有理幂次分数阶线性电路方程的W域解法

梁贵书，蒋铭珏

(华北电力大学 电气与电子工程学院，河北 保定 071003)

0 引 言

随着分数阶元件的引入，使得分数阶电路表征出不同于整数阶电路的特性，从而对传统整数阶电路的分析提出了新的挑战。自然地，描述分数阶电路的分数阶微分方程的求解方法受到了广泛的研究。与传统微分方程的求解一样，分数阶微分方程的解法也分为数值解法和解析解法。但由于分数阶微分方程在复频域中s的幂次为分数幂次，其分式展开没有通用的方法，使得求解分数阶微分方程远比传统微分方程困难得多。

目前对分数阶电路方程求解的变换域方法主要为复频域分析法[8]。众多学者利用Laplace变换给出了Riemann-Liouville、Caputo、Atangana-Baleanu等定义下的分数阶RL、RC和LC电路方程解的形式[9-11]，但研究对象为只含有一个幂次的分数阶电路方程。由于分数阶电路方程经过Laplace变换后出现复频率s的分数阶幂次，使得象函数进行分式展开困难，因此，Laplace变换不适用于求解多个幂次的电路方程。为了解决这个问题，受文献[12-16]的启发，本文通过对Laplace变换进行改进，提出了一种新的变换——W变换。利用这种变换可解析地求解有理幂次分数阶电路方程，较好地解决了含多个有理幂次的分数阶方程的解析求解。

本文的安排如下：首先给出W变换的定义以及主要性质，然后将这种变换应用于分数阶线性电路方程的求解。为了简化方程时域解的表达式，给出了由6种基本象函数类型构成的W域象函数的部分分式展开法。最后通过实例验证了方法的正确性以及可行性。

1 W变换

本文讨论的幂次均为有理数，即有理幂次，因此，可表示为两个正整数之比。例如，有理元次α,β,γ可表达为

式中：nα,nβ,nγ为正整数；m为所有有理元次分母的最小公倍数。从实际应用的角度看，假设为有理幂次并不失一般性。

1.1 W变换的定义

(1)

为f(t)的W变换式，记为F(w)=W{f(t)}。F(w)称为原函数f(t)的W域象函数。

引理1[17]若Re(γ)>0，Re(β)>0且|z|<1，存在

(2)

令z=aw-mα，x=wmt，可得

(3)

即

(4)

根据函数的需要可对不同的参数进行组合，推导出部分W变换的形式。

1.2 W变换的性质

性质1(线性性质)设a,b为常数，且W{f1(t)}=F1(w)，W{f2(t)}=F2(w)，则有

W{af1(t)+bf2(t)}=aF1(w)+bF2(w)

(5)

该性质利用定义(1)即可证明。

性质2(卷积定理)如果函数f1(t)，f2(t)的W变换存在且W{f1(t)}=F1(w)，W{f2(t)}=F2(w)，则

W{f1(t)*f2(t)}=F1(w)·F2(w)

(6)

或

(7)

性质3(积分性质)设W{f(t)}=F(w)，α为正实数，则f(t)的α阶积分的W变换为

(8)

性质4(微分性质)设W{f(t)}=F(w)，k∈N+，则整数阶微分的W变换形式为

W{f(k)(t)}=wkmF(w)-wm(k-1)f(0-)-…-f(k-1)(0-)

(9)

若α为正实数，则Caputo分数阶微分[18]的W变换形式为

(10)

其中，⎣·」表示向下取整函数。

特别地，当0<α<1时，Caputo型分数阶微分的W变换公式为

(11)

Caputo定义的W变换与整数阶微分的W变换表达式形式相同，且初值均为整数阶导数，这有利于求解分数阶微分方程。

2 有理幂次分数阶电路方程的W变换解法

2.1 有理幂次分数阶电路方程的W域象函数

描述有理幂次分数阶电路的微分方程可以写成[19]

(12)

考虑初始条件，对式(12)取W变换可得

(13)

式中，Y(w)、U(w)为输入函数u(t)、输出函数y(t)的象函数。则有理幂次分数阶线性系统输出的象函数为

(14)

对于W域网络函数，式(14)简化为

(15)

