Weibull分布参数估计值对细节疲劳额定强度的影响

2021-03-27宋欣沈华陈龙宝李天玉

航空学报 2021年3期

宋欣,沈华,陈龙宝,李天玉

哈尔滨理工大学机械动力工程学院,哈尔滨 150080

如果把新材料、新工艺应用到飞机结构设计中,按照《运输类飞机适航标准》的25.571条款规定,就必须进行有试验依据的分析和验证[1]。航空公司参考以往的设计经验,通过试验和分析建立了量化评估结构细节疲劳强度的方法,并将其应用在民机结构设计的整个阶段,大大提高了设计效率与质量。当前的评估方法主要有美国波音公司提出的细节疲劳额定值(Detail Fatigue Rating,DFR)法[2-3]、欧洲空客公司提出的疲劳质量指数(Airbus Fatigue Index,AFI)法[4]和应力严重系数(Stress Severity Factor,SSF)法[5-6]等。中国民机结构的疲劳强度与寿命评估方法是以波音公司的DFR法为基础发展的,以应力比R= 0.06、可靠性疲劳寿命N95/95=105对应的最大应力作为结构细节疲劳品质的度量。

虽然国内外的民机材料和结构制造工艺存在差异,但中国传统上仍采用波音公司确定的材料参数值和设计系数,在常幅谱和载荷谱下,根据N95/95、R和最大应力σmax计算DFR[7-9]。波音公司的双参数Weibull分布形状参数α的估计值是采用统计学文献中非常少见的头两序数估计法获得的[10],其余DFR计算参量大多与其相关。随着民机材料国产化和新材料、新工艺在民机结构上应用进程的推进,材料参数值和设计系数是否依旧采用波音公司的给定值,以及参数值变化带来的DFR偏差水平,已成为设计人员必须判断与分析的问题。此外,现有的DFR计算参量敏感性分析是基于单变量进行分析的[11],而实际情况下,当统计参数变化时,尤其是α的变化会对多个计算参量产生影响,因此需要更详细的研究。

关于金属材料的疲劳寿命分布模型,国家标准GB/T 24176—2009中推荐使用对数正态分布和Weibull分布[12]。中国飞机结构强度规范规定,对于疲劳寿命较短的军机结构疲劳寿命建议采用对数正态分布描述；而对于民用客机和运输机结构的使用寿命,建议采用双参数Weibull分布描述[13]。对于非金属材料,只要具有合理物理含义的非负最小寿命存在,Weibull分布也是一种具有高拟合精度的模型[14-15]。双参数Weibull分布是将三参数Weibull分布中的位置参数N0(最小寿命)取值为0的偏于保守的处理方法,国内外研究已表明三参数Weibull分布是能更准确地描述结构疲劳寿命或腐蚀损伤的分布模型,其物理意义也更加合理,如果三参数Weibull分布能恰当地拟合试验数据,则推荐使用此模型[16-18]。因此,本文根据新型轻质铝合金单孔和多孔无填充疲劳试件的试验数据,对DFR计算参量敏感性进行全面分析,并比较采用不同Weibull分布模型时统计参数变化对DFR的影响,探索和完善新材料、新工艺应用于民机结构抗疲劳设计的评估方法。

1 试验件类型和试验数据

图1为使用某新型轻质铝合金制备的无填充板式疲劳试件,可反映含有不同结构细节数量的无紧固件连接、无凸台结构件的疲劳性能。疲劳试验的应力比R= 0.06,以试件完全破坏为试验截止条件,有效试验数据如表1所示。

表1 疲劳试验数据Table 1 Fatigue testing data

2 多变量的DFR计算参量敏感性分析

DFR方法假设结构疲劳寿命N服从双参数Weibull分布,当平均应力σm是常数且N在103～106范围内时,在双对数坐标下应力幅值σa与N满足线性关系,且其斜率是与材料相关的常数；并假设在95%可靠度和95%置信度情况下,采用Goodman方程的等寿命曲线是线性的,相同材料的等寿命曲线均与横坐标相交于同一点σm0,σm0为材料常数。DFR计算公式为[2]

DFR=

(1)

(2)

