留学生全英文数学I课程基本数学公式推导

文传军 任雪静

基金项目：国家自然科学基金青年项目（项目编号：1901061），常州工学院教改校级课题（项目编号：A3-4402-18-024，31820320002-QYWKC-005）

作者簡介：文传军（1976—），男，博士，讲师，研究方向为模糊聚类。

任雪静（1988—），女，博士，讲师，研究方向为基础数学。

摘要：随着“一带一路”建设的进一步深入，我国高等教育国际化规模和水平不断扩大和提升，留学生全英文教学构成了留学生教育的重要支持方式。数学I课程是针对留学生全英文教学的基础数学课程，对该课程中的部分数学公式做了推导归纳整理和总结，以满足留学生全英文数学I课程教学的需要，并提升国际留学生对数学公式的理解。

关键词：留学生 全英文授课 数学I 基本数学公式 推导

中图分类号：G633.6   文献标识码：A   文章编号：1672-3791（2021）12（c）-0000-00

Abstract： With the further development of the “Belt and Road” construction， the scale and level of the internationalization of my country's higher education continue to expand and improve， and English teaching for international students constitutes an important support method for international student education. The Mathematics I course is a basic mathematics course aimed at foreign students teaching in English. Some mathematical formulas in this course are deduced， summarized and summarized to meet the needs of foreign students in teaching the English Mathematics I course and improve international students’ understanding of mathematics formulas. understanding.

Key Words： International students; Taught in English; Mathematics I; Basic mathematical formulas; Derivation

1 引言

“一带一路”建设是习近平新时代中国特色社会主义理论的重要组成部分，“一带一路”建设工作的进一步深入，体现在中国作为支撑和维护国际与地区和平与发展的主要力量，日益紧密地主导和参与世界各项活动，而教育国际化也成为中国高等教育发展的重要发展趋势。来华留学生教育极大提升了我国软实力和影响力，有利于我国高等教育建设世界一流大学，促进我国全方位融入并影响国际潮流。全英文教学课程建设成为中国高校及高等教育国际化重要构成方式。

众多学者对留学生全英文授课问题进行了研究。付承英[1]针对留学生英语基础好，思维活跃，爱记笔记但有少数学生学习积极性不高，旷课和迟到等特点，在教学过程中通过选拔英语基础好，教学能力强，教学经验丰富的教师，采用灵活多样的教学方法和加强学生教学过程的管理等途径有效地提高全英文教学质量。蔡晓丽等人[2]从教材选择，师资准备，课堂教学的组织，考核方式以及学校保障措施等方面对高校留学生计算机公共课全英文教学进行了经验总结.包括精选全英文经典教材，录制教学视频进行翻转课堂教学，开发集实验，测试，阅卷等多功能于一体的教学软件，并加强全英文师资的英语培训与同行交流，以期逐步提高全英文教学质量，促进全英文教学更好地开展。杨媛等人[3]对昆明医科大学2016级49名MBBS留学生生理学全英文期末考试试卷进行统计分析，结论表明，2016级MBBS留学生生理学全英文期末考试成绩略呈负偏态分布，试卷总体难度适中，试卷区分度和信度良好，为进一步完善教学方法，提高教学效果提供依据。武瑞勇等人[4]结合留学生自身的语言、文化、习惯等特点，在师资队伍培养、教学内容选择、备课、教学、考核等环节，初步总结和探讨了提高留学生动物学教学质量的方法与举措，希望对其他高校留学生的动物学全英文教学有所帮助。何蕊等人[5]在留学生本科教育全英文体系中针对机械类及土木类开设全英文工程图学课程.很大程度上改善了留学生中文水平低，难以掌握知识、通过率低下的现状。全英文课程提高了学生的学习兴趣，通过率也明显高于参加中文课程的留学生。黄雄飞等人[6]针对留学生病理学英语授课过程存在的师生沟通困难等问题，提出通过强化师资培训，优化课程设计，重视教材建设，改革教学手段以及采用多元考核方式等综合措施提高教学质量。刘永涛[7]针对土木工程专业的流体力学全英语课程，结合来华留学生的学业特点和课程特点，在课程教学大纲、教学内容、教材和授课方式以及师资配备等方面，融入中国传统文化和现代科技，开展了体系性建设的探索和实践。凌思涛等人[8]以中国矿业大学对机械工程专业来华留学生开设的《计算方法》全英文课程教学为例，探讨分析现阶段高校开展留学生全英文教学过程存在的问题，并有针对性地提出了相应的改革办法，以期为高校进一步开展来华留学生全英文教学的后继课程提供参考。史海英[9]在长期国际合作办学和双语教学实践的基础上，以微观经济学课程为例，探讨了该课程新形势下的全英文教学工作中面临的新问题，并针对这些问题提出了点、线、面协同整合的全英文教学策略。

