小型涡扇发动机特性计算收敛性方法研究

朱闪闪，曹永华，谢中敏

（江苏航空职业技术学院航空工程学院，江苏 镇江 212134）

0 引言

航空发动机是一种复杂的装置，它的研制水平代表了一个国家的工业、科技以及国防实力的水平，目前，只有美国、英国、中国等少有的几个国家具有这样的自主研发能力[1]。其余各个国家的航空界正在努力地寻找一种效率高、成本低、风险低的解决措施。在这一解决措施中，计算机仿真具有很大的优势，通过计算机仿真可以有效地缩短研制周期，减少研制成本[2]。陈玉春等[3]提出了变步长的牛顿-拉夫逊法对航空发动机模型进行求解，但是这种方法仅在单轴涡喷发动机上得到了应用，不具备普遍性。施洋等[4]提出罚函数法等优化方法来代替发动机非线性方程组的迭代求解过程，从而完成航空发动机性能的仿真模拟计算。这些方法对计算初值没有要求，在一定程度上缓解了计算过程中的发散问题，但是其计算速度非常缓慢，在实际应用中适用性有限。所以本文首先利用Matlab/Simulink 软件对DGEN380 发动机进行建模仿真，然后利用牛顿-拉夫逊方法对稳态模型进行求解，针对该算法中可能存在结果不收敛的原因进行分析总结，最后对稳态求解过程中的收敛性进行仿真分析研究。

1 发动机模型的建立

目前发动机的建模大体可以分为机理建模和实验建模[5，6]，机理建模是以发动机运行过程中所遵循的热力学过程所建立的数学模型，而试验建模（系统辨识）是根据发动机的实验数据进行分析而获得的数学模型，对实验数据有着较高的要求。而机理建模过程简便，所得到的模型精度也较高，并且可以在发动机运行全包线内对发动机稳态、动态特性进行分析。这种方法广泛地被国内外研究人员所使用。本文将结合DGEN380 发动机设计点实验数据建立该发动机的稳态模型。

1.1 发动机结构与建模假设

本文的建模对象是DGEN380 的齿轮传动风扇发动机（GTF），按照其工作原理主要划分为进气道、风扇、齿轮箱[6]、压气机等部件。其结构划分简图如图1 所示。

图1 DGEN380 发动机结构简图

建立航空发动机模型时，作以下假设：

（1）将发动机内的气体流动视为一维流动；

（2）忽略发动机放气和引起的影响；

（3）不考虑容积惯性和燃烧延迟的影响；

（4）各个部件中的比热值取定值。

1.2 DGEN380 发动机部件级模型的建立

（1）初始变量模块

该模块主要是由DGEN380 发动机的高、低压转速以及四个旋转部件的压比组成的初值变量。

（2）减速齿轮箱模块

根据理论公式，如果当前低压轴的物理转速为nl，那么风扇的物理转速为

（4）流量和效率插值模块

该模块包括风扇的特性数据，因此要根据当前风扇的换算转速和压比来求得风扇当前的效率和换算流量[7]，即：

从而根据式（4）得到风扇实际的效率和流量：

式中k为空气的绝热指数，在此取1.4，R为气体常数，在此取287.04 J/kg·K。

在simulink 环境下建立好的DGEN380 发动机的部件级模型如图2 所示。

图2 DGEN380 发动机部件级模型

2 发动机稳态模型的建立与求解

2.1 稳态模型的建立

航空发动机处于稳态时，需要满足一定的稳态平衡条件，选取高、低压转速、风扇、压气机、高、低压涡轮的压比作为猜值变量，即[nL，πF，nH，πC，πHT，πLT]，故建立以下平衡方程[8]。

式中，ηhpm，ηlpm为高，低压转子的机械效率。分别取0.93和0.81。

根据前面所建立的发动机整机模型可知，但飞行条件和燃油流量已知并保持一定时，只需要知道6 个状态参数[nL，πF，nH，πC，πHT，πLT]即可得到发动机当前所有的热力学参数，所发动机的稳态模型可以用这六个参数来表示，即以下非线性方程：

求解上式（10）即是对发动机稳态模型求解，从而得到各工作参数。

2.2 稳态模型的求解

航空发动机稳态模型求解一般采用数值法。如N-R法[9]、改进的牛顿法[10]等。其中N-R 法最为常用，本文选取N-R 法对发动机的稳态模型进行求解。

根据上式（10），令F（x）= [f1，f2，f3，f4，f5，f6]，x= [nL，πF，nH，πC，πHT，πLT]T。N-R 的核心公式为x(k+1)=xk-J-1F（x(k)），其中xk为上一步初猜值的解，为xk+1迭代一步之后修正过后的解。J为雅可比矩阵，其表达式为：

