促进数学深度学习 助力师生真正成长

张素贤

2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》（以下简称《意见》），要求各地区各部门结合实际认真贯彻落实。《意见》指出：“大力提升教育教学质量，确保学生在校内学足学好。”可见，“双减”政策是要把教育教学主要阵地集中回归学校、课堂，只有学生在校学习效率提高了，才能做到真正“双减”。扎实提高课堂效率，培养学生的学习能力，已势在必行。当前，深度学习的理念在小学数学教育领域被广泛提及，并被众多的教师所倡导、学习、落实。教学中，我们要结合“双减”的目标要求，促使数学学习深度发生，助力師生真正成长。

一、立足学生实际，实施单元整体教学

小学数学深度学习应向“整体化”发展，以整体性思维思考数学问题，这就要求教师要实施单元教学设计。单元教学设计是以教材为基础，对教材中具有某种内在关联性的内容进行分析、重组、整合并形成相对完整的教学单元，在教学整体观的指导下，将教学诸多要素有序规划，以优化教学效果的教学设计。实施单元整体教学能有效实现数学教学的有序性、整体性、完整性，使学生在知识的迁移与对接中感受数学知识的连续性、数学思想方法的一般性，体会数学学习的价值从而实现数学深度学习。

“分数乘法”和“分数除法”是“数的运算”中的核心内容，分别安排在人教版《义务教育教科书·数学》六年级上册第一单元和第三单元，而这两个单元的知识有着密切的联系。整数乘、除法的意义可以迁移类推到分数乘除法的意义，分数除法又是分数乘法的逆运算，教学分数除法需要有分数乘法作为基础。从学生理解的角度来看，分数乘法、分数除法的计算教学都要让他们经历“探究方法—明确算理—总结算法”的过程，在探究明确算理的环节中，都需要借助几何直观。而分数乘、除法的应用在实际学习中学生还很容易混淆。基于以上几个方面，我们可以将人教版《义务教育教科书·数学》六年级上册“分数乘法”与“分数除法”进行适当重组来进行大单元主题教学。例如，可以先教学分数乘法的意义及计算，然后认识倒数，再学习分数除法的意义及计算，最后把应用分数乘除法解决实际问题放在一起进行比较性教学。通过多年的实践经验我认为，对于分数乘、除法的意义及计算方法，虽然学生学起来很轻松，但容易出现问题的是应用分数乘、除法解决实际问题。教材在“分数乘法”一课中的例9是“求比一个数多（或少）几分之几的数是多少”的实际问题，而“分数除法”一课中的例5是“已知比一个数多（少）几分之几的数是多少，求这个数”的实际问题。两个例题为学生提供的素材都较为单一，虽然思维指向性强，但是留给他们的探究空间较为有限，不利于深度学习。如若能将它们整合为一个课时，并提供丰富的学习素材，留足自主探究的时间和空间，更能促成深度学习的发生。教学时，可以给学生提供一组互相咬合的齿轮素材：

（1）小齿轮每分钟转400周，大齿轮每分钟转的周数比小齿轮少[45]，大齿轮每分钟转多少周？

（2）大齿轮每分钟转80周，比小齿轮每分钟转的齿数少[45]，小齿轮每分钟转多少周？

教学中，要引导学生注意区分两道题的相同点和不同点，在解决实际问题的过程中借助画图等策略分析数量关系，使他们在对比辨析中展开深入思考，在其间数量关系和解题思路也会越辨越明。

二、聚焦数学素养，促进自主深度探究

小学数学深度学习是指在教师引领下，学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程。深度学习着眼于学生对所学内容的整体理解，促进学生的知识建构和方法迁移，有助于学生高阶思维的发展，有利于学生核心素养的提升。可见，小学数学深度学习以培养学生数学核心素养为根本追求。“本质理解”“问题解决”“学习迁移”“高阶思维”是深度学习的核心。

（一）把握数学本质，增强理解感悟

数学的本质内涵包括数学知识的内在联系、数学规律的形成过程、数学思想方法的提炼、数学理性精神的体验。让学生把握数学内容的本质、感悟数学思想方法的内涵是培养数学关键能力和发展核心素养的关键所在。教学中，教师要通过科学合理的教学设计，引导学生作为研究者经历探索过程，探求数学知识本质。

