基于水循环算法的FIR滤波器设计

杨婧 张宝安 李丹丹 方心乐 尹婼楠 刘婷

【摘 要】FIR滤波器被广泛应用于数字信号处理和工程实际中。最优化FIR滤波器设计可看作为一种寻优过程，利用启发式算法能够快速解决这一问题。水循环算法是一种模拟自然界水循环过程的新型启发式算法，由于其具有运算速度快、控制参数少、收敛性能优等特点而受到越来越多学者的重视。文章首先介绍水循环算法和最优化滤波器设计的基本原理，其次采用均方误差最小准则，利用水循环算法实现最优化FIR滤波器设计，最后通过MATLAB软件仿真验证该设计的有效性。

【关键词】FIR滤波器;水循环算法;最优化FIR滤波器;均方误差最小准则

【中图分类号】TP301.6 【文献标识码】A 【文章编号】1674-0688（2021）01-0032-03

0 引言

随着人工智能时代的来临，人们对信息处理的要求越来越高，滤波器作为信息处理过程中的重要组件，其设计和优化方法显得越来越重要。数字滤波器与模拟滤波器相比具有稳定、可实现精确度高、多速率处理等特点，广泛应用于图像处理、HDTV、模式识别等领域。

数字滤波器按照单位脉冲分类，可分为有限脉冲响应（Finite Impulse Response，FIR）滤波器和无线脉冲响应（Infinite Impulse Response，IIR）滤波器两种。FIR数字滤波器广泛应用于工程实际中，它最大的特点是稳定，可以在保证随意设置幅频特性的同时获得严格的线性相频特性。此外，FIR数字滤波器具有硬件较容易实现，可通过线性方式设计，过渡过程是有限区间等特点。在数字信号处理领域中，优化FIR滤波器设计可抽象为一种最优化问题，即利用数学逼近理论在指定的优化准则下，寻找合适的滤波器系数，优化FIR滤波器的性能。近年来，FIR滤波器得到国内外许多学者的关注，出现了许多优化方法，其中启发式算法优化滤波器获得了较好的效果[1，2]。水循环算法（Water Cycle Algorithm，WCA）是Hadi Eskandar[3]等人提出的一種模拟自然界水循环过程的智能优化算法，由于其具有运算速度快、收敛性能好的优点[4]而被广泛应用于许多领域，例如求解贝叶斯网络结构学习问题的二进制水循环算法[5]、改进的长时期多水库优化水循环算法[6]、基于梯度的水循环算法应用于混沌抑制[7]。本文试将水循环算法应用到FIR滤波器的研究中，提出了一种基于水循环算法的FIR滤波器设计，并用MATLAB软件仿真验证其有效性。

1 水循环算法基本原理

水循环算法（WCA）是模拟大自然水循环过程而提出的一种元启发式算法。该算法将最优解的寻找过程与自然界水循环过程相结合，以适应度函数为导向，进行溪流、河流的汇合，以蒸发降雨作用为辅助跳出局部最优解，最终找到问题的近似最优解。WCA的基本寻优原理如下。

1.1 种群初始化

利用公式（1）生成初始种群个体，根据公式（2）计算个体的适应度，按照适应度大小排序后，根据需要设定河流和大海，并根据其流量强度分配溪流，得到种群如公式（3）。

1.4 算法结束

判断算法是否达到最大迭代次数;没达到就继续迭代寻优，反之算法结束并输出最优解（海洋的位置）。

2 基于水循环算法的FIR滤波器设计

2.1 FIR滤波器设计

数字滤波器可看作一个离散时间系统，设有限脉冲响应滤波器的单位抽样响应为h（d），则L阶滤波器输入x（d）与y（n）输出的关系表达式如下：

经典法FIR滤波器设计原理简单、设计方式较为成熟，因而成为设计滤波器的主要方法，但这种方法得到的数字滤波器实际频率响应与理想值相差太大，滤波器的性能较差无法满足对性能要求高的场合，所以需要使用最优化设计方法设计滤波器。最优化设计方法是根据某些准则设计滤波器，例如最大误差最小化准则、最小平方准则、均方误差最小准则等。

本文利用均方误差最小准则实现最优化FIR滤波器设计。均方误差最小是指找到一组h（d）使得均方误差Ex2最小，其中均方误差为实际滤波器的频率响应H（ejω）与理想滤波器频率响应H0（ejω）之差的平方，选择M个频率点，均方误差如下：

