“电动力学”中的矢量及矢量微分运算浅析

胡响明

(华中师范大学 物理科学与技术学院，湖北 武汉 430079)

电磁场强度是在空间具有分布的矢量场，产生电磁场的电荷电流也是在空间具有分布或者运动的场源.显然，为了描述电磁场与电荷电流之间的相互作用，通常我们不得不使用矢量张量及其矢量微分运算[1-6].首先，矢量张量是描述电磁场必不可少的数学工具，要让初学者自觉自愿理解和接受并非易事.尽管物理规律确实并不依赖坐标系，但是在定量研究物理规律时又不得不利用物理量在一定坐标系中的分量，这是一对矛盾.正是为了解决这一对矛盾，人们引入了矢量张量的概念.解决矛盾的办法，就是在某一坐标系中给出矢量张量分量的同时，还要规定它随坐标系变换而变换的规律[7].显然，矢量张量的分量总是依赖坐标系的.不过，只要有了矢量张量在任意一个坐标系中的分量，就可根据变换规律获得任何其它坐标系的客观物理量.平常所说“客观物理规律不依赖坐标系”的含义，并不是指一个物理量在不同坐标系中都取一样的值，而是在很多情形都会取不同的值(标量除外)，只是在物理量取不同值的同时仍然保持相同的规律.然而，只要知道了这个物理量在某一坐标系中的取值，由坐标变换关系就确定了它在任何其它坐标系中的取值.由此可见，坐标系及其变换关系对矢量张量的定义本身是多么重要.

在我们可能还没有使初学者足够充分理解这种变换规律的必要性和紧迫性时，这里不妨举个例子，或许会引起初学者的好奇心，初学者可能会有一定的认识.在一个惯性参考系中一个静止点电荷只有标势和电场强度(φ≠0,E≠0)，没有矢势和磁感应强度(A=0,B=0).当我们转换到另一个惯性参考系时，电荷是匀速运动的，有电流形成，电流就会产生磁场，此时我们既有电场也有磁场(A≠0,B≠0).同一个点电荷，仅仅因为惯性参考系不同，对磁场的描述似乎截然相反，哪个是正确的呢? 显然两者都是正确的，只是因为参考系不同而不同.原来，标势和矢势分别是电磁场四维矢量(φ/c,A)的分量，其中真空中光速c是为统一量纲所用.相应地，电场强度和磁感应强度的各分量是电磁场四维二阶张量的分量.作为矢量张量的分量，必然会随坐标系变换而变换.在某个惯性系中为零的分量在另一惯性系中很可能不为零[8].由此可见，使初学者充分理解和接受使用矢量张量的必要性和紧迫性并尽早予以加强，这本身就是“电动力学”教学中一项非常重要的基础内容.

也许有一个看似有理的认识，物理规律不必定依赖于数学公式也能表述.不少初学者可能觉得，只需要理解物理规律，不需要数学也能把“电动力学”学好.毕竟，每个初学者或多或少都有一定的数学基础，若要明显提升数学基础，并非一日之功.这个认识可能会使不少初学者低估或者忽视使用矢量张量的必要性和紧迫性.于是不少初学者可能没有提前或者及时为本课程做好数学基础的充分准备.也许还有一个看似有理的逻辑，数学可以在需要之时再学，不少初学者觉得在“电动力学”学习进程中有时间再学.然而，与之前接触的普通物理“电磁学”课程不同的是，随着课程的深入，初学者会感受到“电动力学”自始至终无处不用矢量及其矢量微分运算.不少初学者会感到越来越难适应，甚至在中途就难以跟上既定的学习进度.据本人多年教学经历了解到，当前国内本科阶段“电动力学”初学者受此限制的人不在少数.正因为这样，本文以此为题，与相关教师交流[9,10]，供初学者参考.

1 电磁作用基本方程

电磁作用基本方程是一组矢量微分方程.矢量张量及其矢量微分运算随坐标系变换而变换是描述电荷与电磁场局域相互作用无法回避的问题，这在相对论电动力学中将得到充分体现.我们曾经学习过的牛顿经典力学可用一个基本方程就能描述物体运动状态随时间的演化.这个方程可表述为: 物体动量矢量对时间的变化率等于物体所受的作用力矢量.现在我们要学的“电动力学”基本方程是一组矢量微分方程—麦克斯韦方程组，它包括四个相互耦合的矢量微分方程[1-6]：

(1)

