基于数学核心素养立意的问题驱动教学

陈夫凯

【摘要】问题驱动教学，教学培养学科素养.问题始终伴随着数学教学，特别是概念教学，更应该注重与学生思维的连接.本文通过问题的设计，以核心素养为引领，旨在促进学生对数学定义的理解、对数学知识的掌握，推动数学核心素养的提高.

【关键词】问题驱动;数学核心素养;数学知识的掌握

问题是促使数学发展的源动力，数学上许多基本的、核心的概念与原理都是为了解决许许多多的实际问题而产生的.因此，在教学中教师应以问题为中心，让学生在解决问题的过程中形成相应的概念与原理.《普通高中数学课程标准（2017版）》指出，数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人发展的过程中发挥着不可替代的作用，数学素养是现代社会每一个人应该具备的基本素养.因此，每一节数学课都蕴含着提高学生科学素养的目的，也体现了学科育人的目的.本文着力于以数学核心素养为导向，渗透在任意角的三角函数定义的每一个环节，精心设计问题，旨在提高学生的数学核心素养.

一、任意角的三角函数定义的教学过程

1.情境引入，引出问题

问题1 点P为摩天轮上的任意一点，如何表示点P的位置？

设计意图：在摩天轮模型中，通过对一点的观察与分析，引导学生能够用（x，y）和（r，α）两种方式准确描述出点的位置，并初步体会到两者之间的关系，提高学生的观察能力.

问题2 在直角坐标系xOy中，同一点P的坐标（x，y）和（r，α）之间有什么关系？为什么？

设计意图：引导学生了解在坐标系中研究点的位置时，P点在第一象限时有如下结论：sin a=yr，

cos a=xr，r2=x2+y2，tan α=yx等，并让学生联想初中学过的三角函数的定义.

2.回顾旧知，找寻本质

问题3 在初中，锐角A的正弦、余弦、正切值分别是如何定义的？

学生通过回忆：锐角A的正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）都叫作角A的锐角三角函数.

正弦（sin）等于对边比斜边：sin A=ac，

余弦（cos）等于鄰边比斜边：cos A=bc，

正切（tan）等于对边比邻边：tan A=ab.

设计意图：从学生原有的认知结构出发，为推广任意角的三角函数做准备.

通过前两问的引导，学生已经初步回忆起了锐角三角函数值的定义.教师此时再发问，学生可以回答得顺理成章，也为本节课的任意角的三角函数进行引入.

问题4 在直角坐标系中，30°角的三角函数值怎么求？

设计意图：将角置于直角坐标系中时，学生会想到初中学过的三角函数的几何定义，并取自己熟悉的30°角的直角三角形，在其斜边上取点，取点依据是30°角所对的直角边等于斜边的一半.教师带领学生得出特殊点，比如P（3，1），接着教师提问：还可以取其他点求吗？探究发现：在30°角终边上任取一点（x，y），这些比值都相等;只要角确定，终边就确定;只要角的终边确定，三角函数值就不变;可以用坐标表示锐角三角函数等结论.

3.积累素材，建构数学

问题5 在直角坐标系中，你认为390°角的三角函数值怎么定义？

设计意图：教师引导学生继续回到摩天轮模型中讨论，结合直角坐标系，得出390°和30°两角终边相同，三角函数值也对应相等.教师创设认知冲突的情境，引导学生通过讨论摒弃原先的概念，让学生通过求390°角的三角函数值，体会用坐标来表示三角函数的必要性和合理性，提高学生的探索能力，为引入任意角的三角函数的定义做准备.

问题6 如何定义3π4角的三角函数值？

设计意图：有了390°角三角函数的求法经验，学生可以在角的终边上选点，按照坐标相应比值来计算，通过操作用坐标来表示3π4的三角函数值，感受新定义的运算.

问题7 如何定义任意角的三角函数？（给出任意角的三角函数的定义）

经过讨论发现对于任意角α，在其终边上任意取一点P（x，y），比值yr，xr，yx都是唯一确定的，因此得到

f1：α→yr——正弦：sin α=yr;

f2：α→xr——余弦：cos α= xr;

f3：α→yx——正切：tan α=yx（x≠0）.

设计意图：学生通过讨论能够说出任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，体会坐标思想，体验数学概念的推理过程，树立勇于探索、善于发现的创新意识.

4.函数思想，加深理解

问题8 sin α，cos α，tan α是α的函数吗？

通过回顾函数的定义，讨论得出结论：对于确定的角α，比值yr和xr都是唯一确定的，故正弦和余弦都是角α的函数.当α≠π2+kπ（k∈Z）时，对于确定的角α，比值yx也是唯一确定的，故正切也是角α的函数.sin α，cos α，tan α分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数，以上三个函数我们都称为三角函数.

设计意图：让学生结合函数的定义，分析得出三角函数是函数，将三角函数统一理解.

问题9  sin α，cos α，tan α的符号如何确定？

利用任意角的三角函数定义，根据角的终边的位置判断任意角的三角函数值的符号.

设计意图：通过函数的概念类比得到任意角的三角函数定义，对“任意角的三角函数”的概念有进一步的理解.

