用空间向量解决立体几何问题的建系策略

黄芹

立体几何是高中数学知识体系中的重要知识模块，也是高考重点考查的核心内容之一。空间向量是求解立体几何问题的一个重要工具，利用空间向量解答立体几何问题，主要突破“四关”：第一关，建系;第二关，求点的坐标;第三关，求法向量;第四关，应用公式。然而如何建立恰当的空间直角坐标系并求出点的坐标是用空间向量解决立体几何问题的关键所在。下面以典型的几何体：棱柱、棱锥、多面体为载体，以典型的问题情境设计：求线面角、求二面角、探索性问题、翻折问题为背景，剖析建立空间直角坐标系的常用途径。

途径一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建空间直角坐标系

分析：（1）几何体中有三条直线两两垂直，直接建系。（2）空间向量非常适合于解决立体几何中的探索性问题，只需要建立恰当的空间直角坐标系，通过坐标运算把“是否存在”的问题转化为“点的坐标是否有解”的问题。

总结：建系的关键是找到垂直关系。判断线线垂直的常用结论：正方形、矩形、直角梯形;等腰三角形底边上的中线与底边垂直;菱形的对角线相互垂直;勾股定理逆定理;线面垂直性质定理等。

途径三、利用面面垂直关系，构建空间直角坐标系

总结：先由面面垂直性质定理得到线面垂直，再建立空间直角坐标系。建系时让一些点、线段尽量与坐标轴重合。在利用法向量解决线面角及二面角大小时，一定要注意正确运用公式，并判断所求二面角是钝角还是锐角。

立体几何解答题通常分步设问，既考查同学们的空间想象能力与逻辑推理能力，也考查运算求解能力。问题情境千變万化，但万变不离其宗的是：立体几何解答题的考查归结为点、线、面的位置关系，以及角度、距离的求解。空间向量工具是解决立体几何问题的“尚方宝剑”，空间直角坐标系是“定海神针”，三种建系途径若能熟练掌握，定能提高分析问题的能力和解题速度。

（责任编辑 王福华）