脚手架概率论极限状态设计法及其可靠性分析

于海祥

（重庆建工集团股份有限公司设计研究院，重庆 400042）

1 脚手架结构设计理论的发展概况

结构设计方法经历了百余年来长期使用的容许应力法和近30 年发展起来的极限状态设计法。 目前，我国各类脚手架的设计标准均已由安全系数法过渡到了概率论极限状态设计法。国家标准《工程结构可靠度设计统一标准》（GB 50153）为各类土木工程结构的可靠性设计提供了基本的准则，其中国家标准《建筑结构可靠度设计统一标准》（GB 50068）是建筑行业的结构可靠度基本标准，该标准为脚手架标准编制工作起到引领性作用[1]。 目前，某些工程领域或某些地域的工程技术人员仍然采用基于安全系数的容许应力法进行脚手架等临时施工结构的设计。

在基于概率理论的极限状态设计法应用于临时结构设计之前， 施工现场广泛采用容许应力法进行临时设施的结构设计，方法简单，物理概念清晰，以笼统的安全系数K（柔性结构取1.4～1.6，脆性结构取2.5～3.0）体现结构的承载力富裕度。 容许应力法于1826 年提出， 这是较长时间占据结构设计理论领域主导地位的常用方法， 比如桥梁施工设计领域， 在2015 年之前行业标准《公路钢结构桥梁设计规范》（JTG D64—2015）发布之前，桥梁施工支撑结构的设计一直沿用的是基于容许应力法的行业标准《公路桥涵钢结构及木结构设计规范》（JTJ 025—86）， 甚至今天在各地采用贝雷梁、万能杆件搭设临时支架时，还在广泛采用基于杆件容许轴力或桁片容许弯矩与轴力的容许内力法。 但应注意的是，《公路桥涵钢结构及木结构设计规范》（JTJ 025—86）所用的容许应力法与古典的容许应力法相比，已有所进步，主要在于：安全系数K 为多系数的乘积，材料抗力（即标准强度）以概率取值。 但它仍属定值法的范畴， 只是局部地使用了概率与统计的方法，经验与工程判断仍占主导地位。

满堂钢管脚手架用于桥梁支模架时，工程师们较早也是采用的单杆容许轴力法，其基本思路为：通过工程实践或试验加载，得到常用搭设条件下架体单立杆的极限承载能力的平均水平（类似于承载能力标准值）， 将此承载力除以大于1.0 的安全系数得到单杆的容许轴力。 该方法用公式表达为：

式中，Nmax——立杆的极限承载力，通常由工程实践或试验确定；K——安全系数，又叫安全储备。

至今还可以在某些单位的施工方案中发现这种设计方法的痕迹，比如通过承载力试验得到搭设参数为0.9m（立杆纵距）×0.9m（立杆横距）×1.2m（架体步距）的支撑架单立杆承载力平均水平为30kN，取3.0 的安全系数，得到立杆容许轴力为[N]=10kN，认为只要最不利立杆的计算轴力不超过10kN，架体整体处于安全状态，并具有可接受的安全富余度。

容许应力法（或容许内力法，对脚手架而言是容许轴力法）表达形式简单，便于使用。 在碗扣式钢管脚手架应用领域，将其作为初定立杆间距的方法效果良好。 比如，在承载力试验的基础上得到一般条件下满堂架单立杆极限承载力平均值为30kN，取1.5的安全系数，将单立杆的最大容许轴力定为[N]=20kN，在根据待浇混凝土构件尺寸确定立杆间距时，以确保最不利立杆轴力控制在20kN 以内为原则，初步确定架体结构尺寸，最后按照规范的荷载、计算公式进一步校核其承载力和稳定性。

采用容许应力法进行脚手架结构设计有如下不足之处：

（1） 容许应力法所采用安全系数（大老K）为笼统的单一值，属于定值分析法，不可能全面考虑荷载工况与结构抗力等变化的影响，不同类型脚手架和不同工作状态下的脚手架缺乏安全程度的可比性；

（2） 单一安全系数仅针对于承载力破坏状态，不能有效体现正常使用不满足要求的不期望状态，如变形过大影响脚手架上人员正常作业等不期望状态；

（3） 安全系数虽隐含了安全度的概念，但未考虑作用效应与结构抗力的不确定性，其取值多凭实践经验，以此确定的脚手架安全水准难以有明确的概率体现，不能确保所设计的结构或构件具有一致的安全度水准；