全英文数学I是针对留学生基础数学知识教学的主干课程，对该课程中的部分数学公式做了推导归纳整理和总结，以满足留学生全英文数学I课程教学的需要，并提升国际留学生对数学公式的理解[10]。

2 全英文数学I基础数学公式推导

2.1 全英文数学I课程介绍

全英文数学I课程是高等工科院校留学生必修的重要的基础理论课，为学生培养分析问题、解决问题的能力，抽象思维和逻辑思维能力，为学生进一步学习后继课程，打下扎实的基础。

该课程主要包括：第一章集合和不等式，主要包括集合、不等式的性质和不等式的解法。第二章简单的逻辑，主要包括命题、充分和必要条件，简单的逻辑连接词和全称量词和存在量词。第三章映射和函数，主要包括映射和函数、函数的单调性、函数的奇偶性、反函数等。第四章三角函数和反三角函数，主要包括角的概念、任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系式、诱导公式和正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图像和性质等。第五章两角和与差的三角函数，主要包括两角和与差的三角函数、二倍角公式、半角公式和三角函数的积化和差以及和差化积公式等。第六章数列，主要包括数列、等差数列、等比数列和数列的极限和四则运算等。

該课程一般安排为80个课时，从教学内容可知，教学主要涉及多个初等数学教学内容，包括大量的数学公式，需要对一些主要的数学公式进行展开证明和推导，帮助留学生理解和掌握。

2.2 全英文数学I基础数学公式推导

2.2.1 勾股定理简介

公元前十一世纪，数学家商高（西周初年人）就提出“勾三、股四、弦五”。意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，根据该典故称勾股定理为商高定理。实际上商高给出的是一对勾股数，即满足勾股定理的正整数数组，公元前约三千年的古巴比伦人就知道了许多勾股数组，并在建筑宏伟的金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时进行了应用。公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯给出了勾股定理的严谨证明和定理形式化描述，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即。作为整数学派带头人所取得的开创性成果，该学派还专门为此屠宰了一百头牛进行了庆祝，因而西方人都习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理或者百牛定理。公元三世纪，三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理做出了详细注释，用数形结合得到方法，给出了中国人关于勾股定理的详细证明。

2.2.2 勾股定理的比较经典的证明方法

（1）经典拼图证明方法。

以为边长分别构造两个正方形并排放置，如图1所示，然后分别截取两个直角三角形，其中直角边为，斜边为并对应填补，构成一个以边长为的正方形，由面积恒等从而有：

（2）简洁证明方法。

以斜边为边长构造正方形并向内翻出四个以和为直角边的直角三角形，如图2所示，很显然中间的小正方形边长为长直角边减短直角边。通过整体和分块两种方式计算图形面积且恒等，所以有：

（3）总统证明方法。

该方法为美国第20任总统加菲尔德提出，所以人们又称其为“总统证法”。以斜边为边长构造正方形并向外翻出四个以和为直角边的直角三角形，如图3所示。通过整体和分块两种方式计算图形面积且恒等，所以有：

2.2.3 勾股数对

回到勾股定理开篇之初，根据对勾股定理证明的叙述，可以知道，所谓的勾股数对并不构成为一个严格意义上的定理，因为定理需要抽象的条件和结论，需要严谨的逻辑推理、形式化的公式推理，勾股数作为满足勾股定理的正整数数组，只能称作为勾股定理的特别个例，即勾股定理在正整数对中的验证和应用，这样的勾股数对是非常多的。