其中E为电场强度，B为磁感应强度，ρ为电荷密度，J为电流密度，ε0是真空电容率，μ0是真空磁导率.这组方程是经麦克斯韦总结实验定律并提出位移电流假设而建立起来的.与牛顿方程相比，麦克斯韦方程组在数量和形式上复杂许多.初学者必定会问，为什么基本方程就如此复杂? 如何求解? 方程及其解描述的物理本质是什么? 复杂之处体现在两个方面.一是研究对象包括两个矢量场，一个是电场E，一个是磁场B，它们相互耦合；二是电磁场与电荷电流的作用不只是时间演化，同时表现为空间局域作用(散度·E,·B和旋度×E,×B)，时间微分项对旋度作贡献.事实上，最初的麦克斯韦方程组是用分量表达的，方程形式还要复杂很多.相对而言，现在的矢量形式已经是非常简洁明晰了.为了体现局域作用，作为矢量微分运算的散度和旋度就是必不可少的.然而，作为大学生，这还是第一次在物理专业基础课程中接触到如此复杂的矢量微分方程组.一个自然的事情就是，不少初学者可能由此感受到矢量及其矢量微分运算带来的巨大压力.教学经验告诉我们，通常初学者在学时有限的情况下面临的困难或者困惑，并不必定只是矢量张量本身，更可能是对使用矢量张量的必要性和紧迫性的心理接受程度.只有自愿或者自主接受矢量张量及其微分运算不可避免这一事实，初学者才会及时充分利用课余时间尽早加强矢量张量及其矢量微分运算的基础.

建立微分方程组的必要性本质上在于要研究电磁场与电荷电流之间的相互作用. 以静电问题为例来说明.设电荷分布于区域V′内x′点的电荷密度为ρ(x′),则空间x点的电场强度E(x)由

(2)

给出, 其中dV′为x′处的体积元,R=|x-x′|是电荷源点到电场场点之间的距离. 初学者一般已经熟悉上述公式和思想. 只要空间中所有电荷分布都给定, 无论这个分布多么复杂, 那么原则上电场E的分布就已经确定了. 但是, 问题的转折点就在于: 电荷分布并不能事先完全给定. 只要有部分电荷没有给定, 我们就无法从方程(2)直接计算电场. 举一个简单而又最具代表性的例子, 在一个导体球附近某处放置一个电荷, 导体表面上就会因为附近点电荷的存在而产生感应电荷分布,感应电荷分布并不能事先给定, 它依赖于所放置点电荷的大小和远近. 既然导体表面上的电荷分布是未知函数, 那么无法简单地从方程(2)计算出空间中的电场. 在上述例子中, 实际上包括了如下物理过程. 1)点电荷激发了电场, 电场作用到导体自由电子上, 引起他们运动, 使导体上的电荷重新分布. 2)点电荷和导体上感应电荷共同给出总电场, 即点电荷和导体上感应电荷激发的电场叠加在一起. 3)导体表面上的感应电荷分布密度, 由上述总电场决定. 这3个方面表明, 电荷分布和电场分布是互相制约的, 一方面感应电荷的出现是由电场引起的, 另一方面电场又包括感应电荷的贡献. 此时方程(2)虽然仍然能够描述电荷分布和电场强度之间的关系, 但是两边都是未知的, 只是一个形式上的等式关系而已. 显然方程(2)并不足以解决电荷分布未事先完全确定的静电相互作用问题. 因此我们要建立描述电荷与电场相互作用普遍规律的微分方程, 利用边值问题予以解决. 在目前这个阶段认识这个问题, 对初学者或许是相当重要的起点.

2 电磁势矢量

电磁势矢量是描述电磁作用不可替代的重要物理量.究其原因，有2方面.

1) 电磁势描述电磁场给我们带来实质上的方便[1-6].电磁势矢量是通过矢量微分从两个麦克斯韦方程定义的.因为·B=0，可利用旋度定义矢势A:

B=×A

(3)

(4)

将这两个定义代入到电场散度和磁场旋度方程并考虑洛伦茨规范[6]:c2·A+∂φ/∂t=0(相对论协变性原理的要求，标势φ和矢势A并不相互独立,c2=1/μ0ε0)，得到电磁势服从的达朗贝尔方程:

(5)

经过冗长但是直接的过程求得其解为[1-6]

(6)

其中t时刻x处的电磁场是较早时刻t′=t-R/c从源点x′处辐射传播距离R=|x-x′|到达的.从表达式(6)看出, 电磁势依赖于时空点(x′,t′)的电荷密度ρ(x′,t′)和电流密度J(x′,t′).对于恒定情形电磁势则不依赖于时间, 经过(3)和(4)的微分运算后电场强度和磁感应强度呈现R-2依赖, 局限于电荷电流附近, 其中电场如方程(1)所示. 然而, 对于依赖时间的电磁辐射情形, 电磁场强度(E,B)还以t′=t-R/c时刻的电荷电流密度依赖于R. 对时空微分后, 电磁场会呈现R-1依赖的辐射场，传播到无穷远处.

