浅析教学中的关联速度问题

范财政

(大岭山中学高中部 广东 东莞 523820)

1 提出问题

在速度的合成与分解问题中，常遇到以下这个经典例题.

【例题】如图1所示，某人站在岸上通过绕定滑轮的绳子向岸边拉船.他拉绳子速率不变，当拉船的绳子与水平面成α角时，船前进速度u多大?

图1 例题题图

学生们通常以图2的方式分解[1]，认为u=v1=v0cosα这种分解方式显然错误，因为船在运动过程中明显没有竖直向上的分运动.

图2 学生解题常用分解方式

在教学过程中，有许多教师认为这是一个速度分解的问题，常用图3的方式进行分解计算，船速是合速度，分解为沿绳的分速度v1和垂直于绳的另一个分速v2.因此，绳子的速度是v0根据三角形几何关系得到船速

图3 教师解题常用分解方式

这样讲解这道例题，存在什么问题？学生经常会产生疑问，为什么船速是合速度，而绳速却是分速度？而且为什么两个分速度v1和v2必须垂直？

针对学生的问题，教师的解释如下：合运动与分运动的定义是物体实际的运动是那两种运动的合运动，那两种运动就是这个实际运动的分运动.

在上述例题中，船沿水平方向的实际运动明显就是合运动，所以沿绳和垂直于绳方向的两个运动就是分运动.

v1和v2如果不垂直，如图4所示，v2在绳子方向上投影不为零，所以还应该把v2分解.v0=v1-v2sinα，结果还是分解为图3的情况.只有v1和v2垂直，v2在绳子的方向上投影才为零，也就是v2不能再分.

图4 v1和v2不垂直的分解方式

那么这样解释是否正确？

2 分析问题

采用速度分解的方法来解决上述例题，有许多教师认为这是错误，陈钢等论述了这个观点.他们认为[2]，上述例题中船速与绳速的关系根本就不属于运动分解的问题，既非绳速的分量为船速，亦非船速的分量为绳速.船头沿水平面运动，行船的速度与拉绳的速度并不构成速度分解与合成的关系，因为显然绳速与船速是因果关系，拉绳为“因”而行船为“果”，这不符合运动分解的逻辑关系.

而笔者认为运动的分解定义中，分运动具有相对独立性，分运动间互不相干，任何一个分运动可以独立存在.而上述例题中，v1,v2两个分运动并不能独立存在，如果没有绳速,v2就不存在，更没有船速.

因此，使用速度分解的方法解决关联速度问题存在争议，笔者建议使用别的更合理的方法，避免争议也方便学生理解.

3 关联速度问题的解法

3.1 关联速度问题的常规解法

在解决上述例题前，先弄明白上述的船速和绳速应当属于哪一种关系？图5中船是因为绳拉而动的，拉绳是“因”，而船行是“果”，速度有关联，它们符合关联速度的特征，是典型的“关联速度”问题.

图5 船速与绳速关联示意图

在机械运动中普遍地存在着速度的关联关系，关联速度的基本特征是，一个独立的运动导致另一个相关联的运动，这两个运动被几何关系约束，因此往往可以写出确定它们之间几何关系的“约束方程”，根据图5对拉船问题可以写出约束方程

x2+H2=L2

(1)

两边对t求导后，得

(0≤α<90°)

对于其他的典型关联速度问题，例如马拉车，滑轮拉重物等[2]，都可以使用约束方程来解决.

上述的关联速度问题的解决方法看似完美，但是高中的学生并没有学过导数，如果对中学生讲解上述方法，那么教师和学生必然是事倍功半.

3.2 关联速度问题的中学解法

在中学虽没有学过导数，但是学过微元法，因此，教师可以通过微元法来讲解关联速度问题.如图5所示，设经过极短的Δt时间，绳子收缩长度ΔL，船的位移是Δx.经过Δt后约束方程依然成立

(x-Δx)2+H2=(L-ΔL)2

(2)

将式(1)代入式(2)化简得

(3)

将式(3)两边除以Δt得

因为Δt极短，相对2L，ΔL可忽略；相对2x，Δx也可以忽略

所以可得

(4)

由此可见，用微元法得出的结果与导数方法相同，而且又能使中学生理解.

为便于学生理解，还可以从能量的角度讲解关联速度问题.

为什么许多学生常以图2的方式分解绳速？因为受力的分解的定势思维的影响，认为速度也能这样分解.

根据力的分解思维，学生很容易将绳拉船的力分解为水平方向和竖直方向的两个分力.速度与力的乘积又是功率，因此我们可以得到启发，找到适合中学生的解题方法.

如图1所示，人拉绳做功大小与绳拉船做功大小是否相等？在忽略滑轮阻力的情况下，答案是肯定的.再因为人对绳做功的时间与绳对船做功时间相同，所以功率相同[3].

根据以上分析，假设人拉绳的力是F，则人拉绳的功率P1=Fv0.

对于类似的马拉车、滑轮拉重物的问题，也可以使用功率相等的方法解决问题.

4 总结

在教学过程中常遇见的关联速度问题，有许多教师都是以运动分解的方法来教学生.笔者认为运动分解的概念还是不能与关联速度混淆.针对关联速度的问题，常规的解法就是运用“约束方程”，但是这个方法运用了导数的知识，所以教师可以理解，而中学生却不能.总之，为便于中学生理解，建议教师在讲解关联速度的问题时，可以用微元法或从能量的角度来讲解.