电迁移诱发夹杂形貌演化的相场模拟

张嘉明，黄佩珍

（南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室，江苏南京 210016）

在生产、服役过程中，内连导线承受着高电流密度，其中大量的电子流做定向运动，形成逆电场方向的“电子风”，与金属粒子碰撞发生动量传递，导致金属粒子朝着逆电场方向运动。这种现象被称之为电迁移，对内连导线的可靠性有显著影响［1］。在电迁移作用下，内连导线中诸如孔洞、夹杂等微缺陷会发生漂移以及形变，其形貌可能会失稳、分裂或聚合［2］。因此，研究电迁移诱发界面扩散下夹杂的形貌演化机理，对于了解金属内连导线的微观特性，改善微电子器件的可靠性具有重要意义。

近年来，迅速发展的相场法为研究微结构演化提供了强有力的工具［3］。结合动力学和热力学定律，相场理论中有两类常见的方程，分别为Cahn-Hilliard方程［4］和Allen-Cahn方程［5］。其中，Cahn-Hilliard方程描述了满足质量守恒定律的原子扩散过程，用于研究Spinodal分解、表面扩散［6-10］等问题。

Mahadevan等［6］最早建立了电迁移的相场模型并进行了渐进分析。Bhate等［7］采用非光滑双阱势构造了相场模型，用于研究电迁移和应力诱发表面扩散、体扩散下孔洞的演化。Barrett等［8］基于退化型迁移率模拟了孔洞的电迁移行为。Li等［9］研究了电导率和各向异性表面能对电场作用下夹杂迁移和演化的影响。Santoki等［10］研究了各向异性表面能作用下圆形夹杂的演化。

在上述相场研究工作中，未见文献报道体自由能密度和退化型迁移率均采取四次双阱势函数的相场模型。本文应用开源框架MOOSE［11］编制有限元程序，分析了椭圆夹杂在电迁移作用下的基本演化规律，以及电场强度和初始形态比对不同电导率的夹杂演化规律的影响。

1 基本理论

如图1所示，考虑基于平面应变问题的二维内连导线单晶模型，初始夹杂存在于有限大的金属基体中，内连导线两端施加大小为φ∞的电势差。l、h分别为导线的线长与线宽，a、b分别为x、y轴上微缺陷的半轴长，β=a b，为形态比。序参数φ用于区分基体和夹杂的不同相，将模型分为三个区域：基体区域R+中φ=+1，夹杂区域R-中φ=-1，界面层RI内φ由-1到+1连续变化。

图1 内连导线中夹杂的相场模型Fig.1 Phase field model of an inclusion in the interconnect line

在外电场作用下，系统的总自由能泛函F构造形式为

式（1）中，γs为界面张力，ε为与界面层厚度相关的梯度能量系数，A=4 2W3为无量纲参数，其中W表示两个平衡相之间的势垒高度。系统的总自由能密度F由体自由能密度fbk、梯度自由能密度fgr和电势能密度fe组成，分别为

式（2）中的fbk采用四次双阱势函数。式（4）中，φ为电势，Ω为迁移原子体积，Z*为原子的有效化合键，e为元电荷。化学势μ由F对φ的变分导数定义，即

式（5）中，因子2是由于从R-到R+中φ由-1过渡为+1所致。界面原子的质流通量J与∇μ（驱动力）呈线性关系，即

式（6）中，B=2 3 2W为无量纲参数，D为界面扩散的原子迁移率。M(φ)表示与φ相关的退化型迁移系数，即

式（7）确保了原子的界面扩散只发生在RI内。根据质量守恒定律，φ对时间t的变化率与J的散度有关，即

式（8）即为四阶修正的Cahn-Hilliard方程，即

求解式（9）需要联立φ的拉普拉斯方程，即

式（10）中，σ=σ(φ)表示与φ相关的电导率。

2 可靠性验证

基于所推导的相场控制方程，应用MOOSE编制有限元程序。为了验证程序可靠性，考虑无限大且各向同性金属材料中半径为R的圆形夹杂，在小电场下保持圆形并沿电场方向稳定漂移的理论解［12］，即

式（11）中，E=φ∞l表示远端电场强度。

定义特征速度Vf=DΩγs af3，相对电场强度χ=，采用无量纲时间t~=tDΩγs af4。将夹杂漂移速度的理论解和数值解分别无量纲化，即

下标th和num分别表示理论解和数值解。由图2可见，数值解V~num与理论解V~th吻合良好，故本文的有限元算法是可靠的。

图2 夹杂的漂移速度V~随着λ的变化曲线Fig.2 The variation curve of drift velocity V~of inclusion withλ

3 数值模拟与讨论

下面将分析电迁移诱发界面扩散下夹杂的形貌演化规律，讨论χ和β对不同λ的夹杂形貌演化的影响，其中外电场的方向均为从左向右。

3.1 相对电场强度χ的影响

图3-4为χ=4，12且β=3时，不同λ下夹杂的形貌演化图。由图3可见，夹杂均沿电场方向稳定漂移，λ=0的夹杂前方形成刻面，而λ=0.5的夹杂仅后方完成圆柱化。由图4可见，λ=0的夹杂沿x轴方向发生分裂，而λ=0.5的夹杂前方形成逐渐拉长的指状延伸。

图3 χ=4,β=3时，不同λ下夹杂的形貌演化图Fig.3 Morphological evolution of the inclusions under differentλforχ=4,β=3

图4 χ=12,β=3时，不同λ下夹杂的形貌演化图Fig.4 Morphological evolution of the inclusions under differentλforχ=12,β=3

3.2 初始形态比β的影响

图5-6所示为β=3，5且χ=20时，不同λ下夹杂的形貌演化图。由图5可见，λ=0的夹杂沿x轴方向发生分裂，而λ=0.5的夹杂先后沿x轴方向和y轴方向发生分裂。由图6可见，λ=0的夹杂分裂时间相比图5更长，且发生了多次分裂，而λ=0.5的夹杂形成了狭长指状延伸。

图5 β=3,χ=20时，不同λ下夹杂的形貌演化图Fig.5 Morphological evolution of the inclusions under differentλforβ=3,χ=20

图6 β=5,χ=20时，不同λ下夹杂的形貌演化图Fig.6 Morphological evolution of the inclusions under differentλforβ=5,χ=20

4 结 论

本文相场模拟了相对电场强度χ和初始形态比β对不同电导率λ的夹杂形貌演化的影响，得到主要结论如下：

（1）在电迁移作用下，夹杂沿电场方向发生漂移，且λ越大，夹杂的漂移速度越慢。

（2）对于一定β的夹杂，λ越大，夹杂分裂时所需的χ越大。

（3）当χ较大、β较大时，λ小的夹杂容易分裂；β较小时，λ大的夹杂容易分裂。