勾股数对是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，常用生成勾股数对的方法是：（3n、4n、5n）（n是正整数），这是最著名的一组，很显然有：

这样生成的勾股数对包括：（6、8、10）、（9、12、15）、（12、16、20）等，分别对应n取2，3，4等的情况。

又由于任何一个勾股数组（a，b，c）内的三个数同时乘以一个正整数n得到的新数组（na，nb，nc）仍然是勾股数，所以一般想找的是互质的勾股数组。

2.2.4 勾股定理的历史影响和价值

勾股定理是欧氏几何的基础定理，并有巨大的实用价值。这条定理在几何学中是一颗光彩夺目的明珠，被誉为“几何学的基石”。它是论证几何的发端，是历史上第一个把数与形联系起来的定理，并导致了无理数的发现，引起第一次数学危机，进而大大扩展了数的范畴和对数对理解。同时勾股定理在高等数学和其他科学领域也有着广泛的应用。

在历史上，勾股定理影响了很多后来的研究，其中还有一个值得后人铭记的故事。毕达哥拉斯是整数学派的带头人，整数学派认为整个世界可以被整数或者整数之比所描述和刻画，但整数学派弟子希伯索斯在勾股定理基础上发现，若两个直角边为1的情况下，斜边将会是一个大于1而小于2的数，不能为整数所描述，直接推翻了整数学派的根基。

希帕索斯勤奋好学且善于观察分析和思考。他研究了这样的问题：“边长为1的正方形，其对角线的长是多少呢？”希帕索根据毕达哥拉斯定理，计算是根号2，并发现根号2既不是整数，也不是整数的比。但根据老师的观点，根号2是不应该存在的。他把自己的研究结果告诉了老师，并请求给予解释。然而毕达哥拉斯不敢承认根号2是一种新数，否则整数学派的理论体系将面临崩溃，最后他采取了错误的方式：下令封锁消息，也不准希帕索斯再研究和谈论此事。

希帕索斯通过长时间的思考，认为根号2是客观存在的，只是老师的理论体系无法解释它，这说明老师的观点有问题。后来，他不顾一切地将自己的发现和看法传扬了出去，整个学派顿时轰动。毕达哥拉斯恼羞成怒，决定对希帕索斯严加惩罚。希帕索斯听到风声后，连夜乘船逃走了。然而就在他所乘坐的海船后面追来了几艘小船，毕达哥拉斯学派的打手出现在他的面前，他被绑上了手脚，扔进到了大海，为根号2的诞生献出了自己的生命。

然而真理是打不倒的。根号2的出现使人类认识了一类新的数——无理数，也使数学本身发生了质的飞跃。根号2很快就引起了数学思想的大革命，作为无理数之父，希帕索斯被后人永远铭记，他不谓权威、勇于创新、敢于坚持真理的精神，始终激励着后来人。

2.3 全英文数学I课程施教要求

2.3.1 师资力量方面

教师在全英文数学I课程教学过程中扮演着十分重要的角色，是有效实施全英文数学I课程教学的核心。全英文数学I课程教学不仅要求教师具备过硬的专业知识水平，而且还要具备一定的英语水平，教师在课堂上应恰如其当地将数学I课程内容与英语有机结合，调动学生的学习积极性，才能达到较好的学习效果。 全英文数学I课程的实施，应选派高学历英文表达能力强的年轻教师组成教学团队，同时通过资源共享、分工协作等方式，不断完善教学资料，互相备课听课并相互交流沟通，以促进全英文数学I课程教学水平的提升，并通过网络等手段不断学习，增加知识和英语能力储备，以满足留学生教学培养的需要。

