涉及Riemann-Liouville分数阶积分的一个多参数Hermite-Hadamard型不等式

李秋月,吴艺婷

(中国计量大学 理学院,浙江 杭州 310018)

设f是[a,b]上的连续凸函数,则

(1)

不等式(1)称为Hermite-Hadamard不等式[1],该不等式有许多推广、引申和变形[2-4]。近年来,这类不等式研究的发展势头十分强劲。一方面,由推广凸函数而相应产生大量的Hermite-Hadamard型不等式[5-7];另一方面,分数阶微积分与Hermite-Hadamard型不等式研究的结合,使Hermite-Hadamard型不等式的研究空间得以不断拓展[8-9]。下面首先介绍与本文相关的一些结果。

针对Hermite-Hadamard不等式的中间项与最右项之差的上界估计,在|f′|q(q≥1)为凸函数的条件下,文献[10]建立如下关于区间端点一阶导数值的不等式:

(2)

文献[11]在|f″|q(q≥1)为凸函数的条件下,建立关于区间端点二阶导数值的不等式:

(3)

文献[12][13]将不等式(2)和(3)推广到s-凸函数的情形,分别给出如下当|f′|q,|f″|q(q≥1)为s-凸函数时的不等式:

(4)

(5)

受不等式(2)(3)(4)(5)的启发,本文在Riemann-Liouville分数阶积分下建立上述不等式的一种统一的推广形式。在阐述主要结果前,下一节我们先介绍一些需要用到的定义和引理。

1 定义和引理

f(tx+(1-t)y)≤tsf(x)+(1-t)sf(y),

则称函数f为s-凸函数。显然,当s=1时,s-凸函数即为通常意义下的凸函数。

2F1(a,b;c;z)=

(6)

为表述方便,下文中我们记

(7)

证明:当n=1时,有

所以当n=1时,等式(7)成立。

假设当n=m-1时,等式(7)成立,即

(8)

当n=m时,运用分部积分,得

(9)

另一方面,经计算得

(10)

因此,由等式(8)(9)(10)得到

所以当n=m时,等式(7)成立,从而引理2得证。

2 主要结果

(11)

其中

证明:运用引理2以及Hölder不等式得

记

则由|f(n)|q是s-凸函数得

因此,定理1得证。

3 若干推论

(12)

证明:在定理1中,令θ1=θ2=0,n=1得

(13)

将(13)式中的积分用超几何函数表示即得(12)式,从而推论1得证。

(14)

证明:在定理1中,令θ1=θ2=1,n=2得

(15)

将(15)式中的积分用超几何函数表示即得(14)式,从而推论2得证。

在推论1中,令α=1可得如下推论:

(16)

证明:因为

在(12)式中令α=1,并将上式带入即得(16)式,从而推论3得证。

在推论2中,令α=1可得如下推论:

(17)

证明:因为

在(14)式中令α=1,并将上式带入即得(17)式,从而推论4得证。

4 结 语

本文在Riemann-Liouville分数阶积分下,通过s-凸函数建立一个多参数Hermite-Hadamard型不等式。主要结果(定理1)给出了以往文献中一些结果的统一推广和加细。作为应用,我们利用超几何函数的积分表示,从中进一步推导出若干新的Hermite-Hadamard型不等式。特别是,主要结果中当参数取特殊值时便得到以往文献中的一些重要结果。本文结果还可以移植到更多类型的凸函数中,如:(α,m)-凸函数、h-凸函数、预不变凸函数、拟凸函数、强凸函数等广义凸函数。