2) 电磁势本身具有物理实在性，在近代物理领域具有重要地位[1-6].带电量q的粒子与电磁场相互作用的能量和动量分别为qφ和qA.磁场改变电子衍射条纹的效应表明，局域化磁场引起电子衍射条纹的移动，不能由局域磁感应强度B描述其相位，而只能由磁场矢势A描述.在涉及质点高速运动时，在某参考系中，质点在时间t位于x处，时空不再能分离，而是统一在一起，成为一个整体矢量(ct,x).既然时空是统一的整体矢量，在坐标系变换时就会发生相互的转化，即矢量分量之间发生相互转化, 包括时间和空间之间的转化.时空的统一，决定了标势和矢势统一为四维电磁势矢量(φ/c,A).标势和矢势就会在坐标系变化时发生相互转化.带电粒子在外加电磁场中的能量动量四维矢量为Pα=q(φ/c,A), 依赖于电磁势.由此清楚可见电磁势的物理实在意义.

3 四维矢量的构建与微分运算

四维矢量的构建与矢量微分运算是相对论电动力学的重要内容.根据相对论中的光速不变原理，将时间t和空间矢量x统一到间隔概念之中.类似于三维空间的矢量模长，推广到时间与空间统一的四维空间来定义模长，即间隔

s2=(ct)2-x2

(7)

其中时间ct以零时刻为起点, 空间x以坐标原点(0,0,0)为起点, 空间部分对间隔的贡献为x2=x2+y2+z2.间隔可能取正值, 可能取负值, 也可能为零. 从此时间t和空间x=(x,y,z)不再相互独立，它们随坐标变换发生相互之间的变换, 这对初学者而言是一个全新的时空观念.以下三个方面表明四维矢量及其矢量微分运算是相对论电动力学的重要内容.

1) 平面矢量推广到非归一时空平面，获得洛伦兹变换.设平面标系∑系(x,y)与∑′系(x′,y′)重合，然后∑′系绕坐标原点相对于∑系旋转θ角度，熟知的坐标变换关系为[7]

x′=xcosθ+ysinθ，

y′=-xsinθ+ycosθ

(8)

这个坐标系的基矢量具有正交归一性.我们通过类比即相对简单地给出这里的相对论时空变换.现在我们需要认识时空统一后不同惯性系之间的关系，它与时空分离的空间坐标系平移直观图像并不相同.对于时空分离情形，时间视为分离的独立参量，不在坐标系中体现出来，人们可直观见到空间坐标系的平移.然而，对于时空统一之后的惯性系图像，情况就很不相同，我们需要对此有明确的认识.设一空间坐标系∑(Oxyz，坐标原点为O)，另有一空间坐标系∑′(O′x′y′z′，坐标原点为O′).初始时刻两个空间坐标系∑和∑′完全重合，之后∑′系以速度v沿∑系的空间坐标轴x正方向做匀速直线运动，所有空间坐标轴保持平行.因为运动只沿x轴方向，另外两个空间分量y和z则保持不变，此时我们只需要考虑空间分量x与时间分量ct构成二维平面坐标系, 讨论它们随惯性系变化而变化的规律.

将时间和空间分量统一后，∑系和∑′系都变成包括一个时间轴和一个空间轴的二维平面坐标系，如图1所示.

图1 洛伦兹变换的几何图

对于现在的时空坐标系∑和∑′而言,O点既是空间的原点也是时间的原点，同一事件P在∑系表示为(ix,ct)，在∑′系表示为(ix′,ct′)，其中虚数单位i就是源于间隔中空间项为负.空间坐标系∑′中的O′点只代表空间坐标原点, 但不代表时间原点. 以O′点运动前后作为两个事件来说明两个时空惯性系之间的变换关系. 作为第一事件, 初始时刻O′点与时空原点O重合, 在两个惯性系的时空坐标都为(0,0).作为第二事件,O′点运动后, 在∑′系自身看来，在空间上并没有相对运动，位移保持为零，x′O′=0, 只是时间上经历了ct′O′(固有时), 时空坐标为(0,ct′O′).注意，O′点只是代表坐标系∑′的空间原点，并不代表时间原点，O′点运动经历的时间由ct′轴上的取值ct′O′来度量.然而，在∑系看来，O′点不仅经历了时间AO′=ctO′，而且发生了位移OA=vtO′，时空坐标变为(ivtO′,ctO′).根据O′点运动前后作为两个事件在∑和∑′系中的间隔保持不变, 我们可以发现图中三个时空线段OA、AO′和OO′构成直角三角形，满足勾股定理(ct′O′)2=(ctO′)2+(ivtO′)2.从几何关系清楚地看出，时空惯性系∑相对于∑′旋转了一个角度iζ，tan(iζ)=itanhζ=iv/c，其中虚数角度源于空间分量x的虚数单位.相对而言，∑′系相对于∑系旋转了-iζ.以上分析表明，时间ct与空间分量x统一后的时空平面坐标系变换在形式上与通常的空间平面坐标系变换完全相同，都是绕原点O“旋转”，只是原来的坐标分量x变为ix，y变为ct，∑′系相对于∑系旋转的角度θ变为-iζ.对任一事件P，作对应替换(x,y)→(ix,ct)，(x′,y′)→(ix′,ct′)，θ→-iζ, 根据坐标变换关系(8)，我们立即获得从∑到∑′系的洛伦兹变换[6]

ct′=ctcoshζ-xsinhζ,

x′=xcoshζ-ctsinhζ

(9)