2.2 基于水循环算法的FIR滤波器设计

将水循环算法河流溪流汇入海洋的过程看作最优化FIR滤波器设计寻找最优滤波器系数的过程，将最小均方误差作为目标函数，函数值越小，则实际设计的滤波器性能越好。算法结束后，大海的值对应FIR滤波器的最优滤波器系数h（d）0≤d≤L-1。

基于水循环算法FIR滤波器的实现步骤如下：{1}初始化。初始种群总数为Npop、河流与海洋总个数为Nsr、溪流总数为Nstream、最优解个数为1、极小值为dmax、最大迭代次数为max_it，设置终止条件为超出最大迭代次数终止。{2}根据公式（3）生成初始种群，根据公式（14）计算每个雨滴的适应度值，并据此划分大海、河流与溪流。{3}计算河流和大海的流量强度，并据此划分跟随每条河流和大海的溪流数目。{4}执行循环。根据公式（4）、公式（5）、公式（6）进行河流与溪流、溪流与大海、河流与大海的位置更新。根据公式（7）、公式（8）判断是否满足蒸发条件，如果满足，则根据公式（1）和公式（9）执行降雨操作。判断是否满足最大迭代次数，若满足，算法结束，并返回最优解，此时最优解即滤波器的最佳系数;如果不满足，返回继续进入循环。

3 实验仿真

利用MATLAB软件仿真验证基于水循环算法的IIR滤波器的可行性，在仿真实验中设定了水循环算法的初始参数：Npop=350，Nsr=24，dmax=1e-5，最大迭代次数max_it=100。

实验1：设计一个阶数为21的FIR低通数字滤波器，其技术指标：

H0（ejω）=1      0≤ω≤0.48π0.793 7 ω=0.5π0.396 8 ω=0.52π0        0.53π≤ω≤π（15）

实验2：设计一个阶数为21的FIR高通滤波器，其技术要求：

H0（ejω）=0      0≤ω≤0.48π0.396 8 ω=0.5π0.793 7 ω=0.52π1        0.53π≤ω≤π（16）

实验3：设计一个阶数为21的FIR带通滤波器，其技术要求：

H0（ejω）=0         0≤ω≤0.25π0.5      ω=0.27π1    0.28π≤ω≤0.73π0.5         ω=0.75π0    0.76π≤ω≤π（17）

实验4：设计一个阶数为21的FIR帯阻滤波器，其技术要求：

H0（ejω）=1         0≤ω≤0.25π0.5      ω=0.27π0    0.28π≤ω≤0.73π0.5         ω=0.75π1    0.76π≤ω≤π（18）

圖1至图4分别为低通、高通、带通、带阻FIR滤波器的适应度和归一化幅频响应曲线。

由图1至图4可知，基于水循环算法的FIR滤波器的幅频特性曲线比较符合理想滤波器的滤波性能，因此该方法是一种可行的设计方案。

4 结论

本文研究水循环算法和FIR滤波器设计的基本原理，分析水循环算法用于优化FIR滤波器设计的可行性，提出利用水循环算法优化FIR滤波器设计的新方案，并借助MATLAB软件进行仿真实验，验证了该设计方案的有效性。

参 考 文 献

[1]邵鹏，吴志健，彭虎，等.改进的粒子群优化算法设计FIR低通数字滤波器[J].计算机科学，2017，44（S1）：136-138，156.

[2]陈晓文.基于粒子群算法的FIR滤波器的优化设计[J].宁德师范学院学报（自然科学版），2019，31（3）：257-262.

[3]Eskandar H，Sadollah A，Bahreininejad A，et al.Water cycle algorithm - A novel metaheuristic opti-

mization method for solving constrained engineering optimization problems[J].Computers & Structures，2012，110（10）：151-166.

[4]周后英.基于水循环算法的阵列天线方向图综合[D].西安：西安电子科技大学，2018.

[5]Wang Jingyun，Liu Sanyang.Novel binary encoding water cycle algorithm for solving Bayesian network structures learning problem[J].Knowledge-Based Systems，2018，150：95-110.

[6]Yuni Xu，Yadong Mei.A modified water cycle alg-

orithm for long-term multi-reservoir optimization[J].Applied Soft Computing Journal，2018，71：317-332.

[7]Seyed Mehdi Abedi Pahnehkolaei，Alireza Alfi，Ali Sadollah，Joong Hoon Kim.Gradient-based water cycle algorithm with evaporation rate applied to chaos suppression[J].Applied Soft Computing，2017，

53：420-440.