数学美，培养学生直觉思维的法宝

陆莉婷

[摘  要] 直觉思维对创造力的形成与发展具有举足轻重的作用. 文章从数学美与直觉思维的关系为出发点，认为直觉思维具备简单性、直接性，跳跃性、整体性，或然性、创造性等特点，并提出利用数学美培养直觉思维的方法：以整体之美激发直觉思维，以模型之美诱导直觉思维，以解题之美拓展直觉思维.

[关键词] 数学美;直觉思维;模型;解题

众所周知，学生数学思维的形成与发展离不开直觉思维与逻辑思维的培养. 纵观当下的高中数学课堂，教师对学生逻辑思维的培养意识较强，但对直觉思维的培养意识比较淡薄，甚至有部分教师认为直觉思维的培养是小学教师的任务，而高中教师主要是帮助学生获得严谨的逻辑思维.

其实，这种认识过于片面. 对于学生而言，任何阶段的直觉思维与逻辑思维一样重要. 实践证明，直觉思维是很多新发现的关键，而数学美对直觉思维的形成与发展具有直接的影响. 因此，教师应转变陈旧的观念，以数学美为着手点，培养学生对数学的直观感觉，以形成良好的解题思维与创新意识.

数学美与直觉思维的关系

法国数学家庞加莱提出：“数学证明的工具是逻辑思维，而数学的创造与发明往往源自美的直觉.”由此可见，作为学生不仅要有良好的数学美的鉴赏力，还要能利用这种鉴赏力启迪直觉思维，发现新的方法与领域，为创新意识的形成奠定基础. 因此，数学美对直觉思维的形成具有显著的促进作用，而直觉思维对解题能力的发展又具有导向作用.

学生在数学学习时，首先对数与形产生直观的认识，在此认识的基础上结合原有的认知结构唤起思维对美的品鉴，从而形成直觉思维. 因此，直觉思维的核心就是在产生美感的基础上形成的一种感知. 学习中，学生时常会产生一些美感或数学直觉的灵感，这些美感或灵感对于学生解题与形成数学观具有重要作用.

直觉思维的特点

1. 简单性、直接性

简单性、直接性是直觉思维的核心特征. 遇到问题时，直觉思维与逻辑思维的表现完全不同. 在直觉思维的引导下，学生无须琢磨、推理或思考，可直接、迅速越级获得明确的结论或判断;而在逻辑推理的引导下，学生的思维会经历由简单到复杂的过程，在思维拾级而上中，需经过分析与研究才能获得问题的结论或判断. 当然，这种简单性、直接性的特征源自学生大脑中原有的信息，是经验的体现.

2. 跳跃性、整体性

直觉思维的跳跃性主要表现在学生面对问题时，直觉思维会将学生的思路直接导向结论，省略了中间的思维途径;而整体性主要体现在将客体看成一个整体进行直观反映时，一般反映的是客体的核心矛盾，而一些非本质性的矛盾则忽略不计.

3. 或然性、创造性

直觉思维常常带有一定的个人色彩，这与思维者的生活经验与认知水平有着密切的联系. 但每个人都是独立的个体，受生活经验与认知的影响，对事物的直觉认知也存在着差异性. 因此，直觉思维的结论不一定是准确的，还需进行实践性的检验. 虽然直角思维具有或然性，但正是这种非逻辑性给思维者的认知提供了更广阔的空间，从而出现了反常规的创造力.

尹恩·斯图认为：“直觉是科学家赖以生存的东西.”可见，直觉思维与世间万物一样具有两面性：或然性的局限导致一些失败的产生，而简单性、直接性等特性又为创造性的产生提供了基础. 因此，我们以直觉思维获得结论时，可借助于逻辑思维加以验证，双管齐下才能使数学思维更上一个台阶.

培养直觉思维的具体方法

1. 以整体之美激发直觉思维

我们都有这样的体验：遇到解题障碍时，换一种思路去考虑问题，譬如用整体代入法解题，会让问题变得简单. 从这点可以看出，解题要善于把握问题的关键点，遇到障碍时需换个角度进行思考，把题设中的条件与结论视为一个整体，或探寻问题的内部联系与本质. 如此，能有效地激发学生产生良好的直觉思维.

例1：设双曲线-y2=1的两个焦点分别为F与F，P为双曲线上的一点，且∠FPF=90°，那么△FPF的面积是多少？

分析：由题意可知，△FPF的面积为S=FP·FP，FP-FP=4①，PF+PF=20②.根据上式获得FP与FP的值比较烦琐. 其实，我们只需要求FP·FP这个整体的值，就能解决问题. 因此，由上式求②-①2，可得FP·FP=2. 所以S=FP·FP=1.