2.3.2教材选择和相应教学方式

全英文数学I课程教学教材选择主要有两种方式，一为全英文原版教材，一为中国教师编写全英文数学课程教材，教材的选择应结合留学生实际水平进行。相应地，在教学课件准备中，也应符合学生实际情况，教师在制作数学课件时，除了公式之外，涉及语言表达的地方，尽可能地将英文配套对应在PPT上。在课堂的教学中，全英文数学I课程教师尽可能地采用英语表达，同时注意观察学生的接受情况，当学生语言理解较差时，则辅助以符号、图表、视频等方式进行解释说明。

在全英文数学I课程课堂教学中，可以采取PPT与黑板板书相结合的方式，黑板板书用于记录教学内容基本框架以及重点难点，同时用于例题的推导与计算。PPT用于每个具体知识点的展开及知识点表格对比的演示。二者相互结合，各取所长，方便同学们理解和做笔记。另外在课前，可以将本次课所涉及教学内容的PPT通过班级群发给同学们，提醒同学们提前预习和课后复习。教师应保持与留学生有效无障碍沟通渠道，学生可以利用微信等方式与教师积极联系，在线解答同学们在自学及做作业时所存在的疑难问题。

2.3.3作业完成情况及其他

由于“一带一路”沿线国家留学生水平参差不齐，部分高校招收的留学生，甚至采取了免试直接入学的方式，进入高校学习的留学生的学习基础及学习习惯不够好，学习纪律性没有中国学生好，课后自觉并按时完成作业的自觉性很差，课后作业无法得到保证。而全英文数学I课程的特点就是学后必须练习，否则等于不学，为了保证留学生能够按时完成作业，可以采取每章节后单元测试的方式，以实现留学生对全英文数学I课程课后练习题独立自我练习的目的。学習完一章节知识点，即将该章节知识点所对应练习题打印出来，在课堂中让学生进行练习，并根据批改情况了解学生主要存在的问题再抽时间进行评讲，弥补学生学习不到位的地方。另外在期末考试中，将平时单元测试的试题和知识点，组合融入期末试卷中，以方便学生复习和考试。

3 结语

“一带一路”沿线国家来华留学生大量增加，针对留学生教育开设的全英文课程面临前所未有的挑战。针对留学生的全英文教学是我国高等教育改革的一个重要方向，是目前高校教学改革的重要研究课题。数学I课程是针对留学生全英文教学的基础数学课程，推导归纳整理了该课程中的部分数学公式，以促进留学生针对全英文数学I课程的学习。

参考文献

[1] 付承英.针对留学生的教学特点提高全英文教学质量[J].中国组织化学与细胞化学杂志，2009（4）：451-453.

[2] 蔡晓丽，胡智喜.基于翻转课堂的高校留学生全英文教学实践与探索[J].电脑知识与技术，2020，16（14）：169-170，175.

[3] 杨媛，金会艳，吕靖，等.MBBS留学生“生理学”全英文期末试卷分析[J].山东化工，2020，49（1）：181-182，184.

[4] 武瑞勇，李世平，杨凤萍，等.留学生动物学全英文教学实践与探索[J].教育教学论坛，2020（22）：254-255.

[5] 何蕊，高岱，栾英艳.留学生工程图学课程全英文授课实践与探索[J].教育教学论坛，2020（2）：210-212.

[6] 黄雄飞，陈丽红，陈淑勤，等.来华留学生病理学英语教学实践[J].福建医科大学学报：社会科学版，2020，21（1）：41-44.

[7] 刘永涛.浅析来华留学生本科流体力学全英语课程建设[J].新课程研究，2020（6）：38-40.

[8] 凌思涛，王海军，陈兴同，等.来华留学生《计算方法》全英文课程教学初探[J].教育现代化，2020，7（12）：83-85.

[9] 史海英.对“一带一路”沿线国家来华留学生的全英文课程教学策略探讨——以微观经济学课程为例[J].教育教学论坛，2020（15）：249-251.

[10] KIM E H. Study on the Impact of Accounting Courses Taught in English on Students' Academic Achievement and Course Satisfaction ： Study Based on Students Taking Cost Accounting in University A[J]. Korean Journal of Accounting Research， 2016（4）：157-179.

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