（4） 单一安全系数仅针对于特定的结构受力状态，如单一的立杆受压破坏或水平杆受弯破坏状态，用单一的安全系数校核复杂工况下的脚手架安全度是不准确的；

（5） 容许应力法未考虑脚手架的整体结构体系概念，更未考虑构造因素对计算承载力的影响， 容易忽略架体结构的薄弱环节；

（6） 容许应力法未考虑脚手架结构不同的功能要求（抵抗荷载要求、良好使用性能要求、偶然作用下的防倒塌要求等）、设计工况及极限状态。

虽然容许应力法具有上述局限性，但现行的建筑结构可靠性设计标准， 如新发布的 《建筑结构可靠性设计统一标准》（GB 50068—2018）[2]并不排斥概率论极限状态设计法之外的其他结构设计方法。 对脚手架结构设计而言，尤其是在缺乏大量统计数据基础的条件下（如新研制的脚手架、多次周转使用的脚手架、非常规搭设的脚手架等）， 可根据可靠的工程经验或通过必要的试验研究，按照容许应力法采取单一安全系数法进行设计。

2 概率论极限状态设计法

在脚手架结构设计中，架体上的施工荷载、风荷载、混凝土振捣荷载等（统称可变荷载），以及架体结构的自重、脚手架附属构件自重、混凝土结构物的自重（统称永久荷载），其值都具有不确定性。 在脚手架结构抗力方面，影响因素也较为复杂，比如钢管、扣件、碗扣及配件性能的影响，脚手架搭设施工技术的影响，架体计算模型公式的影响等，都使架体结构承载力（抗力）也具有不确定性，这种不确定的变量称为随机变量。 因此，有必要在脚手架结构设计理论中，引入数理统计和概率论的方法，以寻求用失效概率表征脚手架结构的可靠性， 进一步完善脚手架结构设计理论。所谓可靠性，是指在规定的时间内（脚手架的使用期限内），在规定的条件下（正常搭设、正常施工使用），完成预定功能（为混凝土浇筑提供支撑、为外立面施工提供作业面）的能力。 可靠性以可靠度来体现，可靠度指的是结构在规定时间和条件下完成预定功能的概率，其对立面是失效概率。 而失效概率则是指结构不能完成预定功能的概率。度量结构可靠度的最终指标是结构可靠指标β。

可见概率论总是针对特定的极限状态，换言之，极限状态设计法用概率论表达结构的可靠性。 最新国家标准《建筑结构可靠性设计统一标准》（GB 50068—2018）[2]规定，结构极限状态分为承载能力极限状态、正常使用极限状态和耐久性极限状态，且该标准对三种极限状态进行了细致的规定。 对脚手架结构而言，最新国家标准《建筑施工脚手架安全技术标准统一标准》（GB 51210—2016）[3]针对脚手架的承载能力极限状态（脚手架架体结构或构件达到最大承载能力，或达到不适宜于继续承载的变形）、正常使用极限状态（如影响结构正常使用或外观的过度变形）进行了有针对性的描述。 作为临时施工设施，脚手架结构不考虑耐久性极限状态设计。

在结构设计发展史上，按照概率程度实施的深度，概率论极限状态设计法可以分为3 个层次或水准，分别为：半概率极限状态设计法（水准I）；近似概率极限状态设计法（水准II）；全概率极限状态法（水准III）。 纵观国内外脚手架设计标准，采用较多的是近似概率极限状态设计法，虽然形式上采用了荷载与材料强度的分项系数，但最终需要将系数连乘得到的综合安全系数与既定的单一安全系数进行校准，换言之，依然有着传统容许应力法的印迹。 如现行行业标准《建筑施工扣件式钢管脚手架安全技术规范》（JGJ 130—2011）[4]和《建筑施工碗扣式钢管脚手架安全技术规范》（JGJ 166—2016）[5]的脚手架计算理论章节中关于立杆计算长度附加系数k 的引入， 其目的就是确保脚手架总体达到K=2.0 或2.2的安全系数。 目前的脚手架的设计理论虽然有着安全系数法的痕迹，但已上升到从失效概率和极限状态控制的层面进行架体结构设计[6]。

3 脚手架可靠指标

以承载力极限状态为例，脚手架整体结构或构件的极限状态可用极限状态函数来描述：

式中：xi（i=1,2…，n）——脚手架结构或构件的荷载、架体极限承载力（构配件材料强度）等基本变量； Z（x1，x2，…xn） ——承载力极限状态函数。

为简化表达，将极限状态函数采用荷载作用效应S 及构件抗力R 两个基本变量进行表达：

当 Z(R,S)＞0 时，架体结构可靠；当 Z(R,S)＜0 时，架体结构失效；当Z(R,S)=0 时，脚手架结构处于承载力极限状态。

当仅有荷载与抗力两个基本变量时，承载力极限状态函数的几何意义如图1所 示 （ 为 一 直线）；当有多个基本变量时 （如钢管强度、 几何尺寸、 节点转动刚度、 施工荷载等），则脚手架极限状态函数几何意义变为空间曲面。

