寻找解题思路的教学思考——以一道多解的典型几何题为例

重庆市育才中学校 (400050) 何贻勇重庆育才成功学校 (400050) 罗 静

学生面对一道数学题是怎么想的？教师给出一道数学题是怎么教学生想的？怎么和学生一起进行思维的碰撞，一起寻找解题思路，是教研备课的一个重要课题．切忌拿到题后就就题讲题，一讲到底，应该重点是激发学生思维，给学生营造一个良好“思维场”，让学生处于“不愤不启、不悱不发”的状态中．

一、例题呈现

题目如图1，在△ABC中，BC=6，AB=2AC，求△ABC面积的最大值．

图1

教学思考：本题中动点A的位置决定了△ABC面积的大小，即面积随着A点的变化而变化，如何找出能描述面积与A之间的变化规律的函数关系呢？首先要解决的问题是用什么量来描述A点的变化，联想三角形的面积公式，并找到A点位置与AB、AC的长度、与A点在满足的关系时A到直线BC的高、A点的横纵坐标等等有关．

呈现了一道题时，教师应先引导学生不要急于求解，而是先标注已知条件和基本事实，批注二级结论等等读懂题意，如本题中应读出A点的位置在一定条件下是变化的，△ABC的面积也会相应有变化．再思考怎么解答问题，△ABC的面积大小受到了A点位置影响，这样的函数关系何在呢？于是有了以下几种解法：

二、多种解法

图2

还有什么量可以描述A点的位置呢？利用已学知识可知可用平面直角坐标系中的有序数对来描述A点的位置，于是有了以下解法二：

图3

解法二：(利用坐标系求纵坐标建立二次函数模型)如图3，建立平面直角坐标系，不妨设B(0,0)、C(6,0)、A(a,b)，其中4≤a≤12,b>0.因为AB=2AC，所以AB2=4AC2，则a2+b2=

利用方法一的思路可设AC=a，则AB=2a(a>0)，那么一个三角形的三边都为已知，只需要利用三边来表达三角形的面积就可以了，得到了解法三．

已知一个三角形的三边可以表达三角形的面积，只需要再使用一种面积表达公式就可以，于是从脑海里搜索到了海伦公式，通过面积表达式发现了二次函数及其表达式，根据表达式的特征还发现了使用均值不等式更快捷地求出了面积的最大值．

解法四：(利用海伦公式建立二次函数模型)设AC=a，则AB=2a(a>0)，由海伦公式得

通过前面的解题过程，既然A点的位置决定了△ABC的面积大小，那到底什么时候△ABC面积最大呢？只需要找到△ABC的面积取最大值时A点的位置就可以了．学生们开始独立思考起来，但未果．

图4

三、课后反思

解题教学活动开展前应充分准备如下三个方面：一是夯实基础知识，熟悉数学知识之间的本质联系，比如对概念、定理、运算规则、公式发生、发展、运用过程条理清晰，只有坚实的“基桩”，解题活动才有意义；二是掌握数学基本模型、基本解题模块、命题联想系统、“反应块”、基本解题的思维痕迹，积累基本解题活动经验，归纳总结数学推理、数学运算中的算法、算理的基本特征，掌握一类题问题的通性通法，能为进一步提高解题能力服务！三是解题技巧到解题方法的提炼，从解题方法到解题思想的提升，甚至是到解题的理念、信念形成，是在长期的解题过程中高度概括、抽象的过程，反过来能促进更深刻地理解数学知识，理解数学问题、理解数学文本，有利于数学的发现、创造与再创造．

本节课利用函数思想解三角形面积最值问题，是非常常见的方法，当然对二次函数解析式求最值的处理办法也可以灵活多变．寻找变量面积与描述点的一个变量之间的函数关系式是解决问题的关键所在，联想三角形面积公式为解题思维过程服务．本题看似简单，但是解法多样、包罗万象，不止以上五种解法，寻求描述变化关系的函数关系为出发点，得出了以上解题方法，有助于学生的发散思维培养，有助于学生更加深刻地理解数学问题的解题本质，以提高学生解题能力．

教研思考与建议：寻找解题思路的习题教学课中，解题思路和计划是如何想出来的？以帮助学生学会“怎么想”，执行解题计划时应注意哪些问题？以帮助学生学会“怎么做得更好”，希解题后通过“反思”“点拨”及时总结经验，力求透过解法洞察数学本质，通过巧解、妙解，化繁为简，达到举一反三！触类旁通！融会贯通！同时，解题思路由来讲解技巧、讲解原则课后训练和反馈都应专题教研，以期更好地上好习题课．比如解题教学中的重点就是激发学生的思维，而如何围绕数学题本身的特征，恰当地施以教学引导，让整个课堂达到“不愤不启、不悱不发”的状态的具体思考是什么？解题教学活动的课后训练如何以以上准备方面的各个点来系统地、序列化地开展等等．