界面相对位置关系等接触特征参数均会发生较大改变，引起转子系统的力学特征参数(如弯曲刚度、结构阻尼、极惯性轴等)在接触界面位置发生变化，从而改变转子结构局部力学特征，并对转子系统振动特性产生显著影响[1-3]。

显然，带有多连接界面的转子系统，在结构动力学设计中需要对连接结构接触界面力学特性加以考虑，并建立适合的弯曲刚度损失和附加惯性激励模型，进行界面连接转子动力学特性分析，这是现代航空发动机转子动力学设计的关键技术，也是国内外转子动力学领域学术研究的热点。

Han等[4]和Luan等[5]则以螺栓连接结构转子系统为研究对象，研究了外载荷作用下螺栓连接结构刚度特性的变化规律。研究表明，接触界面力学特性变化对结构系统动力学特性有显著影响。

针对连接结构局部力学特性变化的产生机理和影响因素，Zhuo等[6]对拉杆-止口连接结构界面力学特性进行了研究，分析了弯曲力矩作用下止口端面应力分布特征，从而建立了连接结构的刚度损失模型。Hong等[3]以止口连接结构为研究对象，提出了连接结构刚度损失分析方法，研究了离心载荷、轴向压紧力和弯曲力矩对连接结构刚度损失的影响。阐述了连接结构的力学特性变化与连接结构局部载荷特征有密切联系。

在转子系统动力学设计理论及应用研究中，为了准确考虑环境载荷对连接结构力学特性乃至转子动力学特性的影响，需要通过理论[7-11]和试验方法[12-15]对连接结构局部的力学特征参数进行准确预测，建立考虑结构及力学特性影响的转子动力学模型。Song等[16]将接触界面对连接结构力学特性的影响等效为非线性恢复力项，与结构线性部分各矩阵进行组集，构成结构系统的动力学方程。并采用薄膜单元法，可以考虑界面接触状态改变对结构系统刚度特性的影响，从而得到了广泛的应用[17-18]。Han等[4]、姚星宇等[19]均通过薄膜单元法建立典型转子连接结构的刚度特性模型，实现了航空发动机转子动力特性的仿真分析。

目前，针对界面连接转子系统动力学特性的研究中，在接触界面力学特性机理模型和界面连接转子动力学分析模型之间还存在较大的割裂。其中，在连接结构接触界面力学特性——尤其是刚度特性机理模型中，往往将界面刚度损失归结为连接界面微凸体的局部弹塑性变形，并基于此取得了大量的理论和试验研究成果[20]，但是上述机理模型不能很好地解释，为何不考虑界面微凸体等微观因素影响的连接结构同样也会出现刚度损失现象；而在具体的界面连接转子系统力学特性分析中，现有研究则主要采用唯象模型，需要依赖有限元分析或试验对转子的刚度特性作参数化处理，而针对连接结构刚度产生机理及其对结构系统动力学特性产生影响的力学本质尚待揭示。因此需要建立基于转子弯曲变形的界面连接结构弯曲刚度损失机理模型，分析连接结构对转子结构系统振动响应特性的影响。

综上，以长拉杆-止口连接转子结构系统为对象，分析复杂载荷作用下连接界面接触特征参数变化规律，建立连接结构刚度损失力学机理模型，研究止口连接转子在高转速状态下连接结构变形及对转子系统振动响应特性的影响。

图1 典型航空发动机转子及其连接结构Fig.1 Typical rotor in aero-engine and its joint structures

1 长拉杆-止口连接结构构型及载荷特征

典型的航空发动机转子结构系统如图1所示，出于对轻质结构的追求，转子往往需要由多种材料的构件通过不同形式的连接结构组合而成。其中，长拉杆-止口连接(后文简称止口连接)由于结构简单，被广泛应用于小尺寸涡轴/涡桨发动机中。该连接结构由中心拉杆施加轴向预紧力从而将多级压气机盘沿轴向方向压紧，其具体结构构型及其载荷如 图2(a)所示。其中：m1、m2为构件的质量；Ip,1、Ip,2和Id,1、Id,2分别为构件的极惯性矩和直径惯性矩；Fa为止口结构受到拉杆预变形产生的轴向压紧力作用；Fc为转子旋转时，各部件受到的离心载荷作用；M为构件受到的弯曲力矩作用。

