基于两个例子的两种可降阶常微分方程方法对比

刘慧璋

【摘要】本文给出了两种可降阶的二阶常微分方程类型，并通过例题对这两种类型解法进行解读、对比.

【关键词】常微分方程;可降阶;例题;对比

1 引 言

常微分方程中对于高阶微分方程的求解的一个重要思路就是降阶.有两种常见的二阶微分方程y″=f（x，y′）和y″=f（y，y′），它们都是通过代换降阶转换为一阶微分方程来求解的.但是二者代换的函数的变量选择不同，这是由方程中所含的变量类型不同决定的.而我们在习题求解的实践中发现，有许多二阶微分方程从类型上判定既属于y″=f（x，y′）型，又属于y″=f（y，y′）型.从理论上看，对于这些二阶微分方程，两种方法应该都可以选择，

虽然最终可以做到殊途同归，

但我们在解题实践中发现使用不同的方法解题难易程度差别挺大.

2 两种可降阶常微分方程类型

（1） y″=f（x，y′）型（未明显含有y）.

a方法原理：通过代换降阶转化为一阶微分方程来处理.令y′=p（x），则y″=dpdx，所以原微分方程转化为：dpdx=f（x，p），为一个p关于x的一阶微分方程.设其解为p=g（x，C1），所以dydx=g（x，C1），分离变量得：dy=g（x，C1）dx，再两边积分可得原方程通解为y=∫g（x，C1）dx+C2.

b简例： xy″+y′=0.

解 令y′=p（x），所以y″=dpdx，

原方程可化为：xdpdx+p=0，

分离变量得：dpp=-1xdx，

两边积分得：∫dpp=-∫1xdx，

化简得：ln|p|=ln1x+ln|C1|，所以 p=C1x=dydx，

分离变量得：C1xdx=dy，

两边积分得：∫C1xdx=∫dy，

化简得：y=C1ln|x|+C2.

（2） y″=f（y，y′）型（未明显含有x）.

a方法原理：通过代换降阶转化为一阶微分方程来处理.令y′=p（y），则y″=dpdx=dpdy·dydx=pdpdy，所以原微分方程转化为：pdpdy=f（y，p），为一个p关于y的一阶微分方程.设其解为p=g（y，C1），所以dydx=g（y，C1），分离变量得：dyg（y，C1）=dx，再两边积分可得原方程通解为：∫dyg（y，C1）=x+C2.

b简例：y″=3y，yx=0=1，y′x=0=2.

解 令y′=p（y），所以y″=pdpdy，

原方程可化为：pdpdy=3y，

分离变量得：pdp=3ydy，

两边积分得：∫pdp=∫3ydy，

化简得：p22=2y32+C1，

因为 yx=0=1，y′x=0=2，所以 C1=0，

所以 p2=4y32，p=2y34=dydx（因为y′x=0=2>0，所以开根号时取正）.

分离变量得：y-34dy=2dx，

两边积分得：∫y-34dy=∫2dx，

化简得：4y14=2x+C2，

因为 yx=0=1，所以 C2=4.

所以 y14=x2+1，

所以 y=x2+14.

3 例题一

y″=（y′）3+y′.

（1）按y″=f（x，y′）型处理.

方法一：

令y′=p（x），所以y″=dpdx，

原方程可化为：dpdx=p3+p，

分离变量得：dpp（p2+1）=dx，

两边积分得：∫dpp（p2+1）=∫dx，

∫dpp（p2+1）=∫1p-pp2+1dp=ln|p|-12ln（p2+1）=

ln|p|p2+1=x+ln|C1|，

所以 pp2+1=C1ex，

化简得p=C1ex1-（C1ex）2=dydx，

分离变量得：C1ex1-（C1ex）2dx=dy，

两边积分得：∫C1ex1-（C1ex）2dx=∫dy，

化简得：y=arcsin（C1ex）+C2.

（2）按y″=f（y，y′）型处理.

方法二：

令y′=p（y），所以y″=pdpdy，

原方程可化为：pdpdy=p3+p，即dpdy=p2+1，

分离变量得：dpp2+1=dy，

两边积分得：∫dpp2+1=∫dy，

化简得：arctan p=y-C1，

所以 p=tan（y-C1）=dydx，

分离变量得：1tan（y-C1）dy=dx，

两边积分得：∫1tan（y-C1）dy=∫dx，

化简得：∫cos（y-C1）sin（y-C1）dy=ln|sin（y-C1）|=x+ln|C2|，

所以 sin（y-C1）=C2ex，

所以 y=arcsin（C2ex）+C1.

4 例題二

y″+（y′）2=1，yx=0=y′x=0=0.

（1）按y″=f（x，y′）型处理.

方法一：

令y′=p（x），所以y″=dpdx，

原方程可化为：dpdx+p2=1，

分离变量得：dp1-p2=dx，

两边积分得：∫dp1-p2=12∫11-p+11+pdp=12ln1+p1-p=x+12ln|C1|，

所以 1+p1-p=C1e2x，

因为 y′x=0=0，所以 C1=1，

所以 p=e2x-1e2x+1=dydx，

分离变量得：e2x-1e2x+1dx=dy，

两边积分得：∫e2x-1e2x+1dx=∫ex-e-xex+e-xdx=ln（ex+e-x）+C2=y，

因为 yx=0=0，所以 C2=-ln 2，

所以 y=ln（ex+e-x）-ln 2=lnex+e-x2.

（2）按y″=f（y，y′）型处理.

方法二：

令y′=p（y），所以y″=pdpdy，

原方程可化为：pdpdy+p2=1，

分离变量得：pdp1-p2=dy，

两边积分得：∫pdp1-p2=∫dy，

化简得：-12ln|1-p2|=y-12ln|C1|，

所以 1-p2=C1e-2y，

因为 yx=0=y′x=0=0，所以 C1=1，

所以 p=±1-e-2y=dydx，

分离变量得：11-e-2ydy=±dx，

两边积分得：∫11-e-2ydy=∫±dx，

所以∫11-e-2ydy=∫eye2y-1dyey=sec t  ∫sec tdt=lnsec t+tan t=ln（ey+e2y-1）=±x+ln C2，

所以ey+e2y-1=C2e±x，

因为 yx=0=0，所以C2=1，

所以e2y-1=e±x-ey，

两边平方得：e2y-1=e±2x-2e±xey+e2y，

所以ey=e±2x+12e±x=ex+e-x2，

所以 y=lnex+e-x2.

5 对比总结

通过两个特殊例题的两种方法应用对比，我们发现虽然方法都可用且结果一样，但过程的难易程度却差别较大.不同的例题有不同的更适用的方法，只要我们勤思考，多总结，一定能找到更好的方法，也能在探究的过程中体会到“殊途”的乐趣和“同归”的美妙.

【参考文献】

[1]郝新生.應用数学[M].北京：中国农业出版社，2017.

[2]崔克俭.应用数学[M].北京：中国农业出版社，2004.