5.例题解决，巩固所学

例1 已知角α的终边经过点P（2，-3），求α的正弦值、余弦值、正切值.

例2 确定下列三角函数值的符号.

（1）cos 7π12 ;（2）sin（-465°） ;（3）tan11π3.

设计意图：让学生在例题的练习中再次巩固任意角的三角函数的定义和三角函数定义中反映的数值特点（与该角所在的象限有关），简单进行数学运算与逻辑推理.

二、数学核心素养导向的问题驱动设计分析

1.探究式情境的引入和抽象问题的可视化，体现了数学的抽象、直观想象与数学建模等核心素养

情境的引入最好贴近生活.在探求摩天轮上一点的位置的过程中，问题探寻很自然地创造了探究环境，润物细无声，使得数学问题可触及、有依据、可视化、形象化，触发学生自己解决身边相关的数学问题的欲望，提高了学生用数学知识解决生活问题的学习积极性，引导学生通过直观想象将摩天轮放置于坐标系中，抽象出（x，y）和（r，α）两种形式，培养学生分析观察能力，体现了数学抽象、直观想象与数学建模等数学核心素养的要求.

2.对锐角三角函数定义的适时提问，体现了数学建模与数学抽象的有机组合

初中学的锐角三角函数定义是在直角三角形中研究的.复习此定义的目的是想让学生说出：锐角三角函数是直角三角形边之间的一个比值.在研究摩天轮上一点位置的表示的时候，在探究的过程中，学生会想到利用锐角三角函数来解释.此时，教师提出任意角的三角函数的定义显得更自然，体现了数学建模与数学抽象的有机结合.

3.对30°角、390°角、3π4角的三角函数值先后进行探究，体现逻辑推理与数学运算

π4角与3π4角的联系不如30°角和390°角紧密，所以首先选择30°角和390°角开始研究，只要角确定，终边就确定.对于30°角的详细探究得出：只要角的终边确定，三角函数值就不变.因此，对于390°角的定义的研究自然就有了依据，可以很容易得到390°的三角函数值与30°角对应相等，突显了数学推理的严谨性和任意角的三角函数定义的合理性.关于3π4角的求解，学生会在角的终边上选点，通过数学运算求出3π4角的三角函数值，体会任意角三角函数的求解，进一步加深对非锐角的特殊角的三角函数定义的理解.

4.定义层层铺垫，呼之欲出，体现数学抽象与数学运算

在对30°角、390°以及3π4角的正弦值求解时，学生已经清晰三角函数值可以用坐标表示.在层层的计算探讨过程中，学生由特殊到一般，通过知识迁移，自然想到任意角的三角函数用坐标来定义，并已经组织好了相应语言，只等着教师来问.任意角的三角函数不再局限于边之比，抽象的边已经转化成了坐标.

5.概念及时巩固，体现数学运算与逻辑推理

对于sin α，cos α，tan α是不是α的函数的判断，是检验学生对定义的理解程度.任意角的三角函数是关于角的函数，求法为在角的终边上取一点，借助坐标来求.结果可得三角函数是恒定的比值关系，与终边上点的选取无关，只与角有关.教师让学生体会用定义找出终边上的点所在的位置来判断三角函数的符号，巩固加深本节课的概念，体现了数学定义的严谨性.

三、数学知识的掌握与数学核心素养

我国教育学、心理学理论对知识的掌握所持的普遍观点是：领会、巩固和应用，知识的掌握过程就是通过一系列的心智活动，在头脑中建立起相应的认知结构的过程.曹才翰、章建跃指出，数学知识的掌握分为：增生、重建、融会贯通三个阶段.在摩天轮上一点的位置探究过程中，学生产生了疑问;求解决疑问的过程中学生出现了建立直角坐标系;寻找两种表示关系的过程中学生回想到锐角三角函数的定义;在得出锐角三角函数定义的本质的过程中，重建了锐角三角函数的定义，也使得三角函数的定义跨越了锐角，突破象限，推广到了任意角.总之在数学核心素养的引导下，充分说明了素养与能力是相互依存的.

四、核心素養下的数学教学思考

章建跃指出数学教育在学生的核心素养的发展中具有不可替代性，数学教育要用数学的方式来发挥内在力量.对于数学教师来说，真正提高学生数学核心素养最主要的阵地就是课堂.教师要在课堂中精心设计教学的每一个环节，将课程改革的目标体现在每节课里，将教学目标可视化、可量化.如今，数学实验室建设已经非常完善，运用先进的信息技术，如Seewo授课助手、iPad工具、图形计算器等.教师以探究式教学引领课堂教学改革，有效变革学习方式，培养学生学习的主体性与合作性，进一步提高学生数学的逻辑思维与抽象概括能力，发挥学生的想象力，提高动手操作能力，培养学生敢于质疑、勤于实践的科学精神.而实现这一切的前提与关键是教师自身的理念与观念要及时更新，要仔细研读课本教材、课程标准，研究学生，研究教学.

【参考文献】

[1]刘剑锋.问题驱动教学——“函数的单调性”的课堂实录与思考[J].中学数学教学参考，2020（1）：71-74.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[3]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2006.

[4]章建跃.核心素养统领下的立体几何教材变革[J]数学通报，2017，56（11）：1-6.