在离心载荷作用下，界面的受力变形如 图2(b)所示。其中：δda,f和δda,r为离心载荷Fc作用下构件轴向收缩量；pi为静止状态下的止口连接结构端面的接触应力；pc为离心载荷Fc作用下端面剩余接触应力。显然，由于界面两端构件具有不同的几何构形和质量特征，因此离心载荷Fc作用下各构件在连接界面径向变形存在差异，使得连接界面有相对滑移的趋势。同时，由于离心作用下转子各个构件材料发生轴向收缩，转子中心拉杆产生的预变形减小并导致界面剩余接触应力pc小于静止状态下的界面接触应力pi。

而当转子受到弯曲载荷M作用时，界面的受力状态如图2(c)所示。其中：pu为12点钟方向端面接触应力；pd为6点钟方向端面接触应力。显然，弯曲载荷作用下12点钟方向压紧力减小，6点钟方向压紧力增大，导致12点钟位置接触应力pu小于静止状态下界面接触应力pi、6点钟位置接触应力pd大于pi。

在连接结构受到上述外载荷作用时，其端面变形使界面接触应力发生变化以平衡外载荷，从而产生轴向刚度和弯曲刚度的力学效果；圆柱面则主要起定心作用以实现连接结构的径向定位。由于在工作状态下圆柱面的界面接触应力变化较小，因此不考虑圆柱定心面接触状态变化对连接结构力学特性的影响。

图2 典型转子止口连接结构及载荷特征Fig.2 Configuration and applied loads of typical rabbet joints of rotor

2 止口连接结构弯曲刚度损失

2.1 连接界面约束能力损伤机理

将止口连接结构简化为如图3所示的结构形式，即两段连续结构体通过端面互相连接。其中，连续结构体的刚度特性可以基于梁理论由构件的几何构型参数和材料参数获得，外载荷作用下界面接触状态会发生变化，由此可能会导致界面的力学特性改变，亦即发生了界面损伤。

如图3所示，选取止口连接结构角向位置为φ的轴截面建立局部坐标系xO′y，对构件在该截面内的接触特性进行分析，其中：lc(φ)为该轴截面内的端面接触区域宽度；Fl(φ)和Ml(φ)分别为该轴截面内构件受到的等效轴向压紧力和等效弯曲力矩作用；pl(y)为该轴截面内端面位置的接触应力分布；σxx为构件内轴向应力分布。

由图3可知，由于止口端面局部结构及载荷特征，其径向接触长度lc(φ)小于端面的径向名义尺寸，且接触应力分布pl(y)不与距离中性轴距离成线性正比关系。同时，止口连接接触界面变形和应力分布不同于各向同性连续结构，其截面应力-应变与外加载荷并非呈线性关系，而是连接界面上的接触状态和应力参数会随外载荷作用产生非线性、非均匀性变化，甚至于会造成连接界面局部脱开。

因此，连接界面有效接触长度lc(φ)及其附近相连结构内应力-应变分布状态均与连接结构局部轴向力Fl(φ)和弯曲力矩载荷Ml(φ)相关。而由于连接界面处“中性面”位置的变化和弯曲力矩作用下连接界面应力分布的改变，轴截面内轴向载荷Fl(φ)会随周向位置φ而发生非线性变化。

根据止口连接界面结构和受力状态分析可知，即便连接结构各截面名义尺寸与连续结构各截面相同，但是其抗弯曲变形能力依然低于连续结构，即当转轴结构产生弯曲变形时，界面连接结构弯曲刚度会下降，且下降幅度与外载荷和结构几何尺寸有关。

