高中生数学逻辑推理能力的影响要素及评价指标
2021-03-19侯宝坤
侯宝坤
摘 要
逻辑推理能力是数学核心素养的重要内容，根据推理过程的复杂性，以及学生使用逻辑推理的两轮推理特征，影响学生进行逻辑推理的要素，学生在推理过程中的思维参与和行为表现，进一步得到评价学生逻辑推理能力水平的三级指标，为学生的逻辑推理过程提供一个可评价的依据。
关键词
逻辑推理能力 高中数学 影响要素 评价指标
在《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《2017课标》）中明确规定：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六大数学核心素养。希望通过高中数学的学习，将学生培养成“会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界”的人[1]。逻辑推理是数学思维最重要的形式，数学理解和发展依靠逻辑推理，是数学严谨性的保证。数学核心素养逻辑推理的培育和发展，就是让学生养成重证据、讲道理的意识，形成终身发展和社会发展所需要的品格和能力。
一、逻辑推理的基本内涵
波利亚《数学与猜想》中认为，数学有论证推理和合情推理两种形式，论证推理肯定数学知识，合情推理为猜想提供依据。《普通高中数学课程标准（2003）》中指出，推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理常用的思维方法是归纳、类比;演绎推理是按照严格的逻辑法则得到新结论的推理[2]。而《2017课标》中逻辑推理定义为：“从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养”，包括“以归纳、类比为形式的从特殊到一般的推理”和“以演绎为形式的从一般到特殊的推理”[3]。如此一般化的定义把合情推理也包括其中，深化了对合情推理中所蕴含规则的认识，提炼领了两类推理的共性，拓宽了逻辑推理的内容。
1.逻辑推理需要证据的支撑
证据越充实，就会使推理的结论越明显越深刻。证据包含经验证据和理论证据。经验证据包括已有事实、数学实验、学习数学的体验、由特殊归纳的结果等;理论证据指已经获得证明为真的数学知识，包括数学公理、概念、定理、公式等。证据的质量是由证据与结论的匹配程度来衡量的。学习中经常出现结论是正确的，但学生所用证据是错误的，推理符合逻辑也不能得到正确结论，反证法就是这样的过程;如果证据是正确的但与结论不匹配，也不能形成证据与结论之间的逻辑推理，这就是典型的“张冠李戴”。学生的证据也会积累更新，甚至出现完全相左的证据，这也是数学不断推进和扩张的关键。在逻辑推理中，学生要有对证据的准确判断，能分清证据是支持结论还是与结论相左。
合情推理是根据已有证据，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。解决问题时，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的功能，有利于数学创新意识培养。演绎推理是根据已有理论证据，按照严格的逻辑法则得到新的正确结论的推理。逻辑推理是问题解决的过程，通常需要合情推理与演绎推理之间的两轮推理。如已知条件和结论的数学证明问题，主要侧重演绎推理，但推理的过程也经常伴随着假设和猜想。笔者建立了逻辑推理的概念理解图，如图1所示。
假设过程主要基于合情推理，由已有证据、提出问题、形成假设（或是已有的结论）组成。已有证据包括学生在学习中获得的体验、直觉和已掌握的数学知识。学生可以在假设过程中根据已有证据提出问题，形成假设性结论。推证过程是由理论证据，以及其推证的新证据（结论）链组成，再利用新证据判断当前假设是否足以证明或反驳它。如果推证结果接受假设，则形成新的理论证据，作为新逻辑推理的基础。如果假设被推翻，则需要重新收集证据进行新一轮假设。总之，逻辑推理就是根据已有证据提出假设，通过推证得到新证据对假设或已有观点进行验证，从而解决问题获得新知识的过程。
2.逻辑推理是学习数学的重要思维方式
数学中许多概念的建立、定理的发现、理论的构建，是通过合情推理形成的，数学教学中理应充分体现这一特点。当然建立在数学概念和理论基础上的演绎推理同样是数学发展的有力的手段，它是猜想成为现实的保证。对猜想进行证实和证伪的求证方式，是学生获取新知识、解决新问题的高级思维过程，也是数学理性美最直接的体现。教师在数学教学中，可以通过数学知识结构化、教学过程逻辑化、探究过程层次化等途径帮助学生掌握逻辑推理的思维方式。
二、逻辑推理能力的影响要素
