基于复杂网络的纽约轨道交通网络特性分析

李卫东，徐澍锟，王运明

(大连交通大学电气信息工程学院，辽宁 大连 116028)

0 引 言

城市轨道交通系统作为城市公共交通的重要组成部分，具有运量大、速度快、安全性高等特点，是各大城市缓解交通拥堵的主要措施，对于城市的交通运行起着至关重要的作用[1]。由于城市轨道交通客流量大、人员密集度高，一旦发生故障、恐怖袭击等事件会造成多个站点甚至多条线路的瘫痪，进而引发公众安全与经济损失问题。随着对复杂网络研究的兴起和深入，复杂网络理论已成为对各种网络进行分析的主要工具。因此，以复杂网络理论为基础，建立城市轨道交通网络模型并分析网络特性有助于预防或者降低恐怖袭击、自然灾害以及交通拥堵造成的损失，保障城市轨道交通系统的安全高效运行。

自Watts等人[2]提出小世界网络模型和Barabasi等人[3]提出无标度网络模型以来，复杂网络理论在多个领域得到了广泛应用。在轨道交通领域，许多学者利用复杂网络理论开展了轨道交通网络建模与特性分析的研究。Von Ferber等人[4]提出了公共交通网络模型的4种构建方法：Space L法、Space P法、Space B法和Space C法，这些方法成为了目前轨道交通网络建模的主要方法。Lin等人[5]利用复杂网络理论分析了2003—2013年间城市公共交通网络的变化情况，并指出利用Space L法和Space P法构建的网络模型表现出的拓扑特性略有差异。张晋等人[6]利用Space L法和Space P法构建了北京轨道交通网络模型，网络表现出小世界和无标度特性。杜斐等人[7]利用Space L方法建立了上海轨道交通网络模型，网络也表现出小世界和无标度特性，面对随机故障时具有较强的鲁棒性，而面对蓄意攻击时表现出脆弱性。Luo等人[8]分别利用Space L和Space P方法构建了地铁—公交混合交通网络模型，研究了地铁站点故障对客流传播规律的影响，并给出客流疏散的合理建议。Latora等人[9]建立了波士顿地铁网络模型，得出网络具有小世界特性，并分析了网络的容错性。王志如等人[10]分析了世界上52个城市地铁网络的特性，不同城市地铁网络的度分布介于指数分布与幂律分布之间。Derrible等人[11]分析了33个城市地铁系统的复杂性和鲁棒性，并给出了提高地铁网络鲁棒性的方案。黄爱玲等人[12]构造了考虑公交客流量因素的公交线路加权复杂网络模型，并结合北京市实际客流数据，对其网络复杂特性进行了研究与分析。邢莹莹等人[13]以上海轨道交通网络为研究对象,使用复杂网络理论构建拓扑网络并以断面客流为权重分析了节点强度、加权最短路径等指标及其分布规律,定量计算各个站点对于蓄意攻击的脆弱性。

Space L方法具有的直观、便捷特征使得该方法成为城市轨道交通网络建模与特性分析的重要方法。以上大多数研究主要建立的是无权网络模型，忽略了网络中权重的存在，也就是忽略了连接2个站点间的线路数量的不同。而加权网络的研究将客流量因素考虑为网络的权重，忽略连接2个站点间的线路数量不同将可能造成影响。纽约轨道交通网络存在较多的2个站点之间多条线路通过的情况，如不考虑此特征则无法准确描述纽约轨道交通网络的拓扑特性。因此，本文利用Space L方法，考虑2个站点之间存在多条轨道的情况，建立纽约轨道交通加权网络模型，并利用复杂网络的相关特性指标对比分析纽约轨道交通无权网络和加权网络的拓扑特征和鲁棒性。

