基于直观想象下的典题品鉴，曲异同工

胡海杰

直观想象是发现和提出问题、分析问题和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础。解题是提升直观想象的一种渠道。波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。“更高更妙”的数学思想与方法要在解题中探究和总结，在我们日常的数学解题中，一些数学问题用常规方法去解费时费力，而利用“同构”思想能够起到化繁为简，出奇制胜的效果，直观想象能力也得到了锻炼。

同构思想是指左右形式相当，一边一个变量，取左或者取右，构造函数，或者是除变量不同，其余结构均相同，从中抽象出一般性的数学问题，进而加以解决。

【典题品鉴】

一、等式类同构

例1 （2015天津十二校联考）设，满足，则的值为（ ）

A.0 B.2 C.4 D.6

分析：因为

所以

观察上下兩个式子左边结构相同，故可构造函数，问题就转化为两个不同自变量对应的函数值相反，这时应该联想到函数的单调性与奇偶性。显然函数单调递增，且是奇函数，故.