双曲线对称性的两个巧用

刘顿

我们知道，双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形. 在解题时，若能对双曲线的对称性加以充分利用，则可使问题化难为易、避繁为简. 现归纳两类题型，供同学们参考.

[一、求交点坐标]

例1 如图1，已知直线y = mx与双曲线y = [kx]的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是（ ）.

A. （-3，4） B. （-4，-3）

C. （-3，-4） D. （4，3）

分析：由双曲线的两个分支关于原点对称且直线y = mx过原点，利用关于原点对称的两个点的坐标特征即可求解.

解：依题意，这两个交点关于原点对称，由于一个交点坐标为（3，4），则另一个交点的坐标为（-3，-4）. 故选C.

点评：双曲线是中心对称图形，则双曲线与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称.

[二、判断图形形状]

例2 如图2，直线l与双曲线交于A，C两点，将直线l绕点O顺时针旋转α（0<α ≤ 45）度角，与双曲线交于B，D两点，则四边形ABCD的形状一定是（ ）.

A. 平行四边形 B. 矩形

C. 菱形 D. 正方形

分析：根据反比例函数图象关于原点对称可得OA = OC，OB = OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得到答案.

解：∵反比例函数图象关于原点对称，∴OA = OC，OB = OD，

∴四边形ABCD是平行四边形. 故选A.

点评：熟练掌握双曲线的中心对称性是解题的关键.

双曲线有两条对称轴，分别是第一、三象限和第二、四象限的角平分线所在的直线，对称中心是坐標原点. 同学们解题时要注意灵活运用双曲线的对称性.