基于儿童立场的简易方程研读及思想方法剖析

2021-03-07李林婧

文山学院学报 2021年3期

李林婧

（文山学院教师教育学院，云南文山 663099）

1 问题的缘起

在一次近期观摩的《解简易方程》数学示范课中，教师通过一系列等式与不等式的对比后得出“含有未知数的等式叫做方程”。遗憾的是没有学生能够提出 “那么学过的公式，例如正方形周长是否算作方程呢？”。这样的现象一方面反映出教师讲什么学生就学什么，缺少质疑能力，另一方面作为教育工作者不得不思考：通过这样学习后学生是否真正的理解了方程本质？这样理解方程对学生后继学习列方程是否有影响？因此，在方程教学前教师很有必要对这部分内容进行整体的研读，从儿童发展与需要的角度，读透教材知识结构与基本线索，深挖知识本质与内在联系。

1.1 简易方程在数学教学中的重要性

简易方程属于早期代数的核心主题，在数学课程标准中亦是数与代数领域的一个重要内容。对简易方程的理解程度直接影响小学后一阶段分式方程的学习。而小学阶段的早期代数基础，又为初中的一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程以及高中阶段三元方程、高次方程的理解提供了支持。甚至更大程度影响着学生今后关于方程与函数间的区分、认识与理解。由此可以看出，学好简易方程可提升代数的综合应用与理解能力，为中学进一步学习打下基础。

1.2 小学简易方程教学中的难点问题

1.2.1 学生学习存在的障碍以及产生障碍的原因

（1）受算数思维定式，很难构建与新内容相匹配的认知图式。

在第一学段（1至3年级）教师会尽量避免提及方程思想，学生惯性使用的算术法多是逆向思维。到了第二学段（4至6年级）突然接触代数，方程的引入打破学生的常规，逆向思维到顺向思维转变的适应度不够。因此部分学生感受到学习更抽象、更有阻力了，与前一阶段的学习不一样了！产生了一定的学习压力，有时甚至降低了学习热情。

（2）列方程局限于模仿，没有建模意识。学生对于方程认识基于表层，并未感受到方程的出现是基于解决问题。学生在课堂上仿佛听懂了教师的列方程解题思路，但稍加变化问题条件与结论，独立完成就变得束手无策了。

（3）解方程的程序繁琐、容易出错。在算数法解题时只要能够列式，计算便是轻车熟路。而列方程解应用题需要顺向思维，求未知数需要逆向思考。学生感觉计算绕来绕去后容易出错，甚是不便。

（4）利用方程解决问题的优越性不明显。面对一个问题时，小学生总喜欢用最简单直接的方法，而不想去理解更复杂的解决方案，除非尝到其中甜头。然而初学方程时教师提出的问题较简单，算术法更易获取答案。造成学生对方程的学习动机不高，兴趣也不大。

1.2.2 教师教学存在的问题以及问题形成原因

（1）第一学段的数学教学没有对方程做好铺垫，扼杀了学生早期代数的萌芽。第一学段的教学中刻意强调算数法，抑制学生用类似方程形式思考呈现问题。这样直接导致学生从低年级开始就认为顺向思维不能很好地解决问题，只有算术法才是解题最简便的方法。但符号感的建立不能够一朝一夕就完成，到第二学段才发现学生的符号感尚未建立为时稍晚。例如，“字母表示数”一课应该是依据已有学习体验对早期代数中字母进行抽象概括，但大部分学生课后依然不能完全表述字母可以表示哪些量。

（2）部分教师不重视方程教学，功利地应付考试。一些教师认为不需要知道什么是建模与方程思想，只要能让学生列出方程，会解方程就行。另有一些教师认为，学生初次接触方程，不管怎么教都需要一个过渡与适应期。如果应付考试只要重复多次、依据公式练习自然就会“套用”了。也正因如此，虽然很多学生表面上听懂了题目，一旦稍加变化则表现得束手无策。可以看出学生是在机械模仿，并未能体会方程带来的便捷。生搬硬套的方式消磨了学生学习兴趣也不利于其思维发展。

（3）教师概念教学设计不够完善，导致学生不能完全独立列出方程。大部分小学教师在进行简易方程概念教学时，仅采用“天平的平衡性”帮助学生对简易方程的结构进行理解。然后抛出方程的定义“含有未知数的等式叫做方程”。这样的定义只能让学生从表层判断出哪些式子是方程。放到实际意义中却不能理解等号两边为什么能够、怎么能够建立平衡。这样的教学忽略了模型思想渗透，并未深刻让学生理解“未知量也能与已知量建立某种相等关系”使问题得到解决。