分析式(1)可知,已知试件结构形式、试验条件和试验结果后,只有N95/95、σm0和s3个参数对DFR有影响,各参数对DFR的影响分析如下。

2.1 N95/95对DFR的影响

1) 试件系数ST

试验采用可看作主要结构件的多孔试件,等幅疲劳载荷,取ST= 1.3。

2) 置信系数SC

文献[2]给出α= 2.2, 3.0, 4.0时95%置信度下SC与相同的破坏试件数n(n≤10)的关系曲线,当n>10时,根据对SC与n的曲线拟合可得幂函数关系：

(3)

式中：r为相关系数。

SC计算结果如图2所示,SC=f(n)为单调减函数,当n=20时,α=2.2, 3.0, 4.0时的SC计算结果最大相差3.7%。当试件数量足够大时,α变化对SC的影响可忽略。

3) 可靠性系数SR

由图3(a)可知,当RS=95%时,若α<3.0,则α越小,SR变化率越大,即SR对α的变化越敏感；文献[11]给出疲劳寿命N在104～106范围内时,国产铝合金α的变化范围在3.8～6.9之间,如图3(b)所示,α在此范围内变化时,其对SR的影响在10%～-30%范围内；α越远离4.0,其对SR的影响越大；当RS= 50%、α的变化范围在2.6～7.0之间时,SR的变化率在±5%以内,α的变化对SR的影响不大。由此可知,可靠度越高,α对SR的影响越大。

传统的DFR计算方法是采用波音公司给定的设计值,对于铝合金材料,α=4.0,s=2.0,σm0=310 MPa；SC根据试件数量查手册或由式(3)计算；

图2 95%置信度下的SCFig.2 SC of 95% confidence level

RS=95%时SR=2.10；用式(2)处理试验数据后得到N95/95,代入式(1)计算。根据DFR定义可知试验载荷σmax不影响DFR,因此,可以使用同类试验件不同应力水平计算结果的平均值,作为该类试验件的DFR。图1所示的各类试件DFR如表2所示。

对于疲劳试验,疲劳寿命N为随机变量,N的可靠性随着被测的试件数n的增加而增大,在给定置信度下,文献[12]给出了获得可靠性寿命NP所需的最少试验件数量n的计算公式,将文献[12]所给公式中的参数定义为可靠度RS的数值,则变换后公式如式(4)所示。若定义N1为样本量为n的试验数据中的最小寿命,则NP>N1的可靠度为P,置信度为1-ε。

(4)

由式(4)用波音公司给定的设计值计算的N95/95大于表1中N1的置信度,结果如表3所示,该方法处理试验数据所得的N95/95都小于试验数据中的N1,当置信度大于60%时,N95/95比N1至少小了30%以上,由DFR =f(N95/95)的单调递增性质可知,用波音公司给定的设计值计算的DFR是偏保守的。

2.2 σm0对DFR的影响

当s和N95/95确定后,由式(1)可得DFR=f(σm0)为单调减函数,根据DFR方法的假设,相同材料的σm0是依赖于试验数据统计结果的材料常数。文献[11]给出DFR对σm0的变化不敏感的结论,采用表2中的计算参量分析σm0变化对DFR的影响可以验证该结论。以铝合金σm0= 310 MPa为基准,结果如表4所示,σm0变化对DFR的影响可以忽略。

表2 用波音公司给定值计算的DFRTable 2 DFR calculated values given by Boeing Co.

表3 NP的置信度计算结果Table 3 Calculation results of confidence level of NP

表4 σm0对DFR的影响Table 4 Influence of σm0 on DFR

2.3 s对DFR的影响

根据2.1和2.2节分析,当试验条件和σm0确定后,DFR =f(N95/95,s),斜度参数s=10-1/B,B为标准S-N曲线在双对数坐标下的直线lgNP=A+Blgσa的斜率,其中A为材料参数,因此,s是可靠性寿命NP的函数；而N95/95=f(α),因此s也是α的函数。

对于国产材料或新材料,在未获得高可靠度统计值的前提下,s需要通过试验数据的统计结果计算获得,s的变化对DFR将产生影响。文献[11] 通过DFR=f(s)扰动模型进行分析,得出DFR对s变化敏感的结论,并给出国外的几种主要铝合金的s约为2.0,中国28组铝合金的s取值范围为1.4～2.7。取σm0=310 MPa,σmax=100 MPa；分析不同疲劳寿命N下s对DFR的影响,并以s=2.0为基准比较DFR的变化,结果如图4所示。

