编码协作系统基于最大公约数定理的QC-RA码联合构造

付勇峰，张顺外

（南京邮电大学 通信与信息工程学院，江苏，南京 210003）

低密度奇偶校验（Low Density Parity Check，LDPC）[1-3]码具有接近香农限的译码性能，准循环LDPC （Quasi-Cyclic LDPC，QC-LDPC）码是一类结构化的LDPC码，其不仅具有LDPC码的所有优点，对应的校验矩阵还具有准循环移位特性，大大降低了编码复杂度和存储资源消耗。Tanner图中的环对QC-LDPC码译码性能有极大影响，尤其当存在围长为girth-4和girth-6的短环时，对其性能具有较大的负面影响。因此，消除girth-4和girth-6的短环，构造出大围长QC-LDPC码，是提升QC-LDPC译码性能的有效手段。文献[4]提出一种短环搜索和消除方法，但其实现复杂度过高。为避免由于搜索带来的复杂度过高问题，可以通过代数理论、组合设计等确定性方法构造出没有短环的QC-LDPC码。文献[5]通过等差数列构造了无girth-4和girth-6短环的QC-LDPC码，该构造方法简单，节省编解码存储空间，但列重取值不灵活。文献[6]提出了一种显式框架构造围长至少为girth-8的QC-LDPC，该框架提供了一个系统化的方法构造QC-LDPC码，构造方法非常灵活，通过修改参数，可以得到不同的码长与码率。文献[7]用Sidon序列构造了围长为girth-8的Type-II型的QC-LDPC码，该构造方法构造的QCLDPC码具有非常好的性能，此外还提出了一种不使用Sidon序列的显示构造方法构造QC-LDPC码，得到的QC-LDPC码不仅具有高度结构化的奇偶校验矩阵，并且其子块大小非常灵活。文献[8]通过有限几何形状和搜索算法相结合的方法构造QCLDPC码，该算法具有较低的复杂度且速度快。文献[9]提出基于最大公约数定理构造QC-LDPC码，该方法消除了girth-4、girth-6环，且码率取值灵活，译码性能较好。重复累积（Repeat Accumulate，RA）码[10]是一类具有特殊结构的LDPC码，能实现差分编码且为系统码。借鉴QC-LDPC码的准循环结构，本文研究准循环RA（Quasi-Cyclic RA，QC-RA）码的构造及其在编码协作系统中的应用。

编码协作[11-12]由于结合了信道编码技术和协作技术，能同时获得编码增益与分集增益，是实现高可靠通信的有效方式之一。文献[13]提出了一种基于比特交织编码调制的编码协作，分析了其成对错误概率，并证明了该编码协作方式在准静态衰落信道下可以实现全分集增益。文献[14]对编码协作系统性能进行了理论分析，表明在保持相同信息传输速率、发射功率和带宽情况下，与点对点系统相比，编码协作能获取巨大的性能增益。文献[15]研究了基于Polar码的编码协作，提出了基于Plotkin的Polar码联合构造方法。文献[16]提出了一种采用QC-LDPC的编码协作，推导了信源节点与中继节点所采用QC-LDPC码对应的联合校验矩阵，并消除了其所有的短环。文献[17]研究了采用RA码的多信源编码协作，并通过仿真研究了该协作方式的编码增益和分集度，但是，其并没有对RA码进行构造设计以进一步提升其性能。

鉴于QC-RA码的优点，本文对QC-RA码的构造以及在编码协作系统中的应用展开研究。首先，受最大公约数定理构造QC-LDPC码方法的启发，将最大公约数构造方法用于构造QC-RA码；然后，进一步基于GCD定理联合构造编码协作系统信源节点与中继节点采用的QC-RA码，并从理论上证明基于该联合构造方法得到的编码协作系统QC-RA码无girth-4、girth-6环；最后，对采用联合构造QC-RA码的编码系统性能进行了数值仿真。

1 多信源多中继编码协作系统

采用QC-RA码的多信源多中继编码协作系统如图1所示，其由K个信源节点、W个中继节点和一个目的节点组成。信源节点Sk（k＝1，…，K）将信源比特编码生成码字ck（k＝1，…，K），利用时分多址（Time Division Multiple Access TDMA）技术，将编码生成的码字ck分别发送给中继节点Rw（w＝1，…，W）和目的节点D。中继节点Rw收到K路来自不同信源节点的信号，将其进行译码，得到K路原始码字，将得到的所有码字级联进行重新编码，最后通过TDMA技术，将级联编码后生成的码字中的校验位pw（w＝1，…，W）发送至目的节点D。目的节点D接收到K路来自不同信源节点和W路来至不同中继节点的信号后，采用联合最小和（Minimum-Sum，MS）迭代译码算法[16]对K＋W路信号进行译码。