如图4所示，为止口连接结构受到外载荷作用时其界面附近轴向应力状态。其中：Δlnc为实际中性面与理想中性面不重合区域的轴向长度。

由该图可知，在止口连接结构受到弯曲载荷时，在理想状况下连接界面变形与端面两侧的连续轴段变形相协调，结构各截面内的中性轴与截面形心相重合，此时结构中性面分布如图中的“理想中性面”所示；但实际结构中，连接界面变形与连续轴段变形不协调，因此会导致界面接触应力分布状态发生改变，止口连接端面两侧连续轴段内的应力分布也会受到连接界面接触状态变化的影响，从而表现为边界约束减弱以及结构中性面的偏移(如图中的“实际中性面”所示)。

图3 外载荷作用下止口连接结构端面接触特性Fig.3 Contact characteristics of end-face of rabbet joint with applied loads

图4 外载荷作用下止口端面附近轴向应力分布Fig.4 Axial stress distribution near end-face of rabbet joint with applied loads

而且根据圣维南原理[21]，上述界面带来的局部应力-应变状态改变会随着与界面距离增加而迅速消失，当距离界面大于Δlnc时结构中的实际中性面与理想状态下中性面重合，即界面造成的影响位于界面附近很小区域内，是一种结构系统内的局部损伤现象。

因此，止口连接结构刚度损失起源于界面，并改变了连接界面附近很小区域内的应力分布特性。这些局部力学特性变化将会影响转子结构系统的动力学特性，需要建立止口界面位置的刚度损失模型，在高速转子动力特性分析中考虑其产生的影响。

2.2 止口连接刚度损失模型

图5为止口连接结构刚度损失模型。其中：x0、x1和y0、y1分别为所研究轴段轴截面的轴向/径向边界位置；F为轴截面受到的轴向力；ΔF(φ)为轴截面受到的轴向力所产生的微小变化；Δd为轴向力变化时轴截面产生的轴向收缩量；σxx和σ′xx分别为轴向力发生变化前后结构内的轴向应力。

图5 止口连接结构刚度损失模型Fig.5 Stiffness loss model of rabbet joint

当止口结构角度为φ的轴截面受到的轴向力发生微小变化ΔF(φ)时，构件任意横截面x=xi的材料发生变形并导致轴向应力区域大小、分布形式变化，直至截面轴向应力变化与轴向力变化平衡，即

(1)

根据能量平衡可以评估该截面变形对止口轴向变形增量Δd的贡献δd，即

(2)

式中：E为结构的弹性模量。并且注意到，该等式的左侧为外力做功量，右侧则为该截面应变能变化量。整理后，有

(3)

而为了建立变形量δd与外载荷F(φ)之间的联系，需要根据积分形式的切比雪夫不等式，将式(3)转化为

2F(φ)ΔF(φ)

(4)

式中：s=y1-y0，为止口边的厚度。所以可以进一步得到

(5)

对式(5)的两侧同时积分，则有

(6)

式中：l=x1-x0，表示止口端面和受力截面之间的轴向长度，其中x0和x1分别表示止口端面和受力截面在局部坐标系xO′y中的x轴位置。因此该止口轴截面的轴向刚度满足不等式关系

(7)

式中：Es/l即为理想状态下连续结构的轴向刚度。显然，由于端面接触应力变化带来的连接结构内材料轴向应力分布不均匀，最终导致止口连接结构在该轴截面内的轴向刚度损失。而止口端面在不同周向位置轴向刚度损失最终会体现为止口连接结构弯曲刚度的减弱。

2.3 连接结构弯曲刚度修正系数确定

止口连接结构刚度损失主要来源于止口端面附近材料内轴向应力的不均匀分布，只局限于端面附近极小范围内的材料内(区域大小Δlnc取决于截面轴向应力中性轴分布特征)。因此，对止口连接结构刚度特性的修正主要针对上述小范围内材料刚度特性。

图6为止口连接结构刚度修正方法的示意图，其中：L为构件轴向长度；kx,c(φ)为构件在轴向区域[0,Δlnc]内轴截面的轴向刚度；k′x则为构件在轴向区域[Δlnc,L]内轴截面的轴向刚度。