逻辑推理能力是学生面对某个数学情境或数学问题时所表现出的分析与推证能力，主要体现在收集、评估、组合证据和依据证据提出假设、利用逻辑推理证实等学习活动中展现的思维能力和推理艺术。逻辑推理活动是学生掌握数学概念、理论的关键。
1.数学知识是逻辑推理能力的基礎
逻辑推理能力是学生利用数学知识提出问题和依赖证据得到结论的能力，是理解数学知识和解决数学问题的思维方式。逻辑推理的关键在于学生依靠已有的证据推出合理结论的过程。在假设过程中，学生占据的数学知识越多越深刻，形成的证据就越多，得到的假设就越合理。推理过程中，学生利用已有数学知识形成新的证据链的过程，也是深化知识联系并获得新知的过程。通过逻辑推理形成的结论是数学知识的再凝练。学生使用逻辑推理获取新知识，要保证证据与结论的科学性就必须深刻理解所用知识，在寻找证据与结论的关联时，必须寻找各知识之间的连结，就会形成牢固的认知结构，使概念与理论得到深入理解与发展。
2.证据评估与组合、推证途径选择是推理技能的核心
逻辑推理中，学生需要知道哪些事实、知识可以成为证据，评估哪种证据是恰当的，知晓证据与假设（结论）的逻辑联系，在搜集证据的同时进行评估，选择合理的证据组合成支持假设的证据链。教学中发现，推理能力较弱的学生经常使用认知层次较低的证据，甚至矛盾或无关条件，因此，证据评估成为逻辑推理能力的一个重要组成部分。逻辑推理是一个将证据与假设（结论）建立逻辑联系的过程，学生要对问题条件、结论进行全面的分析，其中三点较为重要：第一，已掌握的证据与假设之间的联系是否可信。联系越紧密推理越可信，越能解决问题。第二，证据是否充分。提供的证据越多、角度越丰富，就越能克服逻辑推理的片面性。第三，要注意证据的逻辑顺序、组织好证据链，优化解题路径。不同的证据、不同的视角，都可能造成推理途径的差异，特别要防止定势思维。对证据的数量与质量、假设的可靠性、证据与结论的关联性的判断是学生逻辑推理技能的核心要素，直接影响着推理的成败。
3.元认知监控是逻辑推理能力提升的前提
元认知是对认知的认知，元认知技能是学生在逻辑推理过程中主动调整和自觉优化的能力，思维品质至关重要。逻辑推理也是学生高级数学思维的显现，是数学思维中推理特征的表露。通过例子“已知a>0，b>0，且a-■=3（■-b），求证：（a+2）b≥3”来分析一下思维品质在逻辑推理过程中的作用。
学生1：条件：a，b都是正数，等式可能起到消元的作用，能得到：a-■>0时，a>1，0
发现二阶导数比较麻烦，换成分析法：
平方化简为：b（b-1）2≥0，显然成立。
该生的逻辑推理有明确的目的性和主动监控，思维的批判性和灵活性让不方便时主动改变方向，积极寻找更紧密的新证据，顺利完成推证。
学生2：a用b表示比较麻烦，试试用中间量：
这一推证体现了思维的批判性与深刻性对逻辑推理过程的主动简化，体现了对证据功能的不同认识。
学生3：
这个逻辑推理更为深刻，主动保留了■-b结构特征，为■+b出现创设了良好的环境，使推证更为便捷。
条件是等式，要证明的是不等式，应该是可以放缩处理的;条件等式完成了a，b间的过渡，试着将结论变形为a+2≥■，a≥■-2，b≥■这些关联较为紧密的形式。于是笔者形成了方法4：
依据结构特征，加强了证据与假设的联系，体现对知识的深刻把握。解题失败时灵活的调整，也可以选择函数g（x）=■-x，方法具有一般性，思维更深刻。
逻辑推理所表现的思维活动是按一定的逻辑规律进行的，思维的逻辑性强弱决定推理条理性好坏。思维越灵活，合情和演绎推理的交替就越迅速，概括、分析、迁移等思维手段就越灵活;思维越深刻，就越能全面地分析证据和假设的特征和关联，越能抓住数学规律与知识本质，越能把握知识发展趋势，越能找到本质创新的方法;思维的批判性能让学生在较短的时间内判断证据的合理性，及时选择更加有利的方向和有力的证据，使推理的路径更为快捷。在逻辑推理的整个过程中，需要学生对证据和假设（结论）具有评估整合、批判反思的能力，这些能力都依赖思维品质的主动监控。因此，思维品质是逻辑推理能力判断的主要标志。
依据要素分析，高中生数学逻辑推理能力应是由形成证据的质量、推理过程中的分析证据与结论性质与关联的技能和基于思维品质的元认知监控三个方面构成（见图2）。
图2 逻辑推理能力要素图
三、逻辑推理能力评价指标的分析
1.逻辑推理能力评价的三级指标