图1 结构极限状态函数的几何含义

由于抗力R 和荷载效应S 都是随机变量，在概率统计的基础上，其各自的平均值和标准差为 μR、σR、μS、σS。 荷载和抗力一般服从正态分布，定义如下联合分布值，其平均值 μZ为：

标准差为：

脚手架能完成规定功能的概率P[Z＞0]为图2 中非阴影部分面积，失效概率Pf=P[Z＞0]为影阴部分面积，两者相加有：

由于假定了变量服从正态分布，则失效概率Pf按下式计算：

式中： 椎（g）——标准正态分布函数，可查正态概率积分表。

图2 结构可靠指标β

由上式可以看出，β 与结构失效概率Pf具有一一对应的关系，因此β 与结构的可靠度具有一一对应的关系，因而β 又称为结构可靠指标。β 的含义如图2 所示。β 与Pf的对应关系如表1 所示。

表1 β 与Pf 的对应关系

例如：通过对某一钢管脚手架结构进行调查（调查范围足够大，且具有代表性），统计分析得出抗力R（钢管材料强度）、综合荷载效应S（外荷载在脚手架立杆中产生的应力）服从正态分布，平 均 值 和 标 准 差 分 别 为 μR=216.7N/mm2，σR=5N/mm2；μS=193N/mm2，σS=4N/mm2。 该结构的可靠指标及失效概率求解如下：

则有，Pf=椎（-3.7013）=0.000108=10-4，即该结构的失效概率为1/10000。

与脚手架设计有关的随机变量（架体自重、荷载、材料强度、钢管壁厚等）的数字特征（平均值、标准差、变异系数等）要通过大量的统计分析得出，并应在全国应用范围内具有代表性[7]。

实际应用中， 需调查统计脚手架结构在基准作用期内荷载（包括永久荷载如脚手架自重、混凝土和钢筋自重等；可变荷载如风荷载、施工荷载等）、截面几何性能（钢管有效壁厚、连墙件截面面积等）、材料性能（钢管钢材强度、弹性模量等）各方面的资料，然后通过现行脚手架规范的核准，即对现行脚手架规范计算公式的反演计算，找出隐含于按现行规范设计的脚手架结构中相应的可靠指标β 值。 经综合分析后，确定出今后设计中宜采用的可靠指标值，也就是目标可靠指标（即今后脚手架设计达到的结构可靠度水准）。 上述方法的实质是承认以现行脚手架规范为标准设计的结构可靠度水准。

有了目标可靠指标，就有了结构失效概率的控制标准，我国现行国家标准《建筑结构可靠度设计统一标准》（GB 50068）中各类结构的目标可靠指标如表2 所示[2]。

表2 结构构件承载能力极限状态的可靠指标β

钢管脚手架结构为塑性结构， 安全等级为一级时，β=3.7，安全等级为二级时，β=3.2。 脚手架有了目标可靠指标及荷载和抗力方面的各统计特征值，就可以进行架体结构及构件的设计。

4 脚手架结构承载力设计表达式

4.1 荷载组合设计表达式

为简便实用和照顾工程技术人员长期以来的使用习惯，工程实际中不直接按目标可靠指标进行脚手架结构设计（房屋建筑结构和桥梁结构也不直接用可靠指标进行设计）， 也不可能对每个脚手架都去进行各类参数的调查统计，而是采用传统的定值单一系数或分项系数设计表达式。 其中基本变量（永久荷载、可变荷载、材料性能、几何特性等）仍要以标准值的形式出现。

用单一系数表达时，设计公式形如：

式中：K——综合安全系数， 通过脚手架承载能力抗力R 和综合荷载效应S 的统计分析获得。

一般选择分项系数表达式为佳，因它适应性较广，便于使结构在各种不同情况下符合目标可靠指标β 的要求，且国际趋势也多是选择多系数表达式。 目前各类脚手架规范均采用多个分项系数的表达法进行承载力设计，用分项系数表达时为：