“路程、时间与速度”是人教版《义务教育教科书·数学》四年级上册第四单元“三位数乘两位数”一课中的例5，是有关数量关系的教学内容。《教师教学用书》“编写意图”中提出：例5是探索速度、时间与路程三者之间关系，应构建数学模型“速度×时间=路程”，并应用模型去解决实际问题。但根据以往的教学经验我发现，学生借助已有的知识经验很容易理解和掌握路程、时间的含义。但是对于速度，他们却只能够在解决问题中找出哪条信息描述的是速度，而对速度的内涵是什么，为什么会产生速度这个概念却没有理解。究竟什么是速度，它的本质特征是什么呢？相关资料是这样解读的：速度是一个导出量，是由基本量长度和时间导出的一个物理量，导出而得的单位是“米/秒”等。从中可以看出，速度的产生是由基本量长度也就是路程与时间生成的一个新的量。或者说，在用路程和时间不能度量快慢的时候，就需要产生一个新的量——速度，这就是速度概念的本质特征。如果能帮助学生理解了速度概念，也就能让他们建立起速度与路程、时间的关系。有了这样的思考之后，我把课题由“速度、时间与路程”更改为“路程、时间与速度”，构建的数学模型是“路程÷时间=速度”。这样更改的目的是为了引领学生深入理解数学的本质，深度思考，让他们在深度思考中感知速度产生的必要性。教学中，我先创设学生熟悉的生活情境，设置关键问题，引导他们结合生活和学习经验分析问题，初步感知“路程、时间与速度”三个量之间的关系。然后，把生活中的问题转化为与速度有关的数学问题，通过比较数据积累学习经验，并结合生活中的田径比赛，掌握在特殊情况下比较速度快慢的方法：一是时间相同比路程，路程越远速度越快;二是路程相同，比时间，时间越短，速度越快。最后，提出问题：“当路程、时间都不相同时，怎么比呢？”让学生在深度思考中感知速度产生的必要性，为后续模型的建立和速度概念的形成做好铺垫。

（二）体验过程方法，培养核心素养

让学生经历数学知识的产生、发展与形成的过程，有助于他们获得对知识的理解，有利于他们感悟数学思想，积累数学活动经验，发展数学核心素养，最终实现过程与结果的统一。教学时，教师一方面应注重让学生经历知识形成的过程，突出从问题情境入手引出数学问题，让他们通过观察、操作、猜测、推理、验证等方法自主建构知识;另一方面，应处理好过程与结果的关系，注意让他们在学习过程中深度理解与掌握知识，在经历知识形成的过程中体验数学思考的方法，强化分析、解决问题的思维方式，从而感悟数学思想，积累数学学习经验。

在教学人教版《义务教育教科书·数学》五年级上册“植树问题”这节课时，我先创设情境：在全长20m的道路一旁植树，每隔5m栽一棵。让学生提出数学问题并猜测结果。接着，小组合作，通过画图操作、模具拼摆、全班交流等方式自主探索三种植树方案中要求的各栽多少棵树的问题。然后，学生借助已有的探索经验进行二次自主探索，分别以12m、15m、18m、50m为路长，以4m、5m、6m、10m为间隔，探索每种植树方案可以栽多少棵树的问题。最后，通过对这些具体例证的观察发现规律，归纳出植树问题的三种模型（棵数=间隔数，棵数=间隔数+1，棵数=间隔数-1）。可以看出，利用多样化的方法充分经历分析问题、解决问题的过程，不但增强了学生对植树问题模型的数量关系的理解，而且使他们感悟了数形结合思想、一一对应思想、推理思想等数学思想，积累了分析、解决问题的思考经验，提升了解决问题的能力，培养了核心素养。

（三）突出自主探索，促進知识迁移

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“学生是学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方法……学生的数学学习活动，应当是一个生动活泼和富有个性的过程。”特别是在“双减”政策下，培养学生良好的学习习惯，提高学生学习能力显得尤为重要。因此，数学教学应注意发挥学生的主体作用，突出自主探索，培养学习能力。教学时，教师要注意将学习的话语权和探索的机会让位于学生，使他们通过动手实践、独立思考、合作交流等多样化的学习方式进行自主探索;要注意让学生对探索过程、探索方法和探索结果进行自我解释和互相质疑，在争辩中让认识更清晰、理解更深刻;新知学习时，应注意激活他们已有的知识经验和学习经验，激发探索兴趣;新课学习中和学习后，应适时引导他们反思、总结学习过程，使其达成对知识的深入理解和内化，促进知识的迁移。

在教学“多边形的面积”时，让学生经历多边形的面积计算公式的推导过程，有助于培养逻辑推理能力，有助于他们感悟转化的思想方法，积累推理的思考经验，而这些都与教学方式有密切的关系。因此，在教学中我先让学生通过观察、想象、操作等方式，将不会计算面积的图形转化为会计算面积的图形，增强学生对图形之间的关系及转化方法的实际体验。进而，在操作的基础上让学生去观察和发现转化前后图形之间的关系，在头脑中理清这些关系，从而形成逻辑联系，并试着用语言将转化推导的过程进行清晰的自主表达。我们要切忌将问题“嚼碎”后采用师生一问一答的方式将推导的过程说出来，要切忌用课件展示推导过程来代替学生的自主表达过程。