图1 QC-RA码的多信源多中继编码协作系统

2 编码协作系统QC-RA码的联合构造

本节首先提出基于最大公约数定理构造QCRA码，并将其运用于多信源多中继的编码协作系统；进一步推导出整个编码协作系统的联合校验矩阵，同时从理论上证明通过最大公约数定理构造的联合校验矩阵无girth-4、girth-6环。

2．1 QC-RA 码

QC-RA码是一种特殊结构的QC-LDPC码，其校验矩阵由两部分组成，一部分是准循环移位矩阵，另一部分是准对角矩阵，其表达式为

其中，pi，j表示右循环移位值，I（pi，j） 由单位矩阵循环右移位pi，j得到，D为准对角矩阵。

2．2 多信源多中继协作的编码实现

信源节点将信息比特编码生成码字发送给中继节点和目的节点，中继节点对收到的码字进行译码得到信息比特，之后再进行编码，将编码得到的校验比特发送至目的节点，目的节点对来自信源节点和中继节点的码字联合译码，具体参考文献[9]。 假定信源节点Sk（k＝1，…，K） 采用的QC-RA-Sk对应的校验矩阵为， 中继节点Rw（w＝1，…，W） 采用的QC-RA-Rw对应的校验矩阵为，得到对应于整个编码协作系统的联合校验矩阵为

2．3 基于最大公约数定理构造QC-RA码

首先，基于最大公约数构造 QC-LDPC码[9]。构造列重dv＝J、行重dc＝L的规则QC-LDPC码，其校验矩阵可表示为

其中，I（aj·l）（j＝0，1，…，J-1；l＝0，1，…，L-1）表示的是大小为B×B的单位矩阵向右循环移位aj·l。 系数0≤a0＜a1＜…＜aJ-1可通过最大公约数定理[9]得到。

得到QC-LDPC的校验矩阵之后，取其奇数列子块得到校验矩阵为

其中，L′为偶数，其满足如下表达式

用指数矩阵E（H′）表示H′的循环移位值，有

例：J＝8，L取任意值，构造QC-RA码。

首先根据最大公约数定理可以得到满足条件的 ｛a0，a1，…，a7｝＝｛0，1，L，L＋1，L2，L2＋1，L2＋L，L2＋L＋1｝，循环移位矩阵的大小B≥（L2＋L＋1）（L-1）＋1，得到对应的指数矩阵为

构造出QC-LDPC码的校验矩阵H′之后，在其右侧拼接准对角结构矩阵，可得QC-RA码的校验矩阵为

2．4 基于最大公约数定理的联合校验矩阵构造

将基于最大公约数定理的QC-RA码构造方法进一步运用于多信源多中继的编码协作系统中，对各个信源节点和各个中继节点所采用的QC-RA码进行联合构造，即对整个协作系统的校验矩阵进行联合设计，消除其所有girth-4和girth-6环。为方便说明，将看成准循环结构HQC与准对角结构HQD两部分，这并不影响其环长特性，其表达式结构为

其中，HQC是H′QC通过掩码技术[16]得到。H′QC结构为

H′QC通过上述的基于最大公约数构造得到，由文献[18]知其内部不存在 girth-4和 girth-6环，而HQC是通过掩码技术用相同大小的零矩阵替换H′QC中的Xm，n得到，故此HQC不存在 girth-4和girth-6环。HQD是一个准对角结构，显然其内部不存在girth-4和girth-6环。而为了保证联合校验矩阵不存在 girth-4和girth-6环，只需要准循环结构HQC与准对角结构HQD之间不存在girth-4和girth-6环即可，这就相当于要保证基于最大公约数定理的QC-RA码的准对角部分与准循环部分之间不存在girth-4和girth-6环，下面分别通过定理证明。

定理1：准对角部分HQD与准循环部分HQC之间不存在girth-4环。

证明：由于0≤a0＜a1＜…＜aJ-1，0＜pj＋1，lpj，l＜B-1， 故pj，l-pj＋1，l≠ 1modB， 由文献[18]知HQC、HQD之间不存在girth-4环（证毕）。