式中，各项参数均由调查统计分析得出，其通式为

（1）由可变荷载控制的组合：

（2）由永久荷载控制的组合：

式中：γ0——结构重要性系数， 对安全等级为一级的脚手架按1.1 采用，对安全等级为二级的脚手架按1.0 采用。 脚手架的安全等级，应根据架体种类、搭设高度和所受荷载，按表3 的规定采用；γGj，γQi——分别为第j 个永久荷载和第i 个可变荷载的分项系数，按脚手架种类的不同，荷载分项系数按表4 取值；γli——可变荷载考虑设计使用年限调整系数， 对脚手架结构取 1.0；SGjk,SQik——分别为第j 个永久荷载和第i 个可变荷载的标准值效应，SGjk=CjGGjk，SQik=CQiQik；ΨCi——第i 个可变荷载效应组合系数， 风荷载组合值系数取0.6， 施工荷载及其他可变荷载组合值系数取0.7；CGj,CQi——分别为第j 个永久荷载， 第i 可变荷载在结构构件上的效应系数；Gjk，Qik——分别为第j 个永久荷载和第i 个可变荷载的标准值；γR——材料抗力分项系数；fk——材料强度标准值；ak——脚手架材料、构配件、结构的几何参数标准值。

表3 脚手架的安全等级

表4 荷载分项系数

4.2 设计表达式说明

目前的脚手架设计规范均规定架体设计应采用以概率论为基础的极限状态设计法，用分项系数的设计表达式进行计算。 但分项系数表达式与架体结构的安全系数之间存在一定的对应关系。 按照传统工程习惯，工程技术人员习惯于把控结构的安全系数。 仅考虑脚手架永久荷载与施工荷载，将承载力表达为立杆稳定系数φ 和立杆钢管截面面积A 的函数，将永久荷载与可变荷载加权平均为综合分项系数γu，并引入材料强度附加系数γ'm，此时将式（10）变形表达为：

由此得到整体安全系数K 表达式为：

式中：γu——荷载分项系数加权平均值，取为1.254（由可变荷载起控制作用的荷载基本组合）、1.363（由永久荷载起控制使用的荷载基本组合）；γR——材料抗力分项系数；对于钢管脚手架应按现行国家标准《冷弯薄壁型钢结构技术规范》（GB 50018）的规定取1.165；γ'm——材料强度附加系数。 承载力取1.05，作业脚手架稳定承载力取1.40，支撑脚手架稳定承载力及新研制的脚手架稳定承载力取1.50。

当架体结构重要性系数γ0取下限1.0， 并考虑由可变荷载起控制作用的荷载基本组合工况时，得到架体整体安全系数为：

模板支撑架最低安全系数：K=1.0×1.254×1.165×1.5=2.2；

作业脚手架最低安全系数：K=1.0×1.254×1.165×1.4=2.05。

值得一提的是， 材料抗力分项系数材料γ'm不直接出现在设计表达式中，而是在立杆计算长度计算公式中引入附加系数k（与架体高度正相关）进行隐式体现。各种分项系数和附加系数的引入在形式上基于概率论的极限状态设计法， 与传统的基于安全系数的容许应立法有一定的安全系数对应关系。 但安全系数K 的含义却有本质上的不同， 容许应力法中的单一安全系数K 是以工程实践经验为基础而定的，带有主观性，且无法反应特定的极限状态， 而极限状态法中所隐含的整体安全系数K 是以概率统计为根据而制定的，与可靠指标具有一一对应关系，因此更符合设计中各变量的客观实际，用分项系数表达时，比单一系数更佳。

5 结论

综上所述， 现行规范中钢管脚手架的承载力设计虽然在形式上采取了多分项系数表达法，但采用了概率极限状态设计法的理念，应从如下方面认识到其原理：

（1） 脚手架规范虽实质上采用概率极限状态设计法，而形式上按以往容许应力法中采用的经验安全系数校准结构安全度，虽形式上基本相同，但安全系数K 的含义却有本质上的不同，其综合安全系数是以概率统计为根据而制定的，更符合设计中各变量的客观实际。 用分项系数表达时，相比单一系数，更能体现荷载和抗力的多重变异性影响因素。

（2） 采用分项系数表达的承载力设计式可转换为单一安全系数法进行表达，但这个单一安全系数K（或分项系数）是建立在概率论的基础上的，是由结构的可靠度的概率定义产生的，有其对应的目标可靠指标，有明确、具体的物理意义，也使结构设计的安全度有了一致的衡量标准，能体现结构不同的受力状态，而容许应力法中的单一安全系数K 的涵义不明确。

（3） 基于概率论的极限状态法充分考虑了脚手架结构荷载效应与架体抗力的变异性，使设计的脚手架结构更加合理，所给出的可靠性指标能够科学地协调脚手架的使用安全性和经济性之间的矛盾，并可使同类架体结构在不同荷载情况下具有较佳的安全度一致性。

（4） 概率极限状态设计法给出了结构极限状态的确切定义，把极限状态作为结构安全和失效的界限，并且与计算承载力的相关系数相关联（如高度影响系数k 等），体系完善，更能与永久结构的计算理论相一致。