排列组合中的不知所“错”

福建省德化第一中学(362500) 郑碧星

一、错在计数原理理解不清

1 究竟谁是指数,谁是底数

如果完成一件事需要n 个步骤,缺一不可,即需要依次完成所有步骤才能完成这件事,完成每一个步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事的方法种数,就用分步计数原理.

例1(1)有4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同的报名方法?

(2)有4 名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果?

错解(1)43;(2)错把3 个冠军安排给4 位同学,有种不同结果;也可能犯以下错误:第1 名同学可能夺得数学、物理、化学竞赛的冠军有3 种可能,同样的第2,3,4 名同学夺冠也是3 种可能,根据分步计数原理有34种不同结果.

错因分析:没有弄清题意,没有真正理解分类计数原理的本质.错解(1)分不清完成一件事需要的步骤和完成每一个步骤有几种不同的方法.错解(2)忽略了每一个学生可能夺得多项冠军,也可能一项冠军也没获得.

正解(1)完成报名这件事,需要4 名同学依次完成报名工作4 个步骤,而完成每一个步骤有3 种不同的报名方法(有3 个学科可选),根据分步乘法计数原理,不同的报名方法有3×3×3×3=34种.

(2)确定竞赛冠军的结果这件事,需要3 个学科依次完成竞赛冠军的确定3 个步骤,而完成每一个步骤有4 种不同的结果(4 名学生都有可能成为冠军),根据分步乘法计数原理,不同的结果共有4×4×4=43种.

2 究竟是涂了几种颜色

例2如图1,一个地区分为5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有4 种颜色可供选择,有多少种不同的着色方法?

图1

错解1第1 步,区域1 有4 种颜色可选;第2 步,区域2有3 种颜色可选;第3 步,区域3 有2 种颜色可选;第4 步,区域4 有2 种颜色可选;第5 步,区域5 有1 种颜色可选.根据分步乘法计数原理共有4×3×2×2×1=48 种不同的着色方法.

错解2先着色区域1,有4 种颜色可选,剩下3 种颜色着2,3,4,5 四个区域,即有一种颜色涂相对的两块区域有种,根据分步乘法计数原理共有4×12=48种不同的着色方法.

错因分析:区域4 和2 着同色时,区域5 有两种颜色可选,区域4 和2 着不同色时,区域5 只有1 种颜色可选.也就是完成区域4 涂色的两类方法,到区域5 颜色选取时的种类是不一样的.另外题设“有4 种颜色可供选择”,不一定需要4 种颜色全部使用,用3 种颜色也可以完成任务.

正解1不妨假设区域1 至3 依次着1 号,2 号,3 号颜色,将区域4 和5 的着色方案列举如下:(2,3),(2,4),(4,3).根据分步乘法计数原理共有4×3×2×3=72 种不同的着色方法.

正解2当使用4 种颜色时,由前面的误解有48 种着色方法;当仅使用3 种颜色时:从4 种颜色中取3 种有种方法,先着色区域1,有3 种方法,剩下2 种颜色涂4 个区域,只能是1 种颜色涂区域2,4,另一种颜色涂区域3,5,有2 种着色方法,由分步乘法计数原理有种,综上共有48+24=72 种不同的着色方法.

3 究竟是说英语还是日语

计数的基本原则是不重不漏,相当一部分错解都是重复计数惹的祸[1].其根源在于没有明确的分类标准导致多选或漏选.因此,解含有约束条件的排列组合问题,可按元素的性质进行分类,按事件发生的连续过程分步,做到分类标准明确,分步层次清楚,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终.

例3有11 名外语翻译人员,其中5 名会英语,4 名会日语,另外两名英、日语都精通,从中选出8 人,组成两个翻译小组,其中4 人翻译英语,另4 人翻译日语,问共有多少种不同的选派方式?

错解第1 类从5 名会英语中选出4 名翻译英语,从其余的6 名中选出4 名翻日语;第2 类从4 名会日语中选出4 名翻日语,从其余的7 名中选出4 名翻英语.共有种.

图2

错因分析:错在分类标准没有贯穿始终!