由图4(a)可知,s对DFR的影响以100千周(105周)为界,N95/95>105时,DFR =f(s)为单调增函数；N95/95<105时,DFR =f(s)为单调减函数；由图4(b)可知,N95/95越靠近105,则s的变化对DFR的影响越小。利用标准S-N曲线计算s时,需要两个应力水平下的可靠性寿命NP和σa,利用式(2)计算NP时,当ST、SC和RS确定后,NP=f(α)为单调增函数。若采用不同方法处理试验数据,通常会得到不同的α估计值,从而会影响NP和s的计算结果,因此,当材料的s未确定时,使用方程DFR =f(N95/95(α),s(α))更为合理。

由SR影响因素分析的图3可知,RS越小,α对SR的影响越低,即低可靠度的NP计算值对的敏感度较低。由表3中选择置信度接近的5孔试验件数据进行验证,取s= 2.0,σm0= 310 MPa；以α= 4.0对应的NP为基准,分析不同可靠度下α对NP的影响,结果如图5所示,可靠度为50%的疲劳寿命N50对α的敏感度明显小于可靠度为95%的疲劳寿命N95,α在2.0～7.0范围内变化时,N50的变化率在-10.35%～6.34%范围内。由于不同可靠度的S-N曲线在双对数坐标下是平行的,因此,可用N50计算s,以便减小α变化对s的影响。

3 三参数Weibull分布统计方法对DFR的影响分析

在三参数Weibull分布参数估计方法的理论研究中,较为常见的有图估计法、矩估计法、极大似然估计法、线性回归估计法和灰色估计法等。根据不同样本容量下各种估计方法适应能力的不同,可以采用概率图和拟合优度检验考察估计效果。图估计是在Weibull概率纸上目测观察处理后的数据点是否分布在一条直线附近,方法直观适用于定性判断。其他方法可利用拟合优度检验方法比较拟合效果,在小样本情形下,除灰色估计法外,其余方法精度都有所下降；中等样本容量下,各方法精度差异不大；样本容量越大,各个方法的拟合精度就越高；其中,极大似然估计法和线性回归估计法的精度高于其他方法[20]。

在实际工程应用中,中国标准及手册中尚未给出三参数Weibull分布统计的推荐方法,但MMPDS(Metallic Materials Properties Development and Standardization)手册作为航空材料标准化领域应用广泛的重大手册[21],给出了估计三参数Weibull分布位置参数N0的数值方法,确定N0后,按两参数Weibull分布的极大似然参数估计方法确定α和β的估计值,并采用经过改进的AD(Anderson-Darling)拟合优度检验方法进行符合性验证。此方法适用于完全样本或上尾删失样本的数据集[22]。

3.1 MMPDS三参数Weibull分布参数估计方法

为与DFR法中的参数定义保持一致,并避免同一符号的重复定义,对MMPDS方法中的部分公式符号做了重新定义。假定试件疲劳寿命N服从三参数Weibull分布,分布函数为

N≥N0,α≥0,β≥0

(5)

则N>NP的概率可表示为

P(N>NP)=1-F(NP)=

(6)

即NP可表示为

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

3) 三参数Weibull分布拟合优度检验

在获得三参数Weibull分布的参数估计值之后,采用经过改进的AD(Anderson-Darling)拟合优度检验方法对完全样本或者上尾删失样本数据集进行检验。

(13)

(14)

如果式(14)成立,则拒绝原假设,即认为样本数据不是来自三参数Weibull分布总体；否则,不拒绝原假设。

3.2 不同Weibull分布模型参数估计值对DFR影响的比较分析

对于双参数Weibull分布,N0= 0,将式(6)取两次自然对数进行线性变换后,对于顺序样本采用中位秩确定经验分布函数P(Ni)[23],利用表1的疲劳寿命试验数据,采用线性回归估计最小二乘法计算α和β,并用线性相关系数进行拟合检验,用式(7)计算N95/95,各参数的计算结果如表5所示。

采用三参数Weibull分布处理表1的试验数据时,用MMPDS方法得到N0、α和β估计值后,用式(13)和式(14)进行拟合优度检验,未通过则排除该估计值,用式(7)计算N95/95,各参数的计算结果如表6所示。

