二阶差分模型预测控制在热工过程中的应用

李 轩，杨文健，秦鹏程

（华北电力大学 自动化系，河北 保定 071003）

0 引言

模型预测控制（MPC）在化工、汽车、航空航天等领域得到了广泛的应用。在每个采样时刻，MPC 计算控制律序列，以优化预测未来时刻被控对象的控制律。MPC 通过计算目标函数得到最优控制律，从而得到系统最优预测输出值。如今，已经发展了多种基于MPC 的控制策略。

锅炉过热蒸汽温度是发电厂机组安全与经济运行的重要参数之一[1]。若温度过高则容易损坏过热器及汽机的进汽部件，影响机组安全；若温度过低，则会影响到机组的经济性。因此，锅炉的过热汽温必须严格控制在规定的范围内。但由于过热汽温对象具有非线性、大滞后和时变性，采用常规的串级控制策略往往难以获得理想的控制效果。近年来，人们开始研究采用先进的预测控制策略来提高过热汽温的控制品质，得到了较为满意的结果。

本文提出一种新的MPC 算法。基于二阶差分运算内模型控制器，建立了一种新的预测模型[2]。不同于其他使用被控对象输出的方法，该模型有两个嵌入式积分器[3]，针对电站锅炉过热汽温控制的大滞后和时变性，提出了鲁棒性强的预测控制策略，并通过仿真研究证实了其有效性。

1 模型预测控制的增广模型

考虑以下n 阶离散SISO 对象：

其中，i 是离散时间指标，xn(i)∈Rn×1； un(i)∈Rn×1、yn(i)∈Rn×1分别是被控对象的状态向量、输入和输出，An(i)∈Rn×n、Bn(i)∈Rn×1、Cn(i)∈R1×n组成被控对象模型。在式（1）两边同时进行一阶差分运算，得到：

其中：

另有， yn(i+1)=Cnxn(i+1)。由式（2）、式（3）可得：

由式（3）、式（4）推导出被控对象的增广模型[4,5]：

由于y(î + j|î) = Cx(î + j|î)，预测输出为：

式（7）可改写为矩阵形式：

其中：

设r(i)和R=[1,1…1]Tr(i)∈Rp×1分别为被控对象参考向量和设定点向量。根据式（15）中的目标函数，得到使预测输出向量Y 与R 的误差最小的U 的最优值：

其中，Ic为c×c 的单位矩阵, rw为调优参数。在式（14）中，假设R 在预测时域内为常数。由式（10）和式（15）可以证明∂J/∂U=2(φTφ+G)U-2φT(R-Fx(î))。式（15）的最优解使得∂J/∂U=0，则有：

在预测控制滚动优化中，仅使用U 的第一个样本，即U(i)来计算控制律：

在式（6）中，u(î)=Δun(î)。因此，通过对式（17）中得到的u(î)积分，得到被控对象控制律un(î)。式（6）中的扩充模型具有嵌入式积分器。

2 基于二阶差分模型的MPC方案

图1 是基于二阶差分算子(Δ2)的内部模型控制器（IMC）的MPC 模型。二阶差分算子定义为：Δ2a(i)=Δ[Δa(i)]=Δa(i)-Δa(i-1)；内模控制器模型为：(t)=Aax(t)+Baün(t)。其 中，xT(t)=[nT(t)(t) e(t)]，xn(t)为被控对象状态向量，un(t)为控制输入，e(t)为跟踪误差，Aa和Ba取决于被控对象模型。

图1 基于二阶差分算子的内部模型控制器Fig.1 Internal model controller based on second order model

图2 定值扰动仿真图Fig.2 Simulation diagram of fixed value disturbance

设e(i)=r(i)-yn(i)为跟踪误差。类似于内模控制器模型，Δ2xn(i),e(i)和Δe(i)被用于创建一个新的增强模型，用于输出预测。注意，e(i+1)=r(i+1)-yn(i+1)对式（3）、式（5）和e(i+1)进行了一阶差分运算，由于算子具有线性，Δ2xn(i+1)、Δyn(i+1)和Δe(i+1)可以表示为：

其中：

将式（18）、式（19）组合，得到式（20）、式（21）所述的增广模型。所提模型的输入和输出分别为Δ2un(i)和e(i)。

设e(î+j|î)为î+j时刻对误差的预测；j= 1,……p，根据x(i)的值。设Δ2un(î+h)为模型在î+h 时刻的输入；h =0,1,……c-1。式（6）和式（20）中的模型均基于状态方程x(i+1)=Ax(i)+Bu(i)。而且，式（8）和式（9）与x(i)、u(i)、A和B的值无关（不同于式（5）和式（21））。因此，可以使用式（10）来预测提出的模型输出：

其中，F和φ定义在式（13）、式（14）中，Y和U的结构与Ya和Ua分别定义在式（11）和式（12）中相同，但其中元素分别为：u(î+h)=Δ2un(î+h)和y(î+j|î)=e(î+p|î)。

跟踪误差e(i)的期望值始终为零。因此，Ya的设定点向量R是一组零(R=0)，即对于所提出的增广模型，预测范围内的设定点是恒定的。因此，令（式（15）～式（17）中的R= 0，Y=Ya，U=Ua，可应用传统MPC 中的反馈校正和滚动优化策略，得到u(î)：

在提出的增强模型中，u(î)=Δ2un(î)。因此，通过Δ2un(î)的双重积分得到控制律：

3 仿真结果

为了验证本文提出的方法的控制效果，对其进行MATLAB 仿真。以某电厂的过热汽温模型G(s)=1.24/(1+60s)2e-100s作为被控对象进行仿真研究，来评估所提方法的性能。将提出的控制器（使用c=2,p=5,rw=10）与传统的MPC 控制器（p=2；c=5；rw=10）进行仿真实验对比。

令rw=0，加入控制量扰动，对提出的控制器与传统MPC 控制器进行仿真实验对比。

图3 控制量扰动仿真图Fig.3 Simulation diagram of control disturbance

由图2 可知，采用传统MPC 算法时，主汽温控制系统的超调量为19.15%，调节时间为79.83s，采用改进后的算法时超调量为9.68%，调节时间为31.46s。相比于传统MPC 控制器，采用改进型MPC 控制器时主汽温控制系统的超调量更小，调节速度更快。由图3 可知，改进后算法具有更强的稳定性和抗干扰能力，通过实验仿真可知改进后算法具有很好的控制品质。

4 结束语

本文提出了一种基于二阶差分模型的模型预测控制算法，并将其应用于电厂过热汽温控制过程。与传统模型预测控制算法相比，该控制方案具有良好的鲁棒性和更快的响应速度。通过MATLAB 仿真实验证明，该方法针对过热汽温被控对象大迟延和时变性进行了改善，使得系统抗干扰能力增强，最终的控制效果令人满意。