正解以只会日语的4 人中选出翻译日语的人数为标准进行分类:第1 类只会日语的4 人全选出来翻译日语,再从剩下的7 人中选出4 人翻译英语,有种选法;第2 类从只会日语的4 人中选出3 人翻日语,再从都精通的2 人中选出1 人翻日语,最后从剩下的6 人选出4人翻译英语,有种选法;第3 类从只会日语的4 人中选出2 人翻译日语,再从都精通的2 人中选出2 人翻日语,最后从剩下的5 人选出4 人翻译英语,有种选法.根据分类加法计数原理,共有185 种不同的选派方式.

本题还有如下分类标准:以2 名都精通的人被选上翻译英语的人数为标准;以2 名都精通的人被选上翻译日语的人数为标准;以只会英语的5 人选出翻译英语的人数为标准.

二、错在无序与有序混乱

1 究竟哪里多算了

一般地,将mn 个元素均匀分成n 组(每组m 个元素),共有种方法.在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等,这些问题要注意避免重复计数产生的错误.尤其要注意分组分配的问题,要求能够先分组再分配!

例45 本不同的书全部分给4 个学生,每个学生至少1本,不同分法种数为()

A.480 种 B.240 种 C.120 种 D.96 种

错解先从5 本书中取4 本分给4 个人,有种方法,剩下的1 本书可以给任意一个人有4 种分法,共有种不同的分法,选A.

错因分析:设5 本书为a,b,c,d,e,四个人为甲、乙、丙、丁.按照上述分法,列出两种情况如下表:

表1

表2

表1 是甲首先分得a,乙分得b,丙分得c,丁分得d,最后一本书e 给甲的情况;表2 是甲首先分得e,乙分得b,丙分得c,丁分得d,最后一本书a 给甲的情况.这两种情况是完全相同的,而在错解中计算成了不同的情况,重复了一次.

正解把5 本书转化成4“本”,然后分给4 个人.第1 步,从5 本书中任意取出2 本捆绑成1“本”书,有种方法;第2 步,再把4“本”书分给4 个学生,有种方法.根据乘法计数原理,共有种方法,故选B.

本题是有关分组与分配的问题,是一类极易出错的题型,解决这类问题就是要分清“有序”还是“无序”,题中将5 本不同的书按2 本、1 本、1 本、1 本这样分成4 组,有种分法,这里均分了3 组,要除以顺序.

2 究竟是排列还是组合

在处理排列组合问题时,要认真仔细审题,根据题设条件判断是排列还是组合问题,不能因混淆两个概念而造成错解[2].

例5把10 个相同的小球放入编号为1,2,3 的三个不同的盒子中,使得盒子里的球的个数不小于它的编号数,则不同的放法种数是多少?

错解因为盒子里的球的个数不小于它的编号数,所以先分给2 号盒子1 个小球,3 号盒子2 个小球,再把剩下的7个小球分给3 个不同盒子,要求每个盒子至少一个小球.先分组有以下4 类:

错因分析:上述错解忽视了小球都是相同的,因而将7个小球分成3 堆只有4 种分法,其次将3 堆小球放入3 个不同的盒子时只有(1,2,4)这种情况属于不同元素的排列问题有种不同的排法,而其它3 类中的3 堆小球有两堆个数是一样的,不能用全排列,每一类中将3 堆小球分到3 个不同的盒子只有3 种分法,如(1,1,5),(1,5,1),(5,1,1).

正解15 种.提示:因为盒子里的球的个数不小于它的编号数,所以先分给2 号盒子1 个小球,分给3 号盒子2 个小球,再把剩下的7 个小球分给3 个不同盒子,要求每个盒子至少1 个小球.

方法1.先分堆有以下4 类:(1,1,5),(2,2,3),(1,3,3),(1,2,4);再排列,不同的放法种数是3+3+3+6=15 种.

方法2.在7 个小球之间形成的6 个空位放入两个隔板将小球分成3 份,每一份小球对应放入3 个不同的盒子,共有种不同的放法.

将n 个相同元素分配给k(k ≤n)个不同的对象,这类问题处理的策略是——隔板法,即将n 个相同元素排成一列,再从元素两两之间的n-1 个空隙中选取k-1 处插入隔板,从而使这些元素分成了k 份,对应着k 个分配对象,故不同的分配方案有种[3].

三、错在不能合理建立模型

一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型,如占位填空模型,排队模型,装盒模型,可使问题直观解决.

例6(2016年高考全国III 卷)定义“规范01 数列”{an}如下:{an} 共有2m 项,其中m 项为0,m 项为1,且对任意k ≤2m,a1,a2,···,ak中0 的个数不少于1 的个数,若m=4,则不同的“规范01”数列共有()

A.18 个 B.16 个 C.14 个 D.12 个

错解选D.

