数学启蒙活动

郭澄东

数学教育家波利亚说：“数学有两个侧面，一方面是欧几里德式的严谨学科，但是另一方面，在创造过程中的数学更象一门实验性的学科”，实际上，实验教学是对传统数学的教学的发展和充实，在培养学生动手能力、探究能力、创新意识等方面，实验教学有着其它传统教学手段无法实现的功效。而折纸是学生最熟悉的游戏之一。利用折纸可以做成许许多多我们熟悉的几何图形。可以说是一种数学启蒙活动。

下面就谈一谈如何用矩形纸片折一些常见的几何图形。

一、折正方形

找一张长方形纸片ABCD

（1）把纸片折一个角，使DA边落在DC上，折痕为DE，如图（1）

（2）过点E将ABCD对折，折痕为EA/，得正方形ADA/E，如图（2）

证明：由折叠知 ，

又∵ ， 。

二、折正三角形

找一张矩形纸片ABCD

（1）先把矩形ABCD对折，使BC边与AD边重合。折痕为MN，如图（3）

（2）把纸片折一个角，使B点落在折痕MN上，折痕为AE，如图（4）

（3）把梯形纸片AECD沿EB线折叠，折痕为EF，如图（5），则△EAF为正三角形。

证明：由折叠知BC∥MN∥AD，Rt△ABE≌Rt△AB/E，∴∠1=∠3

由平行线等分线段定理，∵CN=DN，∴EB/=FB/

∴Rt△AEB/≌Rt△AFB/（SAS），∴AE=AF，∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠3

∴∠1=∠2=∠3=30°∴∠EAF=60°，又∵AE=AF，

∴△EAF为正三角形。

三、折正六邊形

找一张正三角形纸片△ABC

（1）先把正三角形△ABC对折，使点B，C重合，折痕为AD，展开后再对折，使点A和点C重合，折痕为BE，两折痕的交点为O

（2）折叠∠A，使点A与点O重合，折痕为FK，

（3）折叠∠B，使点B与点O重合，折痕为GH，

（4）折叠∠C，使点C与点O重合，折痕为IJ，则六边形FGHIJK为正六边形。

证明：由作图知，O为△ABC的重心，

假设 AB=AC=BC=a，则 ，

由折叠知 ，△AFK为等边三角形。

易证： ，同理

所以六边形FGHIJK为正六边形。

四、折黄金矩形

黄金矩形就是长宽比为 的矩形，它在建筑上、美学上有很多的应用。

找一张矩形纸片ABCD

（1）把纸片折一个角，使DA边落在DC上，折痕为DE，如图（8）

（2）过点E把ABCD对折，得正方形ADFE，折痕为EF，如图（9）

（3）把正方形ADFE沿EB线折叠，使AD与EF重合，折痕为GH，如图（10）

（4）把矩形HCBG折一个角，使HC过E点，HC与E点重合的点记为J，如图（11）

（5）过点J对折矩形，折痕为IJ，如图（12），

则矩形AIJD是一个黄金矩形。

证明：正方形ADFE中，设 ，由折叠知

图（11）中，

矩形ADJI中，

∴矩形AIJD是一个黄金矩形。

五、折黄金三角形

黄金三角形是指底腰比为 的等腰三角形，它在建筑上和美学上有着重要和广泛的应用。

找一张黄金矩形纸片ABCD

（1）将AB翻折，使点A落在BC边上A/处，折痕为BG，

（2）将矩形A/GDC对折，折痕为EF，

（3）把矩形ABCD对折一个角，使点C恰好落在折痕EF上的点C/处，折痕为BH，则△BCC/为黄金三角形。如图（13）

证明：设

∵ABCD为黄金矩形，

，（13）

，

∽ ，

，即△BCC/为黄金三角形。

通过折纸游戏，让学生在思考中，在想象中，在表演中，在动手中，在观察中感到数学的无处不在，感到数学的奇妙无穷，唤起他们潜在的好奇心与学习探究渴望，更为重要的是，让数学的抽象概念与学生的经验做如此的连续链接，调动学生潜在的经验性理解，这有助于学生在今后的学习中更好地，更深刻地理解概念。