从“浅尝辄止”到“寻根究底”

柏德华

摘要：数学课堂教学中，教师要善于引导学生探寻数学知识背后的思想方法，使学生“知其然”，更“知其所以然”;要让学生在掌握知识的基础上，体验到数学思维带来的挑战和愉悦，感受到理性思辨的力量。教学《2、5的倍数的特征》一课，不停留于“浅尝辄止”，仅关注知识的表象，而着力于“寻根究底”，追问知识背后的“为什么”，注意思维的科学性和严谨性，让学生的学习深入知识的堂奥。由此得到几点思考：数学课堂要培养学生的理性思维，让研究“寻根究底”;要培养学生的探究能力，让学习“触类旁通”;要培养学生的科学思维，让思考“逻辑自洽”。

关键词：数学知识;数学思维;《2、5的倍数的特征》

一、“浅尝辄止”：《2、5的倍数的特征》教学问题扫描

之前参加教学视导，笔者连续几天听了同一个课题——“2、5的倍数的特征”（苏教版小学数学五年级下册32-33页）的三節课。三节课不约而同地呈现出大致相同的教学流程：以百数表为学习素材，先让学生在表中圈出2、5的倍数，通过观察初步得出它们的特征，然后再举例验证，最后概括出2、5的倍数的特征，并让学生运用该特征判断一些数是不是2、5的倍数。综观教学过程，结合课堂中对学生学习状态的观察，笔者发现了一些问题：

一是教师没有有效激发学生的认知参与，学生处于“浅学习”状态。由于百数表中的数排列规整，2、5的倍数又呈列状分布，特征十分明显，所以学生几乎不用动脑筋就能发现2、5的倍数的特征。学生轻松说出2、5的倍数的特征后，三位执教教师都没有进一步深入下去，追问学生特征背后的原因，所以学生对2、5的倍数的特征“知其然而不知其所以然”。

二是研究方法对于后续内容（3的倍数的特征）的学习不具有统摄性。如何判断一个数是不是2、5的倍数，教材呈现（教师讲授）的研究方法是观察个位上的数。所以，下一节课研究3的倍数的特征时，学生想到的自然也是观察个位，这样就为新知的学习带来了负迁移。换句话说，学生研究2、5的倍数特征的方法不能有效迁移到3的倍数特征的探究上来，这种只观察个位的研究方法对后续学习不具有统摄性。因此，研究2、5的倍数的特征，还应该引导学生从“位值制”的角度分析每一位数字，从而从整体结构上发现规律。

三是教材的知识逻辑不自洽极易导致教师的教学疏忽。以5的倍数为例，我们知道它的特征是：个位上是5或0。也就是说，“个位上是5或0”是“5的倍数”的充要条件，因此，课堂教学必须要向学生说明以下两点：（1）一个数如果是5的倍数，那么它的个位上一定是5或0（与其等价的逆否命题是：一个数如果个位上不是5或0，那么这个数一定不是5的倍数）;（2）一个数如果个位上是5或0，那么这个数一定是5的倍数（与其等价的逆否命题是：一个数如果不是5的倍数，那么这个数个位上就一定不是5或0）。这两点合在一起，才是5的倍数的特征的完整内涵。仔细研读教材，就会发现教材内容有所缺失：只研究了（1）而忽略了（2）。事实上，三位执教教师也都没有注意到这个问题，他们的课堂教学呈现出的是：（1）成立;（2）自然也是正确的，无须另外说明。但教材在研究3的倍数的特征时，显然又注意到了这一点，相关描述为：“如果一个数不是3的倍数，这个数各位上数的和会是3的倍数吗？找几个这样的数算一算。”教师在阅读教材时如果不注意到这个问题，各课时就会顾此失彼，造成教学疏忽。课堂上，教师只有兼顾上述两点，引领学生进行深入的思考、辨析，想通命题背后的原理，才能帮助学生形成对2、5的倍数特征的科学、全面和深刻的认识。

二、“寻根究底”：《2、5的倍数的特征》一课教学改进

基于上述思考与分析，笔者尝试在《2、5的倍数的特征》（以“5的倍数的特征”为例，“2的倍数的特征”的教学思路大致相同，不做赘述）一课教学时，带领学生“寻根究底”。具体教学过程如下：

（一）认识“一个数如果是5的倍数，那么它的个位上一定是5或0”