采用向前差分法[11]对各个变量求偏导，对初猜解向量中的各项进行扰动求出雅可比矩阵各列，如第一次扰动nL，将扰动后的向量[nL+ △nL，πF，nH，πC，πHT，πLT]代入式（11），求出雅可比矩阵的第一列，依次类推，得到最终的雅可比矩阵。

3 稳态求解中可能存在的问题分析

3.1 迭代中断

要保证迭代过程可以顺利地进行，首先保证迭代过程不会出现中断，而在仿真的过程中，经常会出现迭代中断的问题，原因大致可以总结为以下两点：

（1）插值过程无法进行

部件级模型都是基于部件特性来建立的，在整机模型中，风扇、压气机、高压涡轮、低压涡轮内的部件特性的插值能否顺利地进行，决定着迭代是否完成。

以风扇为例，其部件特性的插值如上式（3）所示，如果在插值的过程中，插值的输入量超界将会使插值计算过程无法进行，最终导致稳态求解无法完成。而产生插值中断的原因主要是由于独立变量设置的不合理，当设置的独立变量相比于真实值偏差较大时，会使迭代计算求解过程中断。

（2）迭代过程中出现奇异

迭代过程中出现计算奇异的情况主要是由于开负平方根造成的，例如风扇求解流量时：

如果上式的温度出现负值的情况，将会导致计算无法进行，迭代中断。出现这种奇异一般是独立变量设置不当造成的。表1 是在发动机设计点处设置不同的独立变量对计算结果的影响。

表1 初值对计算结果的影响

从以上可以看出，合适的独立变量是进行迭代的第一步，所以对独立变量限制的设置显得至关重要。

3.2 迭代不收敛

大量的实验数据表明，基本的N-R 法虽然完成了迭代的过程，但是大多数情况下结果都是不收敛的，即稳态共同工作方程的求解精度不满足要求，这样残差会随着迭代过程不断地增大，导致最后的结果发散，这一结果的主要原因有：

（1）独立变量初值设置的不合理

由于发动机模型的特殊性，在求解迭代过程中也许会使求解结果与现实状态不符，如燃烧室的出口总温小于进口总温，这时的结果只具有数学意义而没有物理意义的参数[10]。虽然完成了迭代过程，但最后结果是发散的。

（2）基本N-R 迭代算法本身的不足

N-R 方法的关键是牛顿步长的选取，一般情况下，牛顿步长选取是独立变量的0.001 倍。而如果独立变量的残差较大时，扰动量较小将起不到什么作用，如果独立变量的残差较小，扰动量如果太大将会导致特性图插值超界。所以如果采用固定步长，很容易导致最后结果的不收敛。

根据以上所述，导致发动机稳态求解最后结果不收敛的情况大致可以归结为两点，变量初值设置的不合适，二是迭代算法中牛顿步长选取有问题。限制独立变量X 的初值的目的是为了保证独立变量的初值不会导致部件插值出现外插值的情况，具体的做法是：例如风扇和压气机，根据特性图中nccor的范围，可以对独立变量进行限制。对于高、低压涡轮，根据特性图中Wgcor和ntcor的范围，可以对独立变量进行限制：Wgcor如果超限，则对其进行限制；根据涡轮进口总温和nc可以计算得到ntcor，如果ntcor超过范围，则限制nc。其他部件的计算根据具体情况采取参数限制措施。独立变量初值的限制，保证N-R 法计算的第一步能够完成。而对于牛顿步长的选取，本文采用变牛顿步长法使得迭代过程能够在保证精度的情况下顺利地进行。以下根据这两个问题进行仿真算例分析。

4 仿真算例及结果分析

根据以上建立的发动机稳态模型，对发动机的稳态求解过程进行仿真，本文选取飞行包线内比较有代表意义的5 个点，见表2。在基本牛顿-拉夫逊方法的基础上，采用独立变量初值的设置方法以及牛顿变步长的方法改善发动机的稳态求解的迭代过程。表3 为两种方法的对比结果。

表2 油门杆位置对应的燃油流量

表3 不同方法对求解结果的影响

从以上结果不难看出，对独立变量的限制可以加快迭代速度，改善迭代效果。迭代算法的改进（即在迭代过程中采用变步长），可以使迭代朝着更加有效的方向进行。所以以上方法不仅有效地改善了收敛性，还对收敛速度有了进一步的改善。

5 结论

本文对DGEN380 发动机部件特性计算中的不收敛问题进行了系统的研究后，以牛顿- 拉夫逊方法为基础，对该方法进行了改进并取得了非常好的效果，改善了算法迭代收敛性的问题。认为可以不必使用其它计算量大的求解算法。同样这些改进办法也可以为其他类型的航空发动机的特性计算提供参考。