错因分析:本题问的是已知4 个0,4 个1 能排成多少个“规范01 数列”——即要求任意前k 项中0 的个数不少于1的个数,属于有特殊要求的站队问题,没能转化为熟悉的模型求解是导致本题错误的原因.

正解由于ak只能取0 和1,可以联想到排列组合中从A 地走到B 地,每步只能向右或向上走的问题,构造如图3所示的模型,假设ak=0 相当于向右走一步,ak=1相当于向上走一步,则该问题等价于从点A 出发到点B,任意k 步中,向右的步数不少于向上的步数,求最短路径有多少种方法.由于第一步必须是A →E,最后一步必须是F →B,故只考虑正方形EGFH 内的部分,按要求,不能走线段AB 之上的路线,即不能经过点K,H,I.从点E 到点F共有种不同的方法,其中经过点K(含过点H)的有种不同的方法,而经过点I 但不经过点K 的有2 种,故有种不同的方法.故选C.

图3

图4

例7在一次射击比赛中,8 个泥制的靶子挂成三列,其中两列各挂3 个,一列挂2 个,如图4所示,一射手射击时只准击碎三列靶子中任意列的最下面的一个,若每次射击都遵循这条原则,击碎全部8 个靶子,共有多少种不同的次序?

错解根据字母A,B,C 的不同排序,所以有种不同次序.或者简单的按8 个字母排序,所以有种不同的次序.

错因分析:本题是有特殊要求的排序,打完8 个靶子的所有不同的次序相当于8 个字母排次序,但要求的次序是A1→A2→A3,B1→B2,C1→C2→C3,所以这是一个定序模型问题,没掌握好该模型的运用是导致错误的原因.

正解根据定序问题——除法倍缩策略[3],把8 个字母全排列,再消去3 个A 字母的排列顺序,消去2 个B 字母的排列顺序,消去3 个C 字母的顺序,击碎8 个靶子所有的不同次序有种.

四、错在读题不清,审题不严

排列组合问题,往往是失之毫厘谬以千里.因此解决这类问题一定得注意题中的每句话,甚至每个字和符号,避免由于读题不清楚,审题不严谨导致错误[2].

1 “至多”,“至少”,究竟是多少

例8编号为1,2,3,4,5 的五个人,分别坐在编号为1,2,3,4,5 的座位上,则至多有两个号码一致的坐法种数为( )

A.120 B.119 C.110 D.109

错解“至多有2 个号码一致”的对立事件是“3 个或4个(5 个)号码一致”,3 个号码一致有种,4 个号码一致仅一种,所以所求的坐法种数为无选项.

错因分析:3 个号一致时,另2 个号则不能一致,例如选择了1,2,3 号一致,则4 号人只能坐5 号位置且5 号人坐4号位,仅一种坐法而不是种.思维不严谨导致解题出错.

正解选D.“至多有2 个号码一致”的对立事件是“3 个或4 个(5 个)号码一致”,3 个号码一致有种(若3 个号一致,另外2 个不在自己号位仅一种方法),4 个号码一致仅一种,所以所求的坐法种数为种,选D.

2 究竟确定了几个面

解与几何图形有关的排列组合问题时,要充分挖掘图形的隐含条件,转化为有限制条件的组合或排列问题求解.空间识图不准,会造成多算漏算,因此计算时一定要注意共点、共线、共面等情形.

例9四面体的顶点和各棱中点共10 个点,在其中取4个不共面的点,有多少种不同的取法?

错解种.

错因分析:对空间几何图形认识不准确,没有把所有共面的点找出来,造成了多算.

正解直接考虑4 个不共面的点的取法比较繁琐,种类繁多,形式复杂,正面解答比较困难,而通过反面入手,从4 点共面考虑比较便捷.在四面体的顶点和棱的中点中,取4 个点共面的情形有三类:①同在四面体4 个表面的6 个点,任选4 个点是共面的,共有个;②每一条棱和对棱的中点确定一个平面,共有6 个不同的平面,每个面内的4 个点共面,共有个;③6 个中点构成了分别与一组对棱平行的平面3 个(平行四边形),所以有种不同的取法.

总之,正所谓“处处留心皆学问”,在排列组合的学习过程中留心容易出错的地方,定能做到不重不漏,把排列组合学好.