本题若从常规路径去解答——分别求FP与FP的值，则过程冗长繁杂. 若从问题的结论出发，寻找结论与条件之间的内在联系，则会发现分别求FP与FP的值的目的在于獲得FP·FP这个整体的值. 因此，我们可转变解题思路，以这个整体值作为思考的方向，解题过程变得简洁明了. 因此，通过对问题的整体观察，不仅能优化运算过程，提高解题效率，还能激发学生形成良好的直觉思维，为解题技巧的形成奠定基础.

2. 以模型之美诱导直觉思维

波利亚曾经说过：“模型具有解决数学问题的魔力，具有震撼人心之美感.”[1]实践证明，数学建模不仅能体现学生的数学实际应用能力，还能诱导学生产生直觉思维. 在模型的引领下，学生能从题设条件中快速找到问题的本质，使得解题化繁为简，提高正确率.

例2：点P为球O上的一点，过点P作三棱锥P-ABC，使得AP，BP，CP之间呈两两垂直的关系，同时点A，B，C都在球面上，若设AP，BP，CP的长度分别是a，b，c，求球O的表面积.

分析：看到本题，学生若将目光停留在三棱锥的几何图形上，并以此作为解题的切入点，解决此题的难度偏大. 倘若换一个角度，将目光转移到球的对称性上，问题就简单了许多. 学生可将此三棱锥补形成一个长方体，长、宽、高分别为a，b，c，那么该长方体的对角线就是球O的直径R. 由此可知a2+b2+c2=R2，因此S=4π·2=π（a2+b2+c2）.

这种解题方法用辅助线将问题中遇到的非特殊图形或不规则图形，变为特殊图形或规则图形，以凸显问题的隐含条件，使得问题变得更简单. 在此过程中，体现出了模型之美对直觉思维的形成具有明显的诱导作用. 学生在模型美与直觉思维的形成与发展中，能获得良好的解题能力[2].

3. 以解题之美拓宽直觉思维

數学问题的提出，并不在于考查学生对一个知识点的掌握程度，而是考查学生对一类知识与技能的掌握情况[3]. 为了考查学生的应用能力，常常会出现“一题多解”或“一解多题”等问题，以考查学生视野的开阔程度与发散思维的发展情况. 如此灵活多变的解题之美，也为直觉思维的形成奠定了基础，使得学生在灵活的思路中更具创造力.

例3：证明：点A（1，5），B（0，2），C（2，8）共线.

证法1：先求出过点A，B，C中任意两点的直线方程，如果第三点也在这条直线上，就能证明A，B，C三点共线.

根据A，B两点的坐标，先求出它们所在的直线方程为3x-y+2=0，再将点C代入该直线方程，发现点C（2，8）满足A，B两点所构成的直线方程，由此可确定点C在该直线上，所以A，B，C三点共线.

证法2：斜率相等的两条直线过同一点，那么它们必定是重合的关系，由这个性质也可证明A，B，C三点共线. （证明过程略）

证法3：A，B，C三点组成的线段有三条，假如其中有两条线段的长度加起来与第三条线段相等，那么就能确定这三条线段无法组成一个三角形，由此可证明这三点共线. （证明过程略）

证法4：利用向量，共线的方式，亦可证明A，B，C三点共线. （证明过程略）

从本题的4种证法来看，知识并不是独立存在的. 各单元之间的知识不仅具有一定的内在联系，还具有明显的系统性. 解决问题时，能使学生从不同的角度寻找不同的解题方法，这需要教师在日常教学中，有意识地训练学生的思维能力，鼓励学生从不同视角看待与分析问题，拓展直觉思维.

总之，直觉思维的形成与发展需经历一个漫长的过程. 教师应带领学生在学习中发现数学美，鼓励学生从不同视角、多层次去感知数学中存在的艺术美，以提高自身的品鉴能力，为直觉思维的形成奠定坚实的基础.

参考文献：

[1]  乔治·波利亚.数学的发现（第一卷）[M]. 欧阳绛译. 北京：科学出版社，1985.

[2]  曹建华. 数学模型之美[J]. 吉林教育，2012（11）.

[3]  任旭，夏小刚. 问题情境的创设：基于思维发展的理解[J]. 数学教育学报，2017，26（04）.