2019年全国卷Ⅰ理科数学17题评析与备考建议

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20 19年高考全国卷Ⅰ理科数学17题，考查了正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等知识的应用，涉及的知识较为基础，难度适中，是考生较易得分的题目.

一、真题再现

17.△ABC的内角 A，B，C的对边分别为a，b，c.设（sinB-sinC）2=sin2A-sinBsinC.

(1)求A;

二、试题分析

对于第（1）问，只需由正弦定理将条件中关于三角正弦的关系等式转化为三边关系等式，再结合余弦定理的表达式，即可轻松求解.

对于第（2）问，主要有两种思路.思路一:先利用正弦定理将已知条件中关于三边的关系等式转化为关于三角正弦的关系等式，再结合三角恒等变形公式即可求解；思路二:先将已知条件中关于三边的关系等式与余弦定理表达式联立，得到含有a、c的关系式，再结合正弦定理即可求解.

由此可见，该题的考查内容、设问方式以及解题思路和方法，均是考生复习时所熟悉的，难度也与往年相当，起到了稳定考生心态、缓解考生情绪的作用.

三、考生存在的问题

1.基础知识薄弱，答题信心不足

如图1，考生能由已知条件等式的结构特征入手，选择正弦定理将三角正弦关系等式转化成三边关系等式，再结合余弦定理顺利求解第（1）问.但面对第（2）问，因为条件等式系数结构不整齐，且与所求值之间的联系跨度较大，加之考生基础知识薄弱，造成心理压力大或情绪紧张，故不能进入第（2）问的求解.

图1

图2

2.解题思路不清晰造成运算困难

如图2，在第（2）问中，由已知条件结合正弦定理、三角形内角和定理、三角公式可得含有sinC的三角方程，即可得解.但考生未能掌握常规思路，而是采用平方手段对式子进行变形，且去掉了已经求得的角A，这样无形之中就给后续运算造成很大的困难，无法继续解题.

3.运算不仔细导致解答错误

如图3、图4，两位考生的解题思路清晰，在第（2）问的处理中，图3考生采用了去C留B的方法，思路清晰，运算简捷，但却将cosB的值求错；图4考生将已知条件与余弦定理表达式联立，得到含有a、c的二次齐次方程，再将sinA的值代入，利用二次方程求根公式求解，但在整理时方程中部分系数的计算出现错误，最终未能得到正确结果.

图3

图4

4.三角恒等变形掌握不牢

在图5中，考生不能准确使用辅助角公式，在三角函数式变形过程中出现正负号错误表达，虽然最终答案正确，但属于错来错去结果碰巧对了，且增根的舍去也没有说明理由；在图6中，考生没有采用常用的辅助角公式进行化简整理，致使出现运算方面的困难.这些都是因为考生对三角恒等变换的应用不够熟练而造成的.

图5

图6

5.缺乏对运算结果检验的意识

如图7，由于考生没有选择常用的辅助角公式进行变形整理，而是选择了与同角三角函数关系式进行联立，致使最终出现了两组计算结果.这时考生应对所得结果进行检验，然后去掉增根，但考生明显缺乏这种检验意识，因而造成失分.图8也是这个问题.

图7

图8

6.书写不规范导致失分

有的考生对第（2）问的解答明显缺少主要的解答步骤和重要的计算过程.例如，开始进行边角转化时，缺少对正弦定理的解释说明(见图8)；有的考生对一些重要数据的由来解释得过于简单，缺少必要的演算步骤，属于跳步作答(见图8、图9)；个别考生书写格式随意，字迹潦草，致使最终计算结果错误(见图10).以上都是造成不必要失分的原因.

图9

图10

四、高三备考建议

1.夯实双基，树立信心

对正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等基本知识和方法的复习要做到稳扎稳打、不急不躁.对两个定理的表达式、证明方法、适用类型、主要应用都要清楚，对三角恒等变换公式的由来、易错点、注意事项也要清楚。

2.勤于反思，提升素养

复习时，要重点理解数学概念、定理、公式、方法的来龙去脉；解题时，要勤于反思，体会知识运用过程中蕴含的思想方法，如转化与化归、方程思想等，而不是盲目地大量练题。夯实逻辑推理和数学运算两大基本功，是考生备考的主要任务，也是学科素养提升的重要途径.

3. 关注学科内知识的综合

新课标理念下的解三角形知识是以向量知识探究应用的形式出现的，可见，以向量为工具研究解三角形问题将成为一种主要视角。考生对此要有思想准备，备考中应适当关注向量与解三角形相结合的问题.

4.规范书写，严谨作答

数学重点考查考生的理性思维，而理性思维的主要体现就是逻辑推理能力.考生解答数学试题时，要力求做到推理严谨、计算准确、作图清晰、语言规范，以期更好地反映自身数学素养，避免高考时“会而不对，对而不全”问题的发生.