表5 最小二乘法估计双参数Weibull分布参数值

表6 MMPDS方法估计三参数Weibull分布参数值

比较表2和表5、表6可得,应用不同Weibull分布模型处理试验数据时,获得的α估计值不同于波音公司给定的设计值(α=4.0),采用不同方法获得的可靠性寿命也有差异,因此,各方法计算得到的DFR也不同。根据DFR计算参量敏感性分析结果可知,对于图1所示新型铝合金材料试验件,可确定σm0= 310 MPa,但需要考虑s和N95/95的变化对DFR的影响。

s计算需要两个应力水平下的NP。NP可以用表5中的α估计值以传统方法处理表1中的试验数据后用式(2)计算,也可以用表5和表6中的Weibull分布参数估计值和式(7)计算。由于存在未通过符合性检验的数据,且根据文献[12]的推荐尽量使用相同置信度的试验数据,采用5孔试件的疲劳数据计算不同方法的N50和s,结果如表7所示。

利用表5～表7中的参数值,由式(1)计算得到的DFR以DFRα表示,计算结果如表8～表10所示。其中,表8为采用传统方法,将表5中的α估计值代入式(2)获得N95/95后的计算结果,表9和表10为采用表6和表7的参数估计值,用式(7) 获得N95/95后的计算结果,各表中的DFRα平均值是排除未通过Weibull分布符合性检验的数据后,计算得到的。

表2中的各类试件DFR是用波音公司给定设计参数值按传统方法计算得到的,用DFRα=4.0表示。以DFRα=4.0为基准,不同方法计算的DFRα变化情况如表11所示。

单孔试件最大应力σmax=113.33 MPa的试验数据没有通过双参数Weibull分布符合性检验,利用其数据计算得到的DFR比DFRα=4.0明显偏小,相比其他数据样本,DFR变化的趋势出现反转；但该数据样本通过了三参数Weibull分布符合性检验,其DFR变化趋势与其他数据样本的相同。10孔试件最大应力σmax= 90 MPa的试验数据通过了双参数Weibull分布符合性检验,但由表3数据置信度分析可知,其N95/95的置信度较低,相比其他高置信度的数据样本,用传统方法计算时DFR的变化趋势出现反转；用双参数Weibull分布参数值计算时,DFR变化趋势与其他数据样本的相同,DFR与DFRα = 4.0接近。因此,利用传统方法计算DFR时,仍需要先进行数据的符合性检验,并考虑数据的置信度,从而判断结果的可靠性。

表7 不同方法计算的5孔试件的N50和s

表8 采用传统方法获得N95/95计算的DFRαTable 8 DFRα calculated by N95/95 obtained with traditional method

表9 采用双参数Weibull分布参数估计值计算的DFRαTable 9 DFRα calculated by estimation of two-parameter-Weibull distribution

表10 采用三参数Weibull分布参数估计值计算的DFRαTable 10 DFRα value calculated by estimation of three-parameter-Weibull distribution

表11 不同方法计算的DFRα变化情况Table 11 Variations of DFRα calculated with different methods

试验数据通过符合性检验,并具有足够置信度的前提下,使用Weibull分布参数估计值计算得到的DFR都比DFRα=4.0大,再次验证了使用波音公司给定值进行DFR计算是偏保守的,而采用试验数据的Weibull分布参数估计值计算会得到更大的DFR,采用三参数Weibull分布的DFR计算结果最大,比DFRα=4.0至少增大10%以上。

4 适用性分析

相比两参数Weibull分布,具有位置参数N0(最小寿命)的三参数Weibull分布的物理意义更加合理。通过文献[12]给出的可靠性寿命NP大于试验数据中的最小寿命N1的置信度计算方法,可对不同方法获得的N95/95进行可靠性分析。由表12(将表3扩充)可知,样本量足够大时,依据试验数据获得Weibull分布参数估计值后计算得到更大的N95/95是可信的,双参数Weibull分布的计算结果偏保守,三参数Weibull分布的计算结果是可靠的。

虽然三参数Weibull分布参数估计方法更符合疲劳试验的实际情况,但MMPDS手册中的方法是用于计算材料许用值的,需要较大的样本量n。由式(10)可知,若使Beta函数有解,要求K>1。当上尾删失率λ分别为0、0.2和0.5时,n要分别大于8、29和37,否则该方法无法进行参数估计。对于大结构件的疲劳试验,试件数往往无法满足要求,而三参数Weibull分布参数估计方法在小子样中的应用[24]尚未获得工程上的认可,其适用性还需要在大量的工程实践中进一步验证。