落球法测定液体粘滞系数的实验修正探讨

2021-03-21罗钧洋韦帅兵李晨浩陈余行

科技创新导报 2021年29期

罗钧洋韦帅兵李晨浩陈余行

摘要：利用落球法来测量出不同直径金属小球在蓖麻油中匀速运动一段距离所需的时间及速度，从而计算出蓖麻油的粘滞系数，并通过测定的粘滞系数计算得到雷诺数Re，进而对蓖麻油的粘滞系数分别进行一级修正和二级修正，并将修正结果进行分析比较，找到最适合实验教学的数据改进处理方法，并进一步分析探讨了雷诺数与小球直径的关系。

关键词：落球法蓖麻油雷诺数修正粘滞系数

Discussion on Experimental Correction of Measuring Liquid Viscosity Coefficient by Falling Ball Method

LUO Junyang WEI Shuaibing LI Chenhao CHEN Yuhang

（School of Mathematics and Statistics， Shanghai University of Engineering and Science， Shanghai， 201620 China）

Abstract： Falling ball method is used to measure the time and speed required for small metal balls with different diameters to move at a uniform speed for a certain distance in castor oil， so as to calculate the viscosity coefficient of castor oil， calculate the Reynolds number re through the measured viscosity coefficient. The Reynolds number Re is calculated through the measured viscosity coefficient， and then the viscosity coefficient of castor oil is corrected at the first level and the second level respectively. The correction results are analyzed and compared to find the most suitable data improvement processing method for experimental teaching， and the relationship between Reynolds number and small ball diameter is further analyzed and discussed.

Key Words： Falling ball method; Castor oil; Reynolds number; Correction; Viscous coefficient

粘滞性是流体的一种重要的物理属性，物理学中用粘滞系数来表示其大小，粘滞系数在生产、生活及工程技术等各个方面都有着重要的应用。测量液体粘滞系数的方法较多，如落球法、转筒法、毛细管法等，其中落球法是最常用的一种方法，该方法具有物理现象明显，概念清晰，原理简单易说明，实验操作便捷等优点，因此，落球法测液体粘滞系数实验在理工科高校中基础物理实验课程被普遍开设。在该实验中，学生可以通过观察液体的内摩擦现象，掌握液体粘滞系数的测量方法并了解流体粘滞系数的测量在现实生产生活应用中的重要意义^[1-3]。然而，由于现实条件与实验原理要求的理想条件有较大差距，导致简单的落球法测量结果往往有较大误差，因此，课程中有必要对实验结果进行一定的修正^[4-10]，且这种修正必须原理清晰，操作上简洁易行，不至于影响实验课程的順利进行。

本文利用落球法测量多个尺寸金属小球在蓖麻油中匀速下落相同距离所需时间及速度，计算出蓖麻油的粘滞系数，利用其粘滞系数计算雷诺数，利用雷诺数对粘滞系数分别进行一级和二级修正，旨在找到最适合实验课程的的数据处理方法，使学生能够在课堂上掌握液体粘滞系数的测量方法的基础上，可以进一步了解雷诺数和斯托克斯公式的修正。

1实验原理

3个力：小球所受浮力F = ρgV（V为小球体积，ρ为液体密度）、小球重力 G = mg（m 为小球质量）和粘滞阻力 F。若小球在蓖麻油中运动速度和球的半径都很小，且蓖麻油是无限广阔的，则粘滞阻力可由斯托克斯公式导出：