师上节课，同学们学习了因数和倍数，你能举出一些5的倍数吗？

生5、10、15、20、25、30……

师 （出示百数表）我们把这些数按照一定的顺序放在百数表中。请同学们拿出百数表，在表中圈出5的倍数。

（学生独立在百数表中圈出5的倍数，教师巡视。）

师观察圈出的5的倍数，你有什么发现？

生我发现这些数的个位数字是5或0。

生我发现5的倍数的个位不是5，就是0。

师仅仅依靠百数表中的这20个5的倍数，我们就能得到这个结论了吗？

生（齐）不能！

生我们还要举出大于100的5的倍数，看一下末尾数字是不是5或0。

师请同学们拿出计算器。大于100的第一个5的倍数是——（生：5×21）算算看等于多少？（生：105）个位是几？（生：5）5×22呢？（生：110）个位是几？（生：0）谁再来举例。

生5×37。

生（齐）185，个位是5。

生5×498。

生（齐）2490，个位是0。

……

师同学们举出了这么多5的倍数，有没有发现个位不是5或0的？

生（齐）没有。

师看来，（边说边板书）“一个数如果是5的倍数，那么它的个位上一定是5或0”这句话是——

生（齐）正确的。

（教师面带微笑朝向学生，做迟疑状。多数学生仍坚持原来的看法，少数学生略显犹疑，个别学生陷入思考。）

生不一定。万一举出一个5的倍数，个位不是5或0呢？

师敢于质疑，好样的！是啊，“一个数如果是5的倍数，那么它的个位上一定是5或0”这个结论，我们是通过举例观察得到的。当然，举再多的例子，也不可能穷尽所有5的倍数，所以，要说明这句话是正确的，我们还得从数的原理上想明白其中的道理。同学们，认真想一想：5的倍数，它的个位上为什么不是5就是0，而不可能是其他数字呢？

（教室里出现暂时的静默，过了一会儿，陆续有学生举起了手。）

生第一个5的倍数是5，接着是10、15、20、25、30、35……从5开始，五个五个地数，个位上只能是5、0、5、0、5、0、5……

师你是通过五个五个地数数来理解的，有道理！

生5的倍数都可以用5乘几得到。一五得五，二五一十，三五一十五……五九四十五，五的乘法口诀每句的末尾不是5，就是0。

师你是用乘法口诀理解的。

……

（二）认识“一个数如果个位上是5或0，那么这个数一定是5的倍数”

师同学们已经知道，一个数如果是5的倍数，那么它的个位上一定是5或0。如果一个数只知道个位上是5，其他数位不知道是几，那么它一定是5的倍数吗？（多媒体出示图1，十位和百位由电脑随机生成数字）请同学们用计算器算一算，看看它是不是5的倍数。

师（电脑随机生成三位数145）是5的倍数吗？（生：是）除以5等于多少？（生：29。电脑随机生成三位数695）是5的倍数吗？（生：是）除以5等于多少？（生：139。电脑随机生成三位数875）是5的倍数吗？（生：是）除以5等于多少？（生：175）

……

师会不会出现一个个位是5的三位数，不是5的倍数呢？

生（齐）不会。

师这是为什么呢？

（教室里陷入沉默，学生一时不明白其中的道理。）

师（多媒体出示图2，边演示边讲解）我们以235为例。十位上的3表示3个十，1个十里有2个5，是5的倍数，那么无论几个十都是5的倍数。1个百里有10个十，20个5，是5的倍数，那么无论几个百也都是5的倍数。所以不管十位上是几，百位上是几，一定都是5的倍数，不用考虑;同理，千位、万位、十万位……都不用考虑了。一个数是不是5的倍数只看个位就行了。235个位上是5，所以235是5的倍数。

生（恍然大悟）我明白了！如果去掉个位上的数的话，就是230，末尾是0，230可以看成23个十，一定是5的倍数，所以只要看个位是不是5的倍数就行了。个位上5的倍数只有5或0，所以个位上是5或0的数，一定是5的倍数。

生不管数有多少位，个位前面的数一定是5的倍数，所以只要看个位。个位是5的倍数，这个数就是5的倍数;个位不是5的倍数，这个数就不是5的倍数。

……

师大家通过讨论，进一步明确了（同步板书）“一个数如果个位上是5或0，那么这个数一定是5的倍数”。

师（小结）同学们，通过刚才的学习，我们得到了两个结论。（教师手指板书，学生齐读）这两条合在一起就是“5的倍数的特征”。

三、几点思考

关于数学课堂教学，有人说：三流教师教知识，二流教师教方法，一流教师教思想。这句话告诉我们，数学教师要善于引导学生探寻数学知识背后的思想方法，“以思想方法的分析带动具体数学知识内容的教学”;要能让学生在掌握知识的基础上，体验到数学思维带来的挑战和愉悦，感受到理性思辨的力量。换言之，教师带领学生学习数学知识，不能“浅尝辄止”，仅仅停留于知识的表象，而要“寻根究底”，追问知识背后的“为什么”，并注意思维的科学性和严谨性，让学生的学习深入知识的堂奥。如此，学生获得的数学知识才是鲜活的，可生长的，富有生命力的。