1 基于复杂网络的纽约轨道交通加权网络模型

1.1 纽约轨道交通加权网络模型

轨道交通网络拓扑结构模型的构建主要有4种方法[4]：Space L、Space P、Space B和Space C。相较于其他方法，Space L建模方法具有直观、简单的特点，能够直观地描述轨道交通网络。因此，本文采用Space L方法构建纽约城市轨道交通网络模型，把地铁车站抽象为网络的节点，2个站点之间的线路抽象为网络的边。同时，考虑到节点之间存在多条连边的情况，为了更好地反映网络节点之间相互作用强度的差异和真实网络的动力学复杂性，选择构建纽约轨道交通的无向加权网络模型。

研究加权网络首先要确定权重的赋予方式，目前加权网络有2种表示权重的方式：相似权和相异权[14]。相似权的权重表示节点之间的关系紧密程度，权重越大，关系就越紧密，两点之间的距离就越小。对于轨道交通网络，2个站点之间的连边越多，则相似权的权重就越大，联系就越紧密；相异权的权重类似于两节点之间的距离，权重越大，关系就越疏远，权重越小，关系就越紧密。根据轨道交通网络的特性，本文在建模过程中的权重统一考虑为相似权。

以纽约地铁中L号线、6号线、R号线、W号线的交叉站点为例，采用Space L方法建立网络模型，如图1所示。站点包括6 Av、14 St-Union Sq、3 Av、23 St、8 St-NYU、23 St、Astor PI，站点编号为1～7，为网络的节点。线路包括L号线、6号线、R号线、W号线，为网络的边。边与节点的关系为：L号线经过1、2、3这3个站点；R号线经过4、2、5这3个站点；W号线经过4、2、5这3个站点；6号线经过6、2、7这3个站点。

图1 L空间示意图

若节点i和j之间没有连边，则ai,j=0；若节点i和j之间有1条连边，则ai,j=1，例如节点1和节点2之间只有L线经过，所以a1,2=1；若节点i和节点j之间有多条连边，如m条连边，则ai,j=m，节点之间相连边的条数即为相似权的数值，m越大代表这2个站点之间的联系越为紧密。例如节点2和节点4之间有R线、W线这2条线路经过，所以a2,4=2。令ai,i=0即没有自环。网络邻接矩阵AL可表示为：

对纽约轨道交通网络的数据作以下说明:

1)依据纽约地铁官方网站提供的2019年纽约市轨道交通网络线路图建立加权网络的拓扑模型。该线路图涵盖有27条运营路线，440个站点。

2)考虑到各轨道交通线路间有重叠的站点，统一认为是一个站点几条线路从中经过。

3)不考虑各条地铁线路上列车发车频次的不同，同时对2个站点间列车行驶的方向不加区别。区分2个站点之间线路条数的不同，并以线路条数作为该连边的权值，由此得到的地铁网络为无向加权网络。

4)本文利用Gephi、Pajek软件对数据进行处理并相互验证，获得轨道交通网络的各种特征参量值，在Matlab 2019a环境下进行编程，利用拓扑邻接矩阵得到网络可靠性各项度量指标的值。

进行上述数据处理后，采用Space L方法构建的纽约地铁网络拓扑模型如图2所示。

图2 纽约地铁加权网络拓补图

1.2 加权复杂网络特征指标

1)点权分布。

与拓扑网络相比，边权的异质性是加权网络最重要的特征，反映了网络节点之间相互作用强度的差异和真实网络的动力学复杂性。在加权网络中，点权也叫点强度，点权的大小表示该节点的重要程度。节点vi的点权Si定义为与它关联的边权之和[15]，定义为：

(1)

其中，Ni为节点vi的相邻节点的集合；wij为连接节点vi和节点vj的边的权重。

定义P(k)表示点权为k的节点在整个网络中所占的比率，即在网络中随机取到点权为k的节点的概率为P(k)，利用P(k)可以得到整个网络中所有节点的点权分布。

2)路径长度。

平均路径长度表示网络中任意2个节点间最短路径长度的平均值，可以从整体上刻画网络节点间的链路长短[16-17]。对于加权网络来说，平均路径长度考虑每条边的权重。平均路径长度定义为：