《2017课标》把逻辑推理素养划分为三个水平，每个水平又从“情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思”四个方面分别阐释。情境与问题上，由熟悉到关联再上升到综合情境;知识与技能上，由知识识别、了解到方法探索、选择再上升到思想领悟;思维与表达上，从有条理到准确再上升到严谨的表达;交流与反思上，从明内涵到亮观点再上升到跨学科[4]。喻平教授将包括逻辑推理在内的数学关键能力分为三级水平，一级水平对应知识理解，二级水平对应知识迁移，三级水平对应知识创新[5]。这两种划分方式更侧重于对已经提出的数学问题所呈现的难度划分或水平要求，借助不同水平要求的问题可以反映学生的能力水平，但不能替代能力的衡量。水平低的试题也能反映出学生不同的推理能力，有些学生做出了水平高的问题并不能代表逻辑推理能力就好。学生的逻辑推理能力是在解题过程中才能体现的活的思维，出题可以从水平要求去考虑，但衡量能力更应该侧重过程表现。
逻辑推理能力结构确定了评价的一级指标和二级指标，结合学生的过程表现，通过对逻辑推理能力进行行为表现分析，确定三级指标（见表1）。
2.逻辑推理能力评价指标的解读
逻辑推理过程经常存在两轮推理： 第一轮在假设过程中，学生利用已有的经验、基于实践得到的数学事实、数学知识提出假设，以合情推理为主，是激发学生进行逻辑推理的前提，有时甚至不出现这一轮推理，比如课本中的有关证明题，就只需演绎推理进行证实。假设过程里的推理有一定的合理性但不一定具有科学性，其科学性需要经过推证过程的严格证明。第二轮在推证过程中，主要以演绎推理为主，也会夹杂着对证据功能的猜测和选择，证据应当充分、科学，这是逻辑推理准确性的前提。证据可以是数学概念、定理、公式或者是已经证明正确的结论。学生收集的数据、文献、提供的数学事实需要权威可靠;学生需要加强对数学知识的理解，提升推理技能，以保证推证过程中形成新证据的严谨有效。数学结论通常不是一个证据就能推证的，需要多条证据相互作用形成逻辑严密的证据链，才能完成逻辑推理;逻辑推理也可能存在多条路径、从不同角度予以肯定。这些证据和路径之间互相补充，更能提升学生的逻辑推理能力和对知识的深刻理解。
为了防止推理过程的浪费甚至无效，必须首先分析假设的可能性及必要性。学生收集的证据也可能是无效的，所以要对证据进行关联性分析，将表象关联的证据推证出内在的知识关联，将弱关联补充成强关联。在证据与形成假设的关联过程中，学生可以从不同视角进行考量。如从直观的图形上寻找位置的关联，再从数量上精细解释这种关联的内在合理性等。在考虑证据与形成假设的关联时，经常会出现有效证据和无效证据。评估证据质量时无效证据剔除的越早，对推证过程的干扰就越少;有效证据又分成支持证据和矛盾证据，支持证据根据关联强弱可以分为表象支持和理论支持，表象支持从事实上出现与假设相符的表面现象，理论支持则从正确的数学知识、原理上做出相符的演绎证实，矛盾证据则可以對假设予以推翻修正。
学生数学推理的逻辑性是指按照数学知识的逻辑联系，根据运算、推理的顺序进行思考，学生在形成假设和进行推证时，都应有明晰的思路，用推理符号形成准确的证据链。数学思维的灵活性不仅体现在选择上和证据的使用角度上的灵活性，也体现在推理过程中类比、归纳与演绎、证实与反驳的相互交替作用上。不同学生推理法则的认知不同，知识掌握程度不同，思维的严谨性不同，推证出的结论深度也不同，因此推理的深度必然存在差异。逻辑推理时学生思维活动应该是积极理性的，推证时应该加强反驳思维，对于产生的结论有评判意识，尽量寻找更多、更直接的证据解释与论证。
课堂教学中，学生的逻辑推理过程是对知识的应用、组合、再加工，学材中的知识往往是静态的结果，学生对于知识的形成并不清楚，学习往往是被动记忆而非主动理解。将逻辑推理融进教学，让学生经历推证新知识的过程，是知识主动建构的过程。如果数学知识是学生自己通过现象归纳发现的、查阅文献梳理的、经过反复推证探索的，那数学学习就充满乐趣和意蕴。
引导学生学习时，教师要自觉反思：促进知识掌握的同时，是否促进了学生素养提升？学生能力到了何等水平？如何有针对性地评价学生的能力表现？教师要针对逻辑推理进行粗浅研究，一方面促进自身对教学的反思，关注和引导好学生逻辑推理素养的提高;另一方面通过对逻辑推理能力要素的剖析，为教学中对学生的逻辑推理能力有效评价提供一个参考的方向。
参考文献
[1] 史宁中.高中数学核心素养的培养、评价与教学实施[J].中小学教材教学，2017（05）：4-9.
[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社，2003：27.
[3] [4] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017版）[S].北京：人民教育出版社，2018：75-79，101-102.
[5] 喻平.数学关键能力测试试题编制：理论与方法[J].数学通报，2019（12）：1-7.
【责任编辑 郭振玲】