对于带有一定几何构型特征的构件，截取其轴截面，将其轴向刚度特性视为端面附近材料轴向刚度kx,c(φ)和剩余结构轴向刚度k′x的串联连接。由于Δlnc≪L，即L-Δlnc≈L，因此可以认为k′x表示整个构件的理论轴向刚度，其只取决于构件的几何特征和材料特征，而与其连接结构端面的接触状态无关。

而针对止口端面位置的局部轴向刚度kx,c(φ)，可以参考文献[22]，基于外载荷F(φ)下连接结构位置局部应力-应变分布，采用应变能等效法对该轴段的轴向刚度进行修正，即

(8)

式中：kx,c0为局部结构的理论轴向刚度，表达式如式(9)所示；Es,c0为理想状态下局部结构的应变能大小，其表达式如(10)所示；Es,c(φ)为实际局部结构的应变能大小，其表达式如(11)所示，其中VΔlnc为轴向区域[Δlnc,L]内所包括的材料体积；β(φ)为周向位置φ处连接结构轴向刚度修正系数，其表示截面实际轴向刚度与理论轴向刚度的比值。

图6 止口连接结构刚度修正方法Fig.6 Modification method of rabbet joint stiffness

kx,c0=Es/Δlnc

(9)

(10)

(11)

而经过修正后的连接结构局部轴向刚度表达式为

(12)

转子的弯曲刚度源于转子各周向位置拉压刚度的组合。因此在建立止口连接结构抗弯刚度模型时，需要将止口端面沿圆周进行离散化。

假设连接结构端面在受外载荷情况下依然保持一个平面，则离散后端面轴向力-变形分布如图7所示，其中：F和M为止口连接结构单侧受到的轴向力和弯曲力矩作用；θ和δ为外载荷作用下端面发生的角向变形和轴向变形；rm为止口半径；Fi为第i个局部扇区受到的轴向力，ni为第i个局部扇区编号，φi则为该扇区相对z轴的角度,且易知φi=2π(i-1)/N。

只考虑连接结构端面局部区域[0,Δlnc]的变形，则连接结构相对z轴的弯曲力矩作用可表示为

(13)

将局部力Fi表示为端面局部轴向刚度kx,c(φ)与形变dx,i的乘积，因此式(13)可以表达为

图7 止口连接端面沿周向轴向力-变形分布Fig.7 Circumferential distribution of axial force and axial deformation on end-face of rabbet joint

(14)

并且有

dx,i=θrmsinφi+δ

(15)

将式(14)对θ求导，即可消去该项并可以得到连接结构局部弯曲刚度kM,c为

(16)

最终可以获得连接结构局部弯曲刚度修正系数β，其表达式为

(17)

综上所述，通过修正系数β可以对止口连接结构端面局部区域[0,Δlnc]的刚度特性进行修正从而反映出连接端面接触状态差异对转子刚度特性的影响。

3 止口连接转子力学特性等效建模方法

对具有多级止口连接高速转子系统，由于其工作转速接近弯曲临界，在进行转子动力学分析中，必须考虑连接界面对转子刚度特性的影响。基于止口连接结构刚度损失模型，建立界面连接转子结构有限元建模中的弯曲刚度修正方法，并通过与有限元仿真方法的对比，验证该修正方法的有效性和准确性，以保证转子动力学特性的计算精度。

3.1 止口连接结构转子结构及其分析模型

如图8所示，为带有多级止口连接结构的多级轴流压气机结构示意图。该压气机转子系统共有三级轴流压气机(如图8中的 ①、②、③ 所示)由前后两处轴承支承，并带有四处止口连接结构(如图8中的A、B、C、D所示)，最大工作转速为40 000 r/min。在高速转动状态下连接结构界面接触状态会发生改变并可能影响转子系统的动力学特性。