F = 6πηvr （1）

式中，v是小球的下落速度，r 为小球的半径，η为液体的粘滞系数，单位是Pa·s。

开始时由于小球下落速度较小，因此粘滞力不大，小球加速运动，其运动速度不断增大，粘滞力也随之增大。在某一时刻，小球所受浮力、粘滞力与重力达到平衡，即：

mg = ρgV + 6πηvr （2）

于是小球开始匀速运动。匀速运动时，小球的运动速度 v 可以由其运动距离L和运动所需时间t得出，代入上式可得：

由于实验时蓖麻油处于量筒中，故不能满足斯托克斯公式所要求的液体无限广阔的条件，因而应将小球运动速度修正为：

式中，η'表示考虑到此种修正后的粘滞系数。因此，在各力平衡并修正液体边界影响后可得：

2 实验过程

2.1 实验器材

实验架、水平仪、量筒、秒表、蓖麻油、钢球导管、温度计、直径分别为1mm、1.5mm、2mm、2.5mm、3mm、3.5mm的小钢球。

2.2实验步骤

（1）利用水平仪，调整实验架至底盘水平，在实验架底盘的中央位置放置盛有蓖麻油的量筒。

（2）选取各同直径的小球，通过实验架上方的钢球导管释放，当小球落入蓖麻油开始匀速下落之后选取一定距离，记录所需时间，计算出小球匀速下落时的运动速度。

（3）根据小球匀速下落时的运动速度计算蓖麻油的粘滞系数及雷诺数，分别进行一级修正和二级修正，并进行分析。

3实验数据分析

实验中各参数：温度 T=25.0℃，蓖麻油密度 ρ= 960kg/m?，小钢球 ρ'=7800kg/m?，重力加速度 g= 9.7964m/s?，实验中小球匀速运动距离L=198mm，液体整体高度 h=322mm，蓖麻油粘滞系数标准值 η0= 0.6418Pa·s，容器半径 R=32.02mm。实验数据及计算结果见表1。

（1）当金属小球直径增加时，各级修正误差百分比均呈现下降趋势，分析可知，当金属小球较小时，小球匀速运动速度较小，计算可知雷诺数也较小，因此修正效果较弱，可知此时误差较大;当小球直径增大时，小球速度也随之增大，导致雷诺数增大，因此修正效果较强，因此误差较小。

（2）对比修正后与未修正的误差百分比发现，一级修正和二级修正后的粘滞系数与标准值的误差百分比相比未修正时都变得更小了，这说明修正之后的粘滞系数更加精确。

（3）对比一级修正和二级修正之后发现，在实验条件下，二级修正后的粘滞系数与标准值的误差百分比与一级修正相比差别并不明显，但计算过程明显更加复杂，计算量也更大，因此在基础实验课程中进行二级修正的必要性不大。

根据以上分析可知，选取一级修正η1 '，误差百分比较小且实验数据分析也较为简明清晰，在一级修正下，计算出雷诺数Re，并可以绘制雷诺数与小球直径的关系图，如图1所示。

由图1可以看出，在粘滞系数不变的情况下，当小球直径增大时，雷诺数也随之增大，且增大速度加快。由Re的定义可知，Re ∝ （ d·v），由于r ? R，r ? h，因此由式（4）可知，v近似正比于小球直径的平方，因此，Re 近似正比于小球直径的三次方。对实验数据进一步分析并加以数据拟合后可知，Re=0.0073d3 ，相关系数平方R2 =0.999 64，拟合准确度较高。

4结语

实验中通过探究一级修正及二级修正对粘滞系数误差的影响，我们可以得出以下结论：

（1）小球直径越小，小球匀速运动速度越小，此时雷诺数相对较小，导致修正效果较弱，可知此时误差越大;随着小球直径增大，匀速运动速度也越大，此时雷诺数相对较大，此时修正效果明显增强，因此误差较小;

（2）在进行数据处理时，对容器壁进行修正之后，再对雷诺数进行一级修正之后可以得到更精确的粘滞系数，而二级修正之后的粘滞系数误差百分比相对于一级修正并没有明显的改善，反而增加了数据处理的难度，因此在实际课堂实验中无需采用二级修正;

（3）本次实验通过数据拟合找到了小球直径与雷诺数之间的经验公式，可作为进一步拓展学生思维的学习任务，同时培养了学生的创新能力，有助于学生更好地理解实验内容。