（四）注重问题解决，发展高阶思维

在教育领域，深度学习的思想可以追溯到布鲁姆理论，布鲁姆将学生的学习分为六种水平，即知识、理解、应用、分析、综合、评价。一般来说我们认为，前三类属于低阶思维，后三类属于高阶思维。高阶思维是以语言为工具，对事物的本质进行抽象和概括，以及建立合乎逻辑的关系、规则和原理的过程。高阶思维主要包括：抽象概括、逻辑推理、批判性思维、创造性思维和问题解决等。深度学习是指向于能力和素养的主动学习，解决问题是它的重要特征。因此，重视知识的应用，并在知识的应用过程中提升学生的学习水平，是深度学习的必然选择和促进深度学习的重要策略。深度学习是高水平与高阶思维的学习，综合应用知识、创造性地解决问题是这种学习的最大特征。这就要求教师在设计应用问题时要避免总是停留在低水平的简单应用上，要关注思考的空间和思维的策略，要关注提供利用创造性思维解决问题的机会。

在教学“平行四边形的面积”这节课时，我做了如下设计。

【环节一】猜测平行四边形的面积计算方法。

师：猜一猜，平行四边形的面积可能怎么计算呢？

生：平行四边形的面积=底×高。

师：一个大胆的猜想，我们把它记录下来。（板书）

师：还有不同的猜想吗？

生：平行四边形的面积等于邻边相乘。

师：这个猜想也很有意思，我们也把它记录下来。（板书）

师：同学们有不同的猜想，平行四边形的面积到底该怎么计算呢？我们还得好好地研究研究。

【环节二】探究平行四边形的面积计算方法。

师：你打算用什么方法研究平行四边形的面积呢？

生：我觉得可以用数小方格的方法。

师：用研究长方形的面积的经验来研究平行四边形的面积，这个方法不错。

生：我用剪拼的方法。

接下来，学生利用学具在小组内研究平行四边形面积的计算方法，然后交流研究的过程和结果。学生在把平行四边形转化成长方形时出现了不同的剪拼方法。

师：这些剪拼方法有哪些相同的地方呢？

生：都是沿着高剪的，都转化成了长方形。

生：平行四边形的面积=底×高。

生：都用到了平移。

生：平行四边形的面积等于转化后的长方形的面积，平行四边形的底等于长方形的长，平行四边形的高等于长方形的宽，因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高。

师：大家对这种方法有什么疑问吗？

生：为什么要拼成长方形呢？

师：我真佩服你的勇气，大胆地提出一个问题，为什么要拼成长方形呢？

生：长方形的面积我们已经学过，所以才把平行四边形剪拼成长方形。

师：把一个新的问题变成我们已经能解决的旧的问题，这就是我们常说的转化思想。（板书）

生：为什么一定要沿着平行四边形的高剪呢？

生：因为长方形的四个角都是直角，只有沿着高剪开才能有直角啊，才能转化成长方形。

师：抓住长方形角的特点来分析，是非常有效的思考。

师：几个小组通过研究得到的结论是一样的，都是平行四边形的面积=底×高。同学们，你们研究的结论呢？

生：也是平行四边形的面积=底×高。

师：那“平行四边形的面积等于邻边相乘”这种猜想对不对呢？

生：不对，我们研究的结果是平行四边形的面积=底×高，怎么可能是邻边相乘呢？

师：请看（动手操作把长方形框架的对角轻轻一拉变成平行四边形），再拉，再拉……你发现了什么？

生：平行四边形的面积越来越小。

生：平行四边形的周长一直没变。

生：在拉动平行四边形的时候，它的面积一直在变化，但是邻边相乘的积是没有变的，所以平行四边形的面积不等于邻边相乘。

生：邻边相乘计算的是长方形的面积，不是平行四边形的面积。

师：的确，邻边相乘不等于平行四边形的面积，平行四边形的面积等于底乘高。

上面的教学片段中，我以问题为内驱力，拨动思维之弦，激发探究欲望，利用学生思维的负迁移产生思维的碰撞，激发认知需求，进行深度探究。同时，还适时引导学生思考和辨析，通过自主探索、合作交流、动手操作等活动，他们明确了道理，感悟了转化数学思想的方法，加深了对几何图形特征的认识和理解。同时，促进了乐学、好学、会思、善思的良好思维品质，使他们积累了数学活动经验，提升了数学思维能力和空间想象能力。