图8 多级止口连接结构转子结构系统Fig.8 Configuration of rotor system with multi-rabbet-joints

由于提出的连接结构刚度修正方法需要求解连接结构内部应力分布，而对于如图8所示的具有复杂结构形式的连接结构，解析方法不再适用，而有限元方法由于具有极佳的通用性，在转子连接结构刚度特性分析中得到广泛应用，并通过大量的试验证实了该方法的准确性[1,23-25]。因此，建立了如图9所示的多级止口连接结构转子有限元模型(出于简洁考虑，未在图中显示转子叶片)，通过该模型对连接结构的应力分布特性和变形特性进行分析。

其中，止口连接结构对应位置如图9中的A～D所示，模型在上述位置加密了网格，以准确求解界面的接触状态。

此外，对不同网格数量下转子轴向拉伸刚度和最大应力进行了求解，获得如图10所示的结果，由该结果可知，随着网格数量的增加，转子的轴向拉伸刚度和最大应力与网格数量无关，证明了有限元模型的网格无关性。

图9 多级止口连接结构转子有限元模型Fig.9 Finite element model of multi-rabbet-joint rotor

图10 有限元模型网格无关性检测Fig.10 Independence of elements amount of finite element model

3.2 转子连接结构刚度特性修正方法

如图11所示，为三级轴流压气机转子结构不考虑界面连接刚度损失时，计算得到的转子弯曲模态下结构变形和应变能分布特征。初步计算结果表明，在多个连接结构中止口D处弯曲变形曲率较大，应变能较为集中。

而为了对该连接结构位置的弯曲刚度进行修正，需要对带有界面的局部结构有限元模型进行等效静态弯曲载荷加载，直至连接结构位置弯曲应变能分布占比与结构弯曲振动下相同，利用此时结构内应力-应变分布状态即可按照2.3节对连接结构的局部弯曲刚度进行修正。

如 图12(a)所示，为转子连接结构D处接触界面在弯曲振动状态下应变能分布情况，其中：Me为对转子施加等效弯曲力矩；θe为连接结构局部角向变形。

图11 多级止口连接转子弯曲模态振动响应特性Fig.11 Vibration response of bending modes of multi-rabbet-joint rotor system

图12 转子弯曲振动下止口连接结构弯曲刚度等效Fig.12 Bending stiffness equivalent method of rabbet joint under bending vibration of rotor

根据该计算结果可知，连接结构D位置应变能占整个转子应变能比例ηd为2.9%。对转子施加等效弯曲力矩Me，直至连接结构局部应变能比例同样为2.9%，此时连接结构局部角向变形为θe，同时其界面接触特性、结构弯曲变形及应变能分布如图12所示。

显然连接界面接触特性受弯曲载荷影响显著，连接界面仅受压区域处于粘滞接触状态，而另一侧受拉区域的有效接触面积大幅度减小，由此造成结构内应力分布改变，并导致连接结构弯曲刚度损失。根据连接结构位置应力分布，可以应用式(17)获得该连接结构位置的弯曲刚度特性修正系数。其他的止口位置的弯曲刚度修正系数亦可以按照该方法获得。

而在获得止口界面位置抗弯刚度修正系数后需要利用该转子结构系统的有限元模型，修正界面局部位置单元的弹性模量，使得

E′=βiE

(18)

式中：E′为修正后的材料弹性模量；βi为第i处止口连接结构的弹性模量修正系数。其修正范围如图13所示，图中：Δlnc,i为第i处止口连接结构的修正区域长度，该数值由连接结构界面位置应力分布特性决定。通过该方法可以将连接结构弯曲刚度损失的力学效果在有限元模型中加以描述。

图13 转子有限元模型刚度修正范围Fig.13 Stiffness modification area in FEM model of rotor system

3.3 刚度特性修正系数准确性验证

为了对该修正方法和修正系数的准确性进行验证。由于有限元方法在连接结构刚度特性分析中所具有的准确性已经得到了大量文献的验证，因此可以利用有限元模型计算连接结构的实际弯曲刚度，并对提出的修正方法的准确性进行检验。

以止口连接结构D为例，当连接结构受到外加弯曲力矩Me时，连接结构局部的角向变形为θe。通过施加合适的Me，使得连接结构局部应变能满足ηd=2.9%时，斜率dMe/dθe即为弯曲振动状态下止口连接结构的实际弯曲刚度，即