定理2：准对角部分HQD与准循环部分HQC之间不存在girth-6环。

证明：其可能构成的 girth-6环有如下 4种情形。

（1）对于图2（a）所示情形，其满足

图2 准循环部分与准对角部分的6环情形

又pi2，j2-pi2，j1≥pi1，j2-pi1，j1＋2，即（pi2，j2-1-pi1，j2）＋（pi1，j1-pi2，j1） ≠0modB， 因此图2（a）所示情形不存在。

（2）对于图2（b）所示情形，其满足

又pi2，j2-pi2，j1≥pi1，j2-pi1，j1＋2，即（pi2，j2-pi1，j2-1）＋（pi1，j1-pi2，j1）≠0modB， 因此图2（b）所示情形不存在。

（3）对于图2（c）所示情形，其满足

又pi2，j2-pi2，j1≥pi1，j2-pi1，j1＋2， 即 （pi2，j2＋1-pi1，j2）＋（pi1，j1-pi2，j1） ≠0modB， 因此图2（c）所示情形不存在。

（4）对于图2（d）所示情形，其满足

又pi2，j2-pi2，j1≥pi1，j2-pi1，j1＋2， 即 （pi2，j2-pi1，j2＋1）＋（pi1，j1-pi2，j1） ≠0modB， 因此图2（d）所示情形不存在。

综合上述4种情形，准对角部分HQD与准循环部分HQC之间不存在girth-6环（证毕）。

3 系统性能仿真分析

本节中通过仿真研究多信源多中继编码协作系统采用联合构造QC-RA码的误码率（Bit Error Rate，BER）性能。采用二进制相移键控（Binary Phase Shift Keying，BPSK）调制，目的节点采用联合MS迭代译码算法进行译码，Sk-D（k＝1，…，K）和Rw-D（w＝1，…，W）信道是相互独立的瑞利块衰落信道，每个信道的衰落系数在一个码字上保持恒定，各个信道的平均接收信噪比相等。

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3．1 采用联合构造QC-RA码的编码协作系统与点对点系统BER比较

为研究采用基于联合构造的QC-RA码的多信源多中继编码协作系统的BER性能，对双信源双中继编码协作系统进行数值仿真，其各个节点所采用的QC-RA码如表1所示。

表1 双信源双中继编码协作及对应点对点系统各个节点所采用的QC-RA码

图3在不同迭代次数的情况下，对双信源双中继编码协作系统与等效点对点系统的BER性能进行了比较。由图3可知，在同等条件下，双信源双中继编码协作系统的性能明显优于点对点系统。如在迭代10次的情况下，当BER＝2×10-3时，双信源双中继的编码协作相对于点对点系统具有约5 dB的增益。这增益是由于：来自信源节点和中继节点的4路信号经历独立的衰落信道，最后又通过联合MS迭代译码算法进行联合译码，获得了空间分集增益。

图3 双信源双中继编码协作系统与点对点系统的BER比较

3．2 采用联合构造QC-RA码的编码协作系统在不同节点数目下的BER比较

通过数值仿真研究采用联合构造QC-RA码的多信源多中继编码协作系统在不同信源节点和中继节点数目下的BER性能。具体通过双信源双中继、单信源双中继和双信源单中继3个编码协作系统来研究，其信源节点和中继节点所采用的QC-RA码如表2所示。

表2 信源节点数不同及中继节点数不同情况下所采用的QC-RA码

图4在相同迭代次数下，对双信源双中继、双信源单中继和单信源双中继3个编码协作系统进行了BER性能比较。由图4可知，在相同条件下，随着信源节点数的增加，编码协作系统的BER性能变差；如在迭代10次的情况下，当BER＝10-3时，单信源双中继编码协作系统较双信源双中继编码协作系统约有4 dB增益，这些增益主要归因于信源节点数的增加导致协作系统所采用的QC-RA码的等效码率增大。同时，通过仿真结果还可得知，在相同条件下，随着中继节点数的增加，编码协作系统的BER性能越好；如在迭代10次的情况下，当BER＝10-3时，双信源双中继编码协作系统较双信源单中继编码协作系统约有3 dB增益，这些增益是由于中继节点数的增加，使得目的节点处的校验比特数增加，从而导致协作系统所采用的QC-RA码的等效码率变小，编码增益提升。