(2)

其中，dij表示网络中节点vi和节点vj之间的最短距离，N表示网络节点数。

3)聚类系数。

聚类系数表示节点与邻接点之间相互连接的程度。针对加权网络，Onnela等[19]给出的加权聚类系数定义为：

(3)

4)网络连通系数。

网络连通系数C[20]表示网络的连通程度，定义为：

(4)

其中，ω为网络连通分支数，Ni为第i个连通分支中节点数目，N为网络节点总数目，li为第i个连通分支的平均最短路径，即该连通分支中任意2个节点之间最短连接距离的平均值。

5)网络效率。

Latora等人[21]提出的网络效率能够衡量网络交换信息的效率，定义为：

(5)

其中，N为网络节点总数，Eglob的取值范围是(0,1]。

网络遭受随机故障或蓄意攻击后，部分节点会失效，网络节点数量发生变化，基于变化后节点数量定义的网络效率为：

(6)

网络效率下降表示网络连通性降低，进而引起网络的鲁棒性变差。本文采用网络效率的相对值rEglob作为轨道交通网络鲁棒性的评价指标，其定义[22]为：

(7)

6)最大连通子图。

最大连通子图表示网络遭到破坏前后网络拓扑结构的变化情况，通过比较网络遭到攻击前后最大连通子图的相对大小，能够直观反映网络遭到攻击与破坏的程度。最大连通子图比例定义为：

(8)

其中，N′表示轨道交通网络遭到攻击后网络中最大子图的车站数目，N表示网络的车站总数。

2 纽约轨道交通网络特性分析

以纽约城市轨道交通加权网络模型为基础，对比分析无权网络与加权网络的特性。经过Matlab仿真计算得到：模型中网络节点数为440个，连边数为496个，其中有22%(114条)连边权重大于1，权重的最大值为4。表示纽约轨道交通运营网络共有440个站点，496段区间线路，其中22%的区间线路都有多条线路经过，2个站点间最多有4条线路同时经过。纽约轨道交通网络的复杂网络特征指标对比计算结果如表1所示。

表1 纽约市轨道交通网络特征指标对比

由表1可知，将纽约轨道交通网络加权后，节点平均度增加0.618，说明网络中站点之间的联系有所加强；平均路径长度减少2.772，网络直径减少7，说明网络增加相似权后，使得站点紧密度有所加深，网络中最长线路长度有所减小。聚类系数与网络连通系数没有变化。下文将运用多个网络指标对无权、加权网络的网络特性及鲁棒性进行进一步的对比分析。

1)点权分布与度分布。

在轨道交通网络中，度与点权的大小表示该站点的重要程度，度与点权越大，该站点越重要。纽约轨道交通网络度分布如图3(a)所示，点权分布如图3(b)所示。

(a) 累计度分布拟合图

从图3可知，纽约轨道交通无权网络的度分布与加权网络的点权分布均服从幂律分布，分布函数分别为：p(k)=2.768k4.203,p(S)=2.352S3.216。幂律指数γ分别为4.203、3.216，拟合系数R2分别为0.8362、0.7184。度分布的幂律分布拟合效果较好，且度分布的幂律系数不位于[2.1,4]之间，说明在无权网络下不符合无标度网络的幂律特性，即纽约轨道交通无权网络在L空间中不是无标度网络，而纽约轨道交通加权网络在L空间具有无标度网络特性，说明引入权重与网络拓扑具有一定关联性。

2)平均路径长度。

轨道交通网络的平均路径长度表示网络线路中任意2个站点之间最短路径长度的平均值。采用广度优先算法计算得出纽约轨道交通无权、加权网络平均距离〈L〉分别为17.843和15.176，相对于网络直径D的数值59和52，2个网络均具有较小的平均最短路径。且〈L〉均大于ln (N)/ln (〈S〉)=5.2736，均符合小世界网络具有较短平均路径长度的特性[2]。站点间无权距离的概率分布和加权距离的概率分布分别如图4(a)和图4(b)所示，p(L)分别服从正态分布N(15.91，75.08)和N(11.78，76.91)。