(19)

式中：kM,ed为基于有限元方法计算得到的D位置止口连接结构弯曲刚度。类似的，其他止口位置的实际弯曲刚度也可以通过该方法获得，并且可以进一步得到基于有限元模型的刚度修正系数βe,i，即

(20)

式中：kM,ei为通过有限元模型计算得到的第i处止口连接结构局部弯曲刚度。对比两种不同方法获得的止口刚度损失修正系数，可以得到如表1所示的对比表格，其中：βe,i为基于有限元仿真方法所获得的第i处止口连接结构弹性模量修正系数。

由表1可知，修正系数βi与修正系数βe,i基本保持一致，验证了所提出的连接结构刚度损失机理以及刚度等效方法的准确性。

但是可以注意到，两种不同方法下获得的刚度修正系数总体上有βi≤βe,i，根据分析，可能是如下原因造成的：

由于采用了应变能等效的方式来对连接结构的局部刚度特性进行修正，其中假设轴向应力产生的应变能可以用来衡量连接结构的轴向收缩。然而对于各截面轴向应力，其中部分应力分量并未造成结构的轴向收缩，而是形成力偶使截面发生偏转。因此，通过式(11)积分得到的应变能，实际上包括了连接结构轴向变形应变能和弯曲变形应变能两个部分，最终导致对连接结构的轴向变形估值偏大、轴向刚度估值偏小，需要在后续研究中对该刚度修正方法进行进一步的改进。

表1 各连接界面处抗弯刚度特性Table 1 Bending stiffness of each joint interface

4 止口连接转子系统振动特性分析

基于止口连接转子刚度损失力学模型，计算分析止口连接结构刚度损失对压气机转子系统各阶临界转速影响，如表2所示。

计算结果表明，连接结构所产生的刚度损失对转子系统前两阶刚体振型的临界转速影响很小。但当转子处于弯曲振型临界转速时，由于转子及其连接结构位置处产生较大弯曲变形，连接界面接触状态和应力分布发生变化，连接结构弯曲刚度显著下降，从而促使转子系统临界转速大幅降低。

基于转子系统动力学模型，在第3级压气机叶盘位置施加50 g·mm的不平衡量，并在转子前端轴承位置拾取振动响应信号，得到不同转速状态下转子前支点动态响应特性，如图14所示。

由计算结果可知，考虑止口连接结构弯曲刚度损失时，转子振动峰值位置发生了变化。其中第三阶临界转速为弯曲振型，振动峰值频率在考虑连接结构刚度损失后显著下降，而前两阶振动峰值频率变化则相对较小，这与临界转速分析的结果相吻合。

表2 连接结构刚度损失对转子临界转速影响 (单位:r/min)

图14 止口连接结构刚度损失对转子振动响应特性的影响Fig.14 Influence of bending stiffness loss of rabbet joint on vibration response of rotor system

5 结 论

1) 高速旋转转子系统在弯曲变形状态下，连接界面会受到多轴载荷作用，从而对连接界面有效接触面积、接触应力分布产生不可忽略的影响，使得转子连接结构拉压刚度产生变化，在弯曲载荷作用下可造成连接结构局部弯曲刚度损失。

2) 基于连接界面变形和应力分布特征，建立了止口连接结构刚度损失模型，阐述了止口连接结构弯曲刚度损失机理，并基于连接结构的应力分布特性提出了连接结构弯曲刚度修正方法，采用刚度损失系数法对连接结构局部弯曲刚度进行修正。随后，通过有限元法对该修正方法进行了验证，证明了其准确性。

3) 针对止口连接三级轴流压气机转子，采用基于连接界面力学特性变化的刚度修正方法，建立实体有限元模型，对多止口连接转子系统临界转速和支点振动响应幅值进行了计算。仿真结果表明，止口连接结构弯曲刚度损失对刚体振型临界转速及其响应特性影响较小，但会导致转子弯曲振型临界转速大幅降低，同时也验证了止口连接转子系统连接结构弯曲刚度损失模型的正确性。