（4）教师的解方程教学时规则过多，使学生感受不到方程妙处，反而认为求解方程既繁琐又易错。其实学生对简单方程的求解有自己的认知，若担心学生出错而要求必须按照书本步骤，教条且按部就班，反而使计算失去了灵活度又容易出错。

（5）大多数例题选择利用算数法就能轻松解决，方程方法没有提起学习动机。依据图式理论与最近发展区理论，学生只有因旧的知识不足以解决新问题才不自觉引发对新知学习的渴望。但教材编排遵循了由易到难原则，考虑到学生方程学习中的接受能力，初学时的应用题都是简单的。学生算术法就能够轻松获取答案，感受不到方程法的益处。

2 简易方程教材研读与思想方法剖析

对简易方程教学中存在的种种问题，教师应基于儿童需要对课程标准与教科书仔细研读。在研读过程中挖掘细节、叩问本质、创新延伸。只有加深教师自身对教材蕴含的方程内容知识的理解，才能提高学生的逻辑抽象思维、分析问题、解决问题的能力[1]。以下将以人教版小学数学教科书五年级上册[2]为例，基于儿童立场对简易方程的学习进行研读与思想方法剖析。

2.1 基于儿童的认知建构，理解与反思课程标准要求

义务教育数学课程标准（2011）中对于方程的内容在第一学段中没有安排。第二学段的要求是：“在具体情境中学会用字母表示；结合简单的实际情境，了解等量关系，能用方程表示；能用方程表示简单情景中的等量关系，了解方程的作用；了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程”[3]。虽然课程标准第一学段中没有提及简易方程相关内容，但教师在早期教学中忽略对代数必要引导与铺垫，五年级学习“式与方程”就显得非常不适应。算术与代数的割裂是各国教育的传统与现实，这种割裂某种程度上会使小学生忽视现实的代数情境的意义。使得学生失去在小学接受代数思维训练的良好时机,造成了学生后期学习代数的诸多困难。

2.2 基于儿童的认知基础，叩问方程本质，创造性使用教科书

简易方程单元的第一节内容为字母表示数。在小学阶段依据学生的经验，可以将字母代表数归结为几类：（1）用字母表示任意数。（2）用字母代表某一类数。如，用字母N代表自然数；R代表实数；Q代表有理数。（3）用字母表示数量关系。如，运算定律、路程公式、变化规律等数量关系。（4）用字母表示特定未知数。如，小红出门带了10元钱，买了一些水果花了B元，回家后剩下5元。教科书中虽有具体案例，但是并未帮助学生进行概括、整理与归类。教师在课堂上可以帮助学生依据学习经验，回忆、类比、举例所学过的字母代替数字的例子，帮助学生总结得出：有时出现大量的数据、某个具体未知数据、或一种复杂的数量关系，用字母代替表示可以更方便地描述与帮助理解。对于用字母表示特定未知数的学习，也为下一节内容的学习进行了铺垫。

简易方程单元的第二节内容为解简易方程。内容的第一部分是利用天平平衡引出“含有未知数的等式就是方程。”在此不由得想起学者傅赢芳提出的两个疑问：“天平”是否反应方程的本质？“用字母表示未知数”是否反应方程本质？[4]虽然小学阶段我们不必要一定对学生介绍完备的定义，但是这样的定义略显得只重形式而忽略实质意义。这个定义还有一漏洞就是前一节内容中的运算定律、路程公式、类似函数的等式都可以包含于此定义，但它们并不属于简易方程。在此，笔者比较赞同张奠宙老先生对简易方程做出的定义：“方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。”[5]要确定这样的定义，教学引入中依然可以沿用第一节的内容。例如：小红出门带了10元钱，买了一些水果花了B元，回家后剩下5元。还可以怎样表达反映这句话的意思？相信不同的学生都有不同的表达方式，最后将学生引入到用数学语言进行表示：B+5=10或10-5=B或10-B=5等等。再让学生讨论哪种表达方式最简洁、完备、容易理解且能快速获得结果。最后在学生深入理解“把未知数与已知数建立关系”基础上引出定义。

简易方程单元的第三节内容为等式的性质，学生能够依据具体的生活经验进行理解与感悟，教师可以通过合作学习的方式让学生操作、表达与交流。重点在于，学生能够用不同的方法解释出等式左右两边同时乘或除以一个不为0的数，等式的值不变。在理解基础上的表达可以为后续的应用做足准备。

