考虑地层损失的盾构隧道土体变形修正解析解

杨 潇，姚春桥，李明宇

（1.华中科技大学 土木与水利工程学院，武汉 430074；2.武汉地铁集团有限公司，武汉 430030；3.郑州大学 土木工程学院，郑州 450001）

1 研究背景

在城市地下空间建设中，采用盾构法修建地下隧道日益常见。无数工程实践表明：虽然盾构法是一种先进的隧道施工技术，但是盾构施工仍会不可避免地引起周围土体扰动，进而引发土体变形，并对隧道周边建构筑物产生不利影响。如何准确计算盾构施工引起的土体变形成为防止这种不利影响的必要前提。

目前，国内外学者对盾构施工引起土体变形的理论研究主要集中于经验法和解析法。其中，经验法以Peck公式［1］及其系列修正［2-4］为主，该方法基于海量的工程实测数据，通过分析隧道开挖引起的土体位移分布规律，提出一系列计算土体位移的经验公式。而在解析法中，主要有复变函数法（Verruijt［5-6］）、弹性力学Mindlin解法（魏纲等［7］）、镜像法（Sagaseta［8］、Verruijt等［9］、Loganathan等［10］、魏纲等［11］）和随机介质理论（Yang等［12］）。解析法中应用比较广泛的是镜像法。镜像法由Sagaseta于1987年提出，后经Verruijt和Loganathan逐渐完善，形成著名的Loganathan公式［10］。与经验法相比，解析法从力学和数学的基本原理出发，可以考虑到盾构施工的具体工况，其计算过程遵循严格的数学推演，推导严谨，逻辑性强，因而计算结果更加准确。

盾构施工造成的土体扰动是周围土体变形的主要原因。从理论上讲，土体扰动带来了地层损失（隧道轴向每延米土体体积的减小量占隧道开挖土体体积的比例），地层损失引发了土体的变形。然而，已有的研究成果在计算隧道周边地层损失时仍然存在一些问题，比如Loganathan公式关于地层损失边界条件的确定比较粗略，而且没有考虑不同土质条件下隧道周围土体移动的差异性。本文将从这些不足出发，通过理论推导对Loganathan公式进行完善，并将得到的修正解析解推广到三维空间，可以计算三维空间中地层损失引起的土体变形。

2 地层损失引起的土体变形

2.1 地层损失分布的修正

关于地层损失引起的土体变形计算，以Sagaseta提出的镜像法为基本原理，应用较为广泛的是Loganathan公式。Loganathan认为，隧道开挖后，隧道周围土体会产生椭圆形的非均匀径向位移（如图1所示），并采用盾尾空隙参数g定义等效不排水地层损失ε0，即

式中：R为隧道半径；g为盾尾空隙参数，关于g的具体计算方法可参考文献［13］。

图1 隧道周围土体变形模式和地层损失分布Fig.1 Soil deformation mode and distribution of ground loss around the tunnel

Loganathan采用含有ε0的指数函数拟合隧道周围土体的非均匀变形，得到地表处的地层损失为

式中常数A、B可由边界条件获得。

实测结果显示，对软塑到硬塑黏土，隧道开挖引起的地表沉降槽边缘点到隧道中轴线的水平距离约为 H＋R。于是，Loganathan在定义边界条件时，假定隧道起拱点与地表沉降槽宽度边缘点连线的水平仰角是β，取 45°，即认为隧道轴线上的地表沉降是由隧道周围总的累积地层损失 （100%）引起的，而距离隧道轴线 H＋R处的地表沉降是由部分累积地层损失（25%）产生的，图 1中点划线即为 Loganathan假定的边界线。然而从 Yi等［14］的研究成果可知，盾构开挖使周围土体产生剪切扰动和开挖卸载，在隧道周围形成剪切扰动区。根据极限平衡原理，塑性区的边界应与剪切扰动区相切，边界线的水平仰角应与主动土压力角一致，为45°＋φ/2，其中φ为土的内摩擦角，此时边界线与地表交点处沉降值为0，如图1所示。此外，文献［15］考虑到土质软硬对隧道周围土体移动的影响，认为土体移动存在一个焦点，该焦点随土质不同在隧道开挖断面圆心与拱底的连线上变动，从而建立了统一的土体移动模型，如图 2。在图 2中，d表示焦点与隧道断面圆心之间的距离，文献［16］给出了 d的建议取值，具体如表 1。

图2 隧道周围统一土体移动模型Fig.2 Uniform peripheral ground movement model

表1 不同土质条件下d的建议取值Table 1 Suggested values of d in different soils

基于以上讨论，本文从统一土体移动模型出发，并考虑到土体内摩擦角的影响，对Loganathan提出的边界条件进行修正。如图1，作仰角为45°＋φ/2的直线相切于隧道开挖引起的塑性区边界，该直线与地表交点处的沉降值为0，故该处的地层损失也为0。再从土体移动焦点出发作水平直线与隧道衬砌外缘相交，过该交点做仰角为45°＋φ/2的直线，该直线与地表交于（xl，0）点，按照Loganathan的研究思路，图1中（xl，0）点的地表沉降是由焦点所在水平线以下的地层损失引起的，为λ1ε0。根据图3，λ1ε0应等于阴影部分的累积地层损失，图3中g等于隧道拱顶处衬砌与土体之间的建筑空隙，盾尾空隙沿隧道圆周的函数分布可用式（3）表示。