高阶思维不能脱离低阶思维而独立存在。“涓涓小溪汇聚方能成江河”，我们可以把低阶思维视为“小溪”，高阶思维视为“江河”，无“小溪之水”就无“江河之源”。高阶思维的材料是知识，知识的积淀依托于低阶思维，这是一条事实性因果逻辑链，离开低阶思维的高阶思维只能是“空中楼阁”。培养学生的高阶思维并不是只增加问题的难度，而是要拓宽思维的广度与深度。作为教师，我们首先要弄清什么是数学学习中的高阶思维，怎样的教学才有助于培养学生的高阶思维。这样，才能在数学教学的实践中不断探索和发现培养学生高阶思维的路径，从典型的案例中提炼和寻找有效的方法。

三、注重个性提效，优化作业设计策略

作业是深度学习的重要组成部分。在小学数学课堂教学中，作业是一个非常关键的教学环节，不仅能对学生的课堂学习效果进行有效检验，更能帮助他们及时复习和巩固教学内容。特别是在推进“五项管理”、落实“双减”政策背景下，作业设计显得特别重要。要想“减负而不减质”，必须要把好作业设计这一关。作业设计应当注重阅读理解、探究知识本质、聚焦能力素质、凸显练习重点、构建知识网络。

（一）设置分层式作业

若按照传统的作业设计，一般就是布置统一的作业，让所有学生完成同样的作业。对学优生而言，太过基础的作业对其能力的提升没有任何意义;对学习能力中等的学生而言，一些难度过大的题目会打击他们的学习信心;对于学习基础薄弱的学生而言，他们本身所掌握的知识就还不足，难以应对有难度的作业。因此，教师需要本着因材施教的原则，设计分层作业，既要有基础性的解题作业，也要有关注过程的探究性作业、回顾反思的复习类作业，以满足各个层面学生的发展需求。

（二）设置开放性作业

作业的设计需要契合学生的兴趣、认知和思维习惯，它不是练习和作业的叠加，而是反映学生的思维过程。因而，作业的设计要凸显出“开放性”的特征，可以是传统的纸笔书写，也可以是动手操作。可以用思维导图表示，也可以条分缕析，一一阐述。如可以开设“作业超市”，借鉴超市的大型“自选”模式，从学生的个体、群体需求出发，搭建多样化作业平台，让他们在“想做啥就做啥”中得到长足发展。如在“作业超市”里放置“常规解题练习”“数学日记”“简便计算的奥秘”“小数，是什么”“我给大家讲一道数学难题”“数学绘本创作”“数学小研究——1亿有多大”“数学小研究——多边形的内角和”“数学小研究——平行四边形怎么画”等开放性作业。这些开放性的作业会激发学生的学习兴趣、开阔其视野、调动其学习的积极性。

（三）设置生活化作业

教师可以从实际生活出发，积极挖掘学生日常生活中所蕴含的丰富的数学教学资源，将他们的数学学习放置于一个真实的生活情境之中。这样，能帮助学生建立起数学知识与实际生活联结的桥梁，激发其学习数学的兴趣与热情。同时，也能让学生得到充足的知识应用机会，这对于发展与提升他们的数学实践运用能力能够产生非常积极的影响。如此一来，学生的数学学习才能稱得上是有深度而又有质量的高效学习。

在学习了“按比例分配的应用题”后，可要求学生根据家中消毒液的说明书自己配制一些消毒药水给厨房用品消毒。学习了长方形和正方形的面积之后，可让学生实地操作，测量并计算出自己住的房间的面积、书桌的面积等。这样的作业有利于培养学生将所学知识运用于实际生活的能力。

在学习了“长方体和正方体表面积”后，可让学生测量一下教室的长、宽、高，门窗和黑板的长、宽，然后利用所学的知识，测算教室要粉刷的面积。通过具体搜索信息并加以分析，学生找出了解决问题的办法，整个过程都是学习长方体表面积的真实体验，有利于他们数学知识的理解、消化。

总之，深度学习是师生共同经历的一场智慧之旅。旅程的终点不是让学生获得一堆零散、呆板、无用的知识，而是让他们能够积极、充分、灵活地运用知识，去理解世界、解决问题、学以致用，获得健全的人格。知识的深度生长能使教育的果实生根发芽。教学中，要将教师深度地教和学生深度地学有机结合、融合起来，真正让学生感悟数学知识的本质，感悟数学的思想方法。只有这样，深度学习才能真实发生，才能让数学核心素养的培养落地生根。

（责任编辑：杨强）