谈谈解答排列组合问题的三种手段

李京华

排列、组合是高中数学中的重要知识，也是高考的必考内容.排列组合问题对同学们的抽象思维和推理分析能力有较高的要求.在解答这类问题的过程中，我们很容易“遗漏”或者“重复”一些排列顺序，由于答案涉及的情况比较多，很难进行检验，所以这类题目是比较容易丢分的题目.对此，笔者对解答排列组合问题的手段进行了分析和归纳.

一、特殊元素法

若题目中对某些元素或位置有特殊的要求，则需采用特殊元素法，先讨论这些特殊元素的位置，将其顺序安排好，再分析其他没有特殊要求的元素，最后运用分步计数原理求得问题的答案.

例1.将10颗玻璃珠和10個纸盒分别用数字1，2，3，4， ， 10标记好，在每个纸盒中放入一个玻璃珠，那么刚好有3 个玻璃珠的号码和其所在纸盒的号码不同的情况有多少种？

解析：题目的特殊元素为与所在纸盒的号码不同的3 个玻璃珠.需采用特殊元素法求解，先将这3个玻璃珠优先安排，再排其他的玻璃珠的位置.

解：从10 个纸盒中挑选出3 个，有C310 种挑法，再将与这3 个纸盒的号码不相同的玻璃珠放进去，假设所选的纸盒为1号，2 号，3 号，如图所示，1号玻璃珠只能放进2、3号纸盒里面，有2 种放法;而剩下的2 、3号玻璃珠只能有一种放法，因此，一共有：C310 ×2×1=240 种可能的情况

二、插空法

有些题目要求某些元素不相邻，则需采用插空法进行求解.运用插空法解题，需先安排其他元素的位置和排列顺序，然后确定这些元素之间的空隙的个数（根据实际情况确定是否要考虑两端的位置），再将要求不相邻的元素插入空隙中，最后根据分步计数原理求解.

例2.街道的一侧放有红色、黄色、蓝色、绿色的4个垃圾桶和3个黑色垃圾桶（垃圾桶大小一致），要求相邻垃圾桶的颜色不同，则一共有多少种放法？

解析：由“相邻垃圾桶的颜色不同”可知本题为不相邻问题，需采用插空法求解，先将红色、黄色、蓝色、绿色的垃圾桶的顺序排列好，再将黑色的垃圾桶插入其间隙中，就能保证相邻垃圾桶的颜色不相同.

解：先将红色、黄色、蓝色、绿色的4个垃圾桶排列，有A44=24种放法;

这4个垃圾桶中间一共有3个空隙，将3个黑色垃圾桶插入3个空隙和两端的位置，有C35 =10 种放法.因此，一共有A44C35 =240 种放法.

三、先选后排法

有些排列组合问题较为复杂，在解题时可以考虑采用先选后排法求解，先将某些元素选出，再对元素的顺序和位置进行排列.解答此类问题需灵活运用分类计数原理和分步计数原理.在解题时，不仅需要明确哪些元素属于同一类，哪些元素需要作分类处理，在选出元素后需不需要分类进行讨论，还要明确完成一件事情需要分多少个步骤，再逐步进行讨论.

例3.用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？

（1）比21034大的偶数;

（2）左起第二、四位是奇数的偶数.

问题（1）中要求所组成的数是比21034大的偶数，因此需先选出末尾数字，以便确保组成的数字为偶数，再选择首位、千位、百位、十位上的数字;问题（2）中要求所组成的数从左起第二、四位是奇数的偶数，就需先选出末尾数字，再选择第二、四位上的数字，最后再排列其他位置上的数字.

总之，无论运用哪种方法解题，我们都需挖掘问题的本质，明确问题中的元素是否有特殊要求、是否要求相邻、是否要分类、事件是否要分步完成，然后灵活运用分类计数原理和分步计数原理进行求解.

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