(a) 无权距离概率分布

3)聚类系数。

图5 聚类系数分布

4)网络鲁棒性。

网络的鲁棒性分析主要考虑网络面对随机故障和蓄意攻击时对网络性能的影响。随机故障包括自然灾害、电力机械故障、信号故障等，对网络中所有节点来说随机故障发生的概率是相等的。蓄意攻击为人为恶意的、有目的性的破坏行为，蓄意攻击主要针对的是一些较为重要的换乘站点。

本文依次删除占总节点数5%的22个节点，利用最大连通子图比例、网络效率相对值这2个指标分析在无权网络与加权网络下受到随机故障和蓄意攻击时2种网络的鲁棒性。在随机故障实验中，取仿真结果为100次实验的平均值。蓄意攻击采用度、介数、K-Shell这3个节点重要性评估指标，分别按照节点的重要程度删除节点。变化曲线分别如图6、图7所示。

(a) 无权网络

由图6可以看出，当无权和加权轨道交通网络受到随机故障时，5%的节点失效造成最大连通子图比例分别下降19.9%、19.8%。当无权与加权网络受到度、介数、K-Shell这3种手段的蓄意攻击时，22个节点失效造成最大连通子图比例分别下降69.8%、78.4%，36.8%、36.9%，9.9%、49.1%。说明2种网络受到随机攻击时对网络鲁棒性影响较小，而受到蓄意攻击时对网络鲁棒性影响较大。可以看出，加权网络遭受蓄意攻击时，最大连通子图指标比无权网络下降得更快。

由图7可以看出，当无权和加权轨道交通网络受到随机故障时，5%的节点失效造成网络效率分别下降31.2%、22.6%。说明2种网络对于随机故障具有较好的鲁棒性。当无权与加权网络受到度、介数、K-Shell这3种手段的蓄意攻击时，造成网络效率分别下降70.1%、80.1%，57.9%、57.8%，33.9%、56.1%。说明蓄意攻击对网络鲁棒性的影响较大，同时，在加权网络遭受蓄意攻击时，网络效率指标比无权网络下降得更快。

(a) 无权网络

综上分析可知，纽约轨道交通无权与加权网络均对随机攻击具有较好的鲁棒性，而面对蓄意攻击表现出一定的脆弱性。而且，加权网络的鲁棒性较无权网络的差，说明加权网络中的权重与拓扑结构具有一定的关联性，加权网络更加符合实际的轨道交通网络的运营情况，能够更加真实地反映轨道交通网络的结构特征和鲁棒性，因此本文的研究成果具有实际意义。

3 结束语

1)本文基于复杂网络理论，针对纽约轨道交通网络中存在节点之间有多条连边的情况，把连边数量考虑为相似权，发现网络中22%连边的相似权大于1。采用Space L方法构建了纽约轨道交通加权网络模型，分析了其网络拓扑结构，得出了纽约轨道交通网络权重与拓扑具有一定的关联性的结论，发现该加权网络同时具有小世界和无标度特性，平均路径长度有所减小，站点之间紧密度有所增加。而纽约轨道交通无权网络只具有小世界特征，不具有无标度网络的特性。

2)通过随机攻击及多种蓄意攻击策略研究了纽约轨道交通无权与加权网络的鲁棒性，得出了2种网络对随机攻击均具有较好的鲁棒性，而对蓄意攻击的鲁棒性较差的结论。同时发现，在加权网络下的鲁棒性较无权网络差，说明与无权网络相比加权网络中的权重对网络拓扑性质有一定的影响，加权网络更加符合网络的实际情况。说明本文的研究成果具有一定的理论意义和应用价值。