值得注意的是，由式(14)和式(15)的表达式可以看出，w的幂次并不总是从0到n连续变化，这是因为多个分数阶幂次会导致分数阶线性电路的W域象函数幂次发生跳跃，这与传统的整数阶线性电路不同。

2.2 W域有理象函数的部分分式展开法

对于W域象函数Y(w)，若其为假分式，即分子中w的最高幂次不小于分母中w的最高幂次，则可用多项式除法将Y(w)分解为有理多项式与有理真分式之和，即

(16)

由有理多项式G(w)的表达式可以得到两种基本类型：1、wk。

(17)

当w的阶次较高时，用部分分式展开定理直接展开象函数，其展开式的项数会非常多，使得时域形式变得复杂。因此，为了简化时域表达式，需要充分考虑W域象函数中w的幂次跳跃情况，对部分分式展开式进行合并化简。

(18)

将式(18)中的各项进行合并，式(18)可改写为

(19)

利用定义(1)以及公式(4)，可以求得Y(w)这6种类型象函数的原函数形式，就能够得到有理元次分数阶线性电路的时域解y(t)。

上述6种常用象函数的原函数如表1所示。

表1 常用象函数表

3 综合示例

例1对电池的研究当中，锂电池由于能量密度大、寿命长、功率高等优点得到了很大重视，而且现有的电动汽车中用的就是锂离子动力电池[20]。锂电池基于2阶RC的分数阶等效电路模型如图1所示。已知，电阻R1=2 Ω，R2=1 Ω，电容的阶次α为0.5，Cα=1F/s1-α，电源us(t)=sin(t)V，求电流i(t)。

图1 时域电路

解：取m=2，根据图1可得电路的微分方程为

(20)

对式(20)两边取W变换，可得

(21)

代入数据并化简可得

(22)

利用表1中的结果可得时域解为

(23)

为了验证所得结果的正确性，将电压激励us(t)=sin(t)V应用于图1所示的分数阶电路，通过频域分析得到的电流响应与数学计算结果的对比如图2所示。

图2 电流i(t)的电路仿真结果与数学计算结果

由图2可知，电路仿真结果与数学计算结果是一致的，因此利用本文求解电路的方法是正确的。例2 电路如图3所示，已知电阻R1=2 Ω，R2=1 Ω，电容阶次α=0.1，Cα=1 F/s1-α，电感阶次β=0.2，Lβ=1 H/s1-β，电源us(t)=ε(t)V，试求分数阶电感电流i(t)和分数阶电容电压uc(t)。

图3 时域电路

解：取m=10，利用基尔霍夫定律，得到电路的方程为

(24)

对式(24)两边取W变换，可得

(25)

代入数据并化简可得

(26)

(27)

利用表1中的结果可得时域解为

uc(t)=0.23t0.1E0.1,1.1(-1.28t0.1)+

(-0.12-0.11j)E0.1,1.1((0.14+1.53j)t0.1)+

(-0.12+0.11j)E0.1,1.1((0.14-1.53j)t0.1)

(28)

i(t)=-0.06t0.1E0.1,1.1(-1.28t0.1)+

(0.03-0.30j)E0.1,1.1((0.14+1.53j)t0.1)+

(0.03+0.30j)E0.1,1.1((0.14-1.53j)t0.1)

(29)

为了验证结果的准确性，将电压激励us(t)=ε(t)V应用于如图3所示电路，得到的电压响应uc(t)以及电流响应i(t)与数学计算结果对比如图4所示。

图4 电路仿真结果与数学计算结果对比图

由图4可知，电路仿真结果与数学计算结果是一致的，因此利用本文求解电路的方法是正确的。

4 结 论

本文给出了W变换的定义以及主要性质，然后将这种变换应用于分数阶线性电路方程的求解。该变换应用于有理幂次分数阶线性电路时，W域代数方程的幂次为整数阶次。在此基础上，本文给出了W域象函数的部分分式展开法，考虑到有理幂次分数阶电路方程中w的幂次跳跃的特点，对部分项进行合并化简，避免了时域解过于复杂。同时，W域象函数均可由6种基本象函数类型组合得到，因此可以解决含多个不同幂次的分数阶电路的求解问题。本文的工作为后续分数阶电路的时域—W域分析奠定了基础。