（一）数学课堂要培养学生的理性思维，让研究“寻根究底”

理性思维是一种建立在证据和逻辑推理基础上的思维方式，要求思考问题时“言之有理”“持之有故”。数学学科极其重要的育人价值就是训练学生的理性思维，培养学生的理性精神，使学生不轻信、不盲从，学会“打破砂锅问到底”。

上述教学，不停留于仅让学生通过简单的观察就轻率地得出结论，而是引导学生进一步思考特征背后的原因，从数的本源上想明白其中的道理。比如，当学生通过观察百数表，举例验证得出“一个数如果是5的倍数，那么它的个位上一定是5或0”时，教师并没有让学生轻易接受这个结论，而是反问学生为什么是这样的。实践证明，根据以往的知识积累和学习经验，学生完全可以在自己的认知水平上理解其中的道理。再如，学生认识“一个数如果个位上是5或0，那么这个数一定是5的倍数”时，教师通过小棒图的直观演示，从“位值制”的角度为学生揭示其中的奥秘。在直观图的启发下，学生理解了判断5的倍数的特征不能只看个位数，而是要通盘考虑每一位上的数;由于个位前面的每一位上的数都是5的倍数，所以只要看个位上的数。这样追根溯源地研究5的倍数的特征（2的倍数的特征同样如此），学生对知识的理解就能做到融会贯通。

（二）数学课堂要培养学生的探究能力，让学习“触类旁通”

数学新课程改革特别重视培养学生的探究能力。学生能自主探究的绝不干预;自主探究有困难的，教师要充分发挥主导作用，搭建“脚手架”，帮助学生寻找方法，启发学生理解数学知识的本质。

探究一个数的倍数的特征具有较强的趣味性和探索性。2、5的倍数的特征探究理应对学生后续研究3的倍数的特征具有一定的启发作用。然而，现实情况常常是，学生学习了“2、5的倍数的特征”后，继续学习“3的倍数的特征”时，往往还是观察数的个位，思维陷入窠臼难以自拔。出现这种问题，主要原因在于教师带领学生寻找2、5的倍数的特征时，停留于观察个位上数字的表面特征，没有深究“为什么判断一个数是不是2、5的倍数只要看个位，而不需要看其他数位”，没有通过寻找背后的真相探究出一种研究倍数特征的“通法”。上述“5的倍数的特征”教学，没有停留在“浅学习”的层次，而是引导学生利用“位值制”原理对数进行重组（235=200+30+5），通过分析每一个数位上的数，促进学生真正理解5的倍数特征的本质。经过如此深入的探讨，学生对于2、5的倍数的特征“知其然”，更“知其所以然”。更为重要的是，这种研究方法能有效迁移到3的倍数特征的学习上，从而使得该方法有了“通法”的性质，以后学生再运用同类方法探究4（25）、8（125）、9等数的倍数的特征时，能做到“举一反三”“触类旁通”。

（三）数学课堂要培养学生的科学思维，让思考“逻辑自洽”

数学是讲究逻辑的学科，数学课堂是训练学生逻辑思维能力的主阵地。数学教学更应讲求逻辑性，关注思维的科学性和严谨性。因此，根据形式逻辑的要求，数学课堂中的概念、判断、推理等思维形式要符合形式逻辑的基本规律。

如前所述，教学“5的倍数的特征”时，教师需要让学生明白5的倍数的特征包括两方面的内容：（1）一个数如果是5的倍数，那么它的个位上一定是5或0（其逆否命题同样成立）;（2）一个数如果个位上是5或0，那么这个数一定是5的倍数（其逆否命题同样成立）。综合这两点，才可以判断一个数是或不是5的倍数。比如，从思维的逻辑性上讲，判断4060是5的倍数，根据是（2），因为4060的个位数字是0;判断273不是5的倍数，根据是（1），因为273的个位数字不是5或0。数学教师要能理清上述数学知识之间的逻辑关系，课堂教学才能做到条理清晰、层层推进、丝丝入扣。培养学生思维的科學性和严谨性，让思考“逻辑自洽”是教学最基本的要求。

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