由于虚数单位的出现，式(8)中的三角函数现在变成了双曲函数coshζ=γ,sinhζ=γβ，其中参数(β,γ)为

(10)

洛伦兹变换公式(9)正是光速不变原理的结果.上述变换可以做两个推广. 一是∑′系相对于∑系沿任一方向发生相对运动(保持坐标轴平行), 三个空间坐标分量x=(x,y,z)都可参与变换. 二是∑′系相对于∑系以随时间变化速度v=dx(t)/dt发生相对运动, 此时时空变换变为微分形式.

xα=(ct,x)或者xα=(ct,-x)

(11)

上标代表逆变分量, 下标代表协变分量. 不过这里的逆变矢量和协变矢量只是空间部分相差一个负号, 它们之间通过一个度规张量gαβ=eα·eβ或gαβ=eα·eβ联系,xα=gαβxβ,xα=gαβxβ, 度规张量的非零元素为g00=g00=1,gll=gll=-1(l=1,2,3). 以四维时空矢量为基础可以构建一系列四维矢量. 例如, 构建的四维速度矢量Uα=dxα/dτ=γ(c,v)(其中,τ为固有时,v可以沿任意方向并可随时间变化)用来定义电流密度四维矢量Jα=ρ0Uα(ρ0为静止电荷密度)和能量动量四维矢量Pα=m0Uα(m0为静止质量). 再如,微分算符∂α≡∂/∂xα=(∂/∂x0,-)及拉普拉斯算符□=∂α∂α用来表达物理量的时间演化和空间局域化定律.相对论协变性原理可以表示为

如果

Aα=Bα那么A′α=B′α

(12)

光速不变原理可以表示为

(13)

3) 构建四维电磁势矢量和电磁场张量，利用矢量微分表述并求解麦克斯韦方程.四维时空中的电磁势定义为[6]

Aα=(φ/c,A)

(14)

它可用来构建二阶电磁场张量Fαβ=∂αAβ-∂βAα, 即

(15)

可见电场强度和磁感应强度只是电磁场张量的分量.按照矢量张量的洛伦兹变换，我们就容易回答引言提出的问题.显然，作为矢量的电磁势Aα与由电磁场强度构成的二阶张量Fαβ相比，求解前者有源微分方程的复杂程度要小很多.事实上，麦克斯韦方程的协变形式与电磁势的达朗贝尔方程是等价的.加上对偶张量Gαβ=∈αβλτFλτ/2(∈αβλτ是四阶完全反对称逆变张量)，可将麦克斯韦方程写成协变形式[6]:

∂αFαβ=μ0Jβ, ∂αGαβ=0

(16)

其中第二个为齐次方程，本质上决定电磁势的引入，第一个为非齐次方程，代表电荷电流对电磁势的贡献.非齐次方程在洛伦茨规范[6](∂βAβ=0)下实质上就是四维电磁势矢量的达朗贝尔方程:

□Aα=μ0Jα

(17)

(18)

(19)

其中β=v(t′)/c是电荷在t″时刻的运动速度与真空中光速之比,eR是电荷源点x′到场点x相对位置矢量R=x-x′的单位矢量.可见求得电磁势并不复杂.然而, 对电磁势矢量的时空统一微分运算就不是那么简单，甚至会比较复杂，好在运算仍然是直接的.可求得电磁场强度为[6]

(20)

4 结论

总之，本文分析了矢量及其矢量微分运算在“电动力学”体系中的特殊基础地位.既然“电动力学”要同时研究电磁系统的时间演化和空间局域作用，那么这就决定了“电动力学”自始至终需要使用矢量及其矢量微分运算.基本方程形式与方程的求解、恒定场与电荷电流作用、电磁场的传播与辐射等，各部分都离不开使用矢量及其矢量微分运算，相应的物理规律表达形式和相关数学运算过程相对复杂很多.幸好，电磁势不仅自身具有不可替代的物理意义，它能够使得问题的解决得到相对简化，为电磁规律的描述提供极大方便.初学者熟悉矢量(包括张量)及其矢量微分运算必定会收到事半功倍的效果.教学过程中充分重视矢量及其矢量微分运算的特殊地位，能够显著提升“电动力学”的教学效果, 强化物理专业人才的专业基础.