数学新定义问题的类型及教学实施

盛小青

摘   要

近年来“新定义问题”横空出世，成为各地中考的热点问题。立足多维视角，从各地中考新定义问题现状出发，分析新定义问题的常见类型，思考新定义问题命题和毕业升学选拔的的考察价值，剖析学生思维层面常见的共性问题，重新审视面对新定义问题应如何秉承培养学生数学学习关键能力的目标进行教学，及时总结教学经验，梳理得出可操作、可复制、可辐射的培养策略。

关键词

新定义问题  多维视角  关键能力  培养策略

近年来，新定义问题逐渐步入大众视野，成为各地中考的热点问题。新定义类型问题的共性特点是题目通过提供一段素材或介绍一个新概念，或给出一种新的解法引导学生进入问题情境，要求学生在充分阅读理解材料的基础上，通过概念理解、性质探究、问题解决等有递进顺序的学习探究方式去寻找解决未知领域问题的新方法和新路径。每一个新定义问题都是一个微型的主题研究项目，对学生的数学学习力和学科关键能力提出了很高的要求，学生必须在有限时空内经历复杂的思维碰撞，包括对新定义内容的概念理解、新知内化、方法顺应及运用新知解决实际问题。利用新定义问题进行毕业选拔和考试评价更加公平公正，能有效规避题海战术等低效的解题教学方式大行其道。新定义问题与其他题型试题考察的知识点互不干涉，独立成题，命题者还能依托自己的思考和考察目标的需要进行自创或改编，赋予新定义问题更多新、奇、特的特点和方式，彰显数学学习中思想方法和学科关键能力的价值，新定义问题具备的考察优势和价值可以有效弥补其他常规试题的弊端和不足，能更加客观公正去评价和衡量学生的学科素养，这些都成为新定义问题成为近年中考热点且还将继续发挥效用的重要原因。

一、新定义问题的类型

1.基本运算类新定义题

基本运算类新定义题是指在已有运算形式基础上引入新的运算符号或者新的运算规则，借助新的符号或者新的运算规则进行数学推理的一类问题。基本运算类新定义题要求学生能熟练运用新数学规则进行数学计算、思维、推理、验证。

例1（2020·重庆） 在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”。

定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”。

例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除;643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除。

（1）判斷312，675是否是“好数”？并说明理由;

（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由。

2.几何图形类新定义题

几何图形类新定义题是在学生已有几何图形学习的知识架构的基础上，引入富有美感且与常见的多边形概念及其性质研究高度相关的新型几何图形的一类问题。通过理解新型几何图形概念、探究图形性质、解决实际问题考察学生几何直观、空间想象和借助图形语言进行数学思考的思维品质。

例2（2020·南通）

【了解概念】

有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线。

【理解运用】

（1）如图①，对余四边形ABCD中，AB=5，BC=6，CD=4，连接AC.若AC=AB，求sin∠CAD的值;

（2）如图②，凸四边形ABCD中，AD=BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2=CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形。证明你的结论。

【拓展提升】

（3）在平面直角坐标系中，点A（-1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC=90°+∠ABC.设■=u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式。

3.函数类新定义题

函数类新定义题依托新型函数问题情境，综合考察学生迁移运用在学习已有函数模型基础上积累的经验对新型函数概念及其相关性质进行类比研究的一类问题。函数类新定义题旨在迁移建构和类比探究中进行动态分析和发散性思维培养。

例3（2020·镇江二模） 我们定义：把y2=ax叫做函数y=ax2的伴随函数。比如：y2=x就是y=x2的伴随函数。数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数y=ax2（a≠0的常数），若点（m，n）在函数y=ax2的图像上，则点（-m，n）也在其图像上，即从数的角度可以知道它的图像关于y轴对称。解答下列问题：

（1）y2=x的图像关于_____轴对称;

（2）①直接写出函数y=4x2的伴随函数的表达式______;

②在平面直角坐标系中画出y=4x2的伴随函数的大致图像;

（3）若直线y=kx-3k（k≠0）与y=4x2的伴随函数图像交于A、B两点（点A在点B的上方），连接OA、OB，且△ABO的面积为12，求k的值;

（4）若直线CD（CD不平行于y轴）与y=ax2（a>0的常数）的伴随函数图像交于C、D两点（点C、D分别在第一、四象限），且∠COD=90°，试问C、D两点的纵坐标的积是否为常数？如果是，请给予证明;如果不是，请说明理由。

二、新定义问题的教学实施

新定义问题具有不可控及无法预设的现实特点，教学中探索提升解决新定义问题能力的解题策略和教学路径显得非常必要且迫切。通过教学中对概念的分解与解读、数据的提取与分析、几何直观与构思图形的能力培养、关注猜想与合情推理，加强常态思维与发展性思维能力并举，化解新定义问题的难度，在潜移默化中不断渗透数学思想方法，引导学生归纳总结突破重难点的思路，运用掌握的数学学科关键能力去揭开新定义问题的神秘面纱，抽丝剥茧，排除干扰，直达问题本质。