简易方程单元的第四节是解方程。在旧版本的教科书中是让学生应用四则运算法则进行求解，而新版本中是利用等式的性质。笔者认为可以大胆放手让学生去猜想验证并说明算理。所谓算理就是说清楚为什么能这样计算。只要学生说理正确清晰，没有必要纠正学生必须使用新版本教科书的算理进行计算。对于复杂的方程则可以采用划“整体”的方法分析结构，再归结为已能够解决的简单的方程进行计算。另外，可以对B+5=10或10-5=5这两种等式找找差异、找找相同点、做对比与小结，增进学生算数与代数之间的链接认识。

2.3 基于儿童的思维特点，对习题进行分类分层次设计

2.3.1 对字母表示数的练习标注所属分类

学生在练习的过程中应该进一步提升思维的系统性与完备性。可以让学生对习题分类并描述，加深对字母不仅可以表示一类数、特殊值还可以表示各种数量关系的认识。例如：教科书52至55页，主要表现的是用字母表示数量关系。练习54页第3题，使用字母表示运算律；练习54页第5题，使用字母表示公式。

2.3.2 对实际问题与方程进行模块化学习与练习

实际问题与方程这一节是对字母表示特定未知数、方程、列方程、解方程的综合应用能力的培养。教科书的应用题可以分类为：“和差问题”“和倍问题”“单价与总价问题”“行程问题（包括追及和相遇问题）”“盈亏问题”“工程问题”“销售问题”等。教师可以尝试将应用题分类后以模块形式呈现和练习，让学生从模块学习中体会利用解决同一类问题时模型的优势。

2.3.3 拔高层次让学生体会方程解决复杂问题的优势

高年级小学生都不太喜欢利用方程解题，多数时候遇到难题就主动放弃。主要原因在于学习过程中没有感受到方程的便利。教师可以制造一些特殊问题激发学生对方程的兴趣。让学生自发地感觉利用算术法的局限性，自觉主动地去探究方程的方法。

建议教师对几个模块讲解后拔高层次。首先，专设例如“鸡兔同笼问题”“年龄问题”等模块进行训练。让学生分别利用选择算术法与方程法进行计算，并讨论算理与算法。在小组合作、探究、对比中，总结方程与算数法的优缺点以及如何选择使用。其次，平时注意积累、收集特殊现实问题（使用方程是唯一或者最简便方法）。对其进行情景设计并应用于教学。例如，一快递员上午送走了车内一半的货物，又增加了18件货物，最后车内货物件数是原来货物件数的两倍，原来有几件货物？通过抛出这些类似的问题，让学生在做与讨论中感受到方程带给人们的便捷。最后，设计开放性问题。对同一个问题不断进行条件与结论互相交换、增加条件，修改结论等等的变式训练，培养发散思维。让学生养成不盲目照搬模型，遇到问题灵活应变的习惯。

2.4 基于儿童的未来发展，剖析承载的思想方法

字母表示数中体现“符号思想”。教师教学中要帮助学生认识到：符号的参与使某些复杂的文字语言变成了简单易读的数学关系；人们可以从具体情境中抽象出数量关系和变化规律并用符号表示；利用符号表示数量关系，能够比阅读文字语言更快速提取其中的关系；在一定的算法下，符号关系还可以解决特定的问题。

列方程体现“模型思想”。所谓模型，广义理解就是现实生活中抽象出来的能够解决某一类问题的数学关系。在模块化学习中所提及的“和差问题”“和倍问题”“单价与总价问题”“行程问题（包括追及和相遇问题）”“盈亏问题”“工程问题”“销售问题”“鸡兔同笼问题”等，不正是学生之前学习过程中脑海里已建立起来的一个个模型吗？小学生在五年级以前已经接触太多了！而五年级下学期，需要教师帮助学生系统地整理、归类并总结：在解决实际问题时，可以先把它归结为是否是已经建立起来的模型的问题。如果是，可以利用已经建立好的模型与问题条件进行对应并获得等量关系。

列方程与解方程中的“化归思想”。列方程的过程是化归为已知模型的过程。如果不是已知模型的问题，一样可以在条件中分析对比出相似的模型，类比联想获取新模型。同样的，解方程就是把未知数化为已知数的过程。如果不能直接求出未知数，就转化为求一个结构式，通过求出这个结构中的某个式子能进一步得到未知数的值。

算术体现逆向思维过程，方程体现顺向思维过程。用一个形象的例子比喻算术与方程就好像柯南探案。算术法是倒推着寻找线索，获得一个小结论再进一步倒推直到获取真相。方程法是顺着事件的发展顺序去梳理线索，找到线索之间的相互关联获得前因后果。然而，在求方程的解的过程又是一个体现了逆运算的过程。