图3 隧道周边的地层损失计算Fig.3 Calculationofgroundlossaroundthetunnel

式中θ从隧道开挖面圆心所在的水平线起算，以顺时针方向为正。通过对g（θ）在图3中阴影部分积分可得

式中Vloss为盾构开挖单位长度引起的地层损失，有

如果用盾尾空隙表示盾构开挖引起的地层损失，则有

把式（3）和式（6）代入式（4），得

考虑到盾尾空隙g相对于隧道半径R很小，式（7）可化简为

当式（8）中的d取0时，即为Loganathan研究的情况，此时λ1为18.17%，并不是Loganathan提出的25%（参见文献［10］），说明Loganathan的取值比较粗略。

引入边界条件：①隧道轴线上方的地表沉降是由隧道周围总的累积地层损失ε0产生的；②（xl，0）处的地表沉降是由焦点以下部分累积地层损失λ1ε0引起的。则有

式（9）中的xl可通过几何关系计算得到，即

通过式（9）表示的边界条件可确定式（2）中的常数A和B。结合式（1），可得地表处的地层损失分布函数为

根据Loganathan的研究成果，地层损失沿地层深度z方向的分布同样满足指数函数，即

式中C为待定常数。注意到焦点所在水平线处盾尾空隙与拱顶处盾尾空隙的关系，可引入边界条件

与λ1的计算原理类似，可得λ2的表达式为

据此可确定式（12）中的常数C，进而得到图1中任一点（x，z）的地层损失为

2.2 二维土体变形的修正计算公式

Verruijt和Booker［9］提出了基于隧道周围均匀地层损失的土体变形解析解，即

式中：ε为隧道周围均匀地层损失；δ为隧道衬砌椭圆化变形引起的长期土体变形；H为隧道中心埋深；2μ）；k＝μ（1-μ）；μ为土体泊松比。由于本文仅研究盾构开挖后不排水的土体变形，因此式（16）、式（17）中与长期变形有关的系数δ为0，将其中的ε用式（15）中的ε（x，z）代替，可得盾构开挖引起的土体位移公式为

2.3 三维土体变形的修正计算公式

文献［17］指出，地层损失沿盾构隧道掘进方向（y方向）的分布函数满足

如果用式（20）中的ε0（y）代替前面的ε0，则可得到土体变形的三维解析解。

3 算例分析

3.1 算例一

某地铁区间隧道采用土压平衡盾构施工［18］，土体变形基本计算参数列于表2。

表2 某地铁区间盾构隧道计算参数Table 2 Parameters of a metro shield tunnel

分别采用Loganathan公式和本文修正公式对该工程盾构施工引起的地表沉降进行计算，结果见图4。由图4可知，采用理论公式计算得到的地表沉降槽形状均为正态分布曲线，均与实际情况相符。但是，采用本文修正公式求得的沉降比Loganathan公式更接近实测数据，沉降曲线也更加贴合实际情况。

图4 地表沉降曲线Fig.4 Curves of ground surface settlement

图4显示，不同理论公式计算得到的地表沉降槽宽度有所不同。采用Loganathan公式求得的地表沉降槽宽度约为60 m，采用本文修正公式求得的地表沉降槽宽度约52 m（d＝0）和44 m（d＝0.35R）。鉴于实测数据体现的地表沉降槽宽度约为40 m，可以得出：当焦距d＝0.35R时，隧道周围土体类似中等黏性土（参考表1），采用修正公式求得的地表沉降槽宽度与实测结果最为接近，相对误差仅为10%。这说明考虑隧道周围土体移动焦距对于计算地表沉降结果有着重要的意义。

3.2 算例二

文献［19］运用有限元软件模拟并揭示了上海某盾构隧道施工段土体水平位移的变化规律。本文基于文献［19］中的工程资料，利用修正公式求出了土体水平位移的解析解，并与实测数据和有限元模拟结果作了对比，计算中用到的参数列于表3。

表3 上海某盾构隧道施工段的计算参数Table 3 Parameters of a shield tunnel in Shanghai

图5给出了盾尾刚脱出时距离隧道净距1.5 m处的深层土体水平位移。通过比较发现，有限元计算得到的水平位移曲线虽然可以描绘土体变形的基本特征，但和实测数据相比整体偏小。采用理论计算公式计算得到的水平位移曲线均符合实际形状，但在数值上和实测数据相比有所偏大。

图5 土体水平位移曲线Fig.5 Curves of horizontal displacement of soil

以隧道中心轴线处的土体水平位移为例，采用Loganathan公式求得的数值与实测数据的相对误差约为28.1%；采用修正公式得到的数值与实测数据的相对误差分别为12.5%（d＝0）和1.6%（d＝0.2R）。可以看出，修正公式的计算结果更加接近于实际情况，尤其是对于d＝0.2R时效果更为显著，这说明隧道周围土体性质介于软黏性土和中等黏性土之间（参考表1）。

4 结 论

通过理论推导，结合算例分析，本文得到了基于地层损失的盾构隧道土体变形修正解析解，并考虑了土质条件对隧道周围土体移动的影响。主要结论如下：

（1）根据土体极限平衡原理和隧道周围统一土体移动模型，提出了用于计算土体变形的修正公式，其计算得到的土体沉降槽要小于Loganathan公式，计算结果更加接近工程实际。

（2）考虑土质条件对土体移动的影响（引入土体移动焦距d），得到的土体变形小于Loganathan公式的计算结果，也更加符合实际情况，这一点与文献［15］的研究结论相一致。

（3）通过对解析公式的三维化推广，本文推得的修正公式可以实现盾构隧道土体变形的三维计算分析。