图4 编码协作系统在不同信源节点数和不同中继节点数目下的BER比较

3．3 基于最大公约数定理方法与大列重方法的联合构造QC-RA码的BER比较

将本文中提到的构造方法与基于大列重构造[19]QC-RA码在单信源单中继的编码协作中进行仿真比较，其信源节点和中继节点所采用的QC-RA码如表3所示。

表3 基于最大公约数定理与大列重的联合构造编码协作系统各节点采用的QC-RA码

在相同条件下，仿真比较基于最大公约数定理联合构造的QC-RA码和基于大列重联合构造的QC-RA码的BER性能。图5表明基于最大公约数定理联合构造的QC-RA码性能优于大列重联合构造的QC-RA码。如在BER＝10-2、迭代10次的情况下，前者有约2 dB的性能优势，这主要是由于大列重构造的QC-RA码没有消除编码协作系统中所有的girth-4和girth-6环。

图5 基于最大公约数定理构造与大列重构造的联合构造QC-RA码的BER比较

3．4 基于最大公约数定理方法联合构造QC-RA码与QC-LDPC码的BER比较

将本文中联合构造的QC-RA码与文献[16]构造的QC-LDPC码在双信源双中继的编码协作中进行仿真比较。文献[16]构造的QC-LDPC码的校验矩阵由准循环矩阵和单位矩阵拼接而成。对采用联合构造QC-RA码的编码协作系统而言，信源节点与中继节点所采用的QC-RA码如表2所示，对于采用联合设计QC-LDPC码的编码协作而言，信源节点与中继节点所采用的QC-LDPC码如表4所示。

表4 编码协作系统各节点采用的QC-LDPC码

采用本文联合构造的QC-RA码与采用文献[16]方法联合设计的QC-LDPC码的 BER性能比较如图6所示。仿真结果表明当达到一定信噪比之后，本文中联合构造的QC-RA码的BER性能优于文献[16]中构造的QC-LDPC码。如在BER＝10-4、迭代10次的情况下，前者有约2.5 dB的性能优势。这是由于QC-LDPC码的校验矩阵中单位矩阵对应的校验比特只参与了一个校验方程，而QC-RA码的校验矩阵中准对角矩阵对应的校验比特参与了两个校验方程，使得QC-RA码的错误平层相对较低。

图6 基于最大公约数定理联合构造的QC-RA码与QC-LDPC码的BER比较

3．5 调制方式与天线数目对采用联合构造QC-RA码的编码协作系统BER的影响

研究调制方式、目的节点天线数目对采用联合构造QC-RA码的编码协作系统的BER影响。双信源双中继编码协作系统各个节点所采用的QC-RA码如表1所示。

在双信源双中继编码协作系统分别采用BPSK和正交相移键控（Quadrature Phase Shift Keying，QPSK）两种调试方式下，对目的节点配置天线数目L＝1、2、3时进行了数值仿真。图7表明，在相同调制方式下，系统的BER性能随着天线数的增加而提升；如系统采用BPSK调制，在BER＝10-3时，3根天线相对于2根天线约有3.5 dB的增益，这些增益是由于天线的增多使得系统获得的分集增益增大。仿真结果还表明，在同等条件下，采用BPSK调制方式的系统BER性能优于采用QPSK调制方式的系统；如BER＝10-4时，采用 BPSK的系统 SNR＝3 dB，采用QPSK调制的系统SNR＝4.5 dB。这是因为在编码协作系统中，QPSK提升信息传输速率是以降低信息传输可靠性为代价。

图7 编码协作系统采用不同调制方式分别在1、2、3根天线下的BER比较

4 结束语

本文在基于最大公约数定理构造QC-LDPC码的基础上，研究了基于最大公约数定理构造QC-RA码；进一步将该构造方法运用到编码协作系统QCRA的联合构造，并从理论上证明了联合构造的QCRA码无girth-4、girth-6环；最后，通过数值仿真分析了编码协作系统采用该联合构造的QC-RA码的BER性能。由仿真结果可知，多信源多中继编码协作系统的BER性能随着信源节点数目的增加而降低，随着中继节点数目的增加而提升；在相同条件下，采用最大公约数定理联合构造的QC-RA码的编码协作系统性能优于采用大列重构造的QC-RA码的编码协作系统；仿真结果同时表明，随着目的节点接收天线数目